Cubes consécutifs

Dans cet exercice, on démontre que la somme de 3 cubes consécutifs est toujours divisible par 9. Pour cela, on utilise les congruences pour simplifier les résultats. On veut montrer que la somme de 3 cubes consécutifs, soit n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3, est congru à 0 modulo 9. En développant cette expression, on obtient 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9. On regroupe les termes pour faciliter les calculs et remarquons que le premier terme est déjà divisible par 9. En factorisant le deuxième terme par 3n et le troisième terme par 3, on obtient 9(n^2 + 1)(3n + 5). Il est facile de voir que le terme 9(n^2 +1) est congru à 0 modulo 9 car il est divisible par 9. De plus, le terme 3n + 5 est congru à 0 modulo 3 car il est divisible par 3. Ainsi, nous avons démontré que pour tout n, la somme de 3 cubes consécutifs est divisible par 9.