Division de puissances

Dans cet exercice, nous allons montrer que 13 divise 3^126 + 5^126 en utilisant les congruences. Au lieu de montrer que chaque terme est congru à 0 modulo 13, nous allons examiner à quoi chaque terme est congru modulo 13. Pour cela, nous cherchons d'abord une puissance de 3 qui est congrue à 1 modulo 13. Nous trouvons que 3^3 ≡ 1 modulo 13. Ensuite, nous divisons 126 par 3 pour obtenir 42 sans reste. Ainsi, 3^126 = (3^3)^42 ≡ 1^42 ≡ 1 modulo 13. De la même manière, nous cherchons une puissance de 5 qui convient. Nous trouvons que 5^3 ≡ 8 modulo 13. Ensuite, nous divisons 126 par 4 pour obtenir 31 avec un reste de 2. Ainsi, 5^126 = (5^4)^31 * 5^2 ≡ 1^31 * 12 ≡ 12 modulo 13. Finalement, nous avons montré que 3^126 ≡ 1 modulo 13 et 5^126 ≡ 12 modulo 13. Donc, 3^126 + 5^126 ≡ 1 + 12 ≡ 0 modulo 13. Ainsi, nous concluons que 13 divise bien 3^126 + 5^126.