Groupe Symétrique

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des matrices et des anneaux. Il commence par rappeler ce qu'est un anneau, qui est un ensemble muni de deux lois de composition interne (l'addition et la multiplication) satisfaisant certaines propriétés. Il explique ensuite ce qu'est un sous-anneau, qui est un sous-ensemble d'un anneau plus grand ayant les mêmes lois de composition interne. Corentin montre alors que l'ensemble A, qui est l'ensemble des matrices dont les coefficients sont des entiers naturels, est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) des matrices 2x2 à coefficients réels. Il prouve cela en montrant que l'addition et la multiplication de matrices dans A restent dans A. Il termine en vérifiant que la matrice identité appartient également à A. Ensuite, Corentin aborde la question des éléments inversibles de A. Une matrice M est dite inversible si elle possède une matrice inverse M' telle que le produit de M par M' soit égal à la matrice identité. Il montre que les matrices inversibles de A sont celles pour lesquelles la matrice M est égale à 1 ou à -1. Il explique cela en utilisant l'identification des coefficients des matrices et en effectuant des calculs matriciels. En conclusion, Corentin démontre que l'ensemble A est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) et détermine les éléments inversibles de A.