Etude de permutations

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'arithmétique et de la structure algébrique. Il commence par définir l'ensemble A, qui est l'ensemble des rationnels ayant un dénominateur impair. L'objectif est de démontrer que A, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, forme un anneau. Pour montrer cela, Corentin montre que A est un sous-anneau de l'ensemble des rationnels (Q). Il le fait en montrant que pour tout X et Y appartenant à A, la différence (X - Y) et le produit (X * Y) appartiennent également à A. Pour cela, il utilise le fait que le dénominateur des fractions obtenues reste impair. Corentin montre également que l'élément neutre (1) appartient à A, car il est égal à 1/1, où le dénominateur est impair. Ensuite, Corentin cherche à déterminer les éléments inversibles de A. Soit X appartenant à A, il cherche un élément Y qui serait son inverse. Il montre que Y serait égal à 1/X. Cependant, la difficulté réside dans le fait de déterminer si cet inverse Y appartient toujours à A, qui n'est pas un ensemble aussi simple que les ensembles R et Q. En menant des calculs, Corentin trouve que pour que Y appartienne à A, il faut que X soit un nombre impair. En résumé, les éléments inversibles de A sont de la forme M/N, où M est un nombre impair, N est un nombre entier non nul, et les deux M et N sont impairs.