Des puissances 100 et plus ?

Dans cet exercice, on nous donne une suite récurrente définie par a1 = 3 et an+1 = an^3 pour n ≥ 1. On nous demande de trouver le chiffre des unités pour le nombre a7, de montrer que a7 ≥ 10^100, et de déterminer la valeur de (a7 + 1) / (2a7) avec une précision de deux décimales. Pour la première question, on analyse la suite et on remarque que les chiffres des unités alternent entre 7 pour les indices pairs et 3 pour les indices impairs. Donc le chiffre des unités pour a7 est 3. Pour la deuxième question, on utilise la formule explicite de an = 3^n-1 et on montre que a7 = 3^(3^6) qui est beaucoup plus grand que 10^100. Donc a7 ≥ 10^100. Pour la troisième question, on écrit (a7 + 1) / (2a7) = 1/2 + 1/(2a7) et on constate que 1/(2a7) est beaucoup plus petit que 0,0001. Donc, à deux décimales près, la valeur de (a7 + 1) / (2a7) est 0,50. En conclusion, le chiffre des unités pour a7 est 3, a7 est plus grand ou égal à 10^100, et (a7 + 1) / (2a7) est environ égal à 0,50.