4 questions en une

Dans cet exercice de Cambridge, nous devons répondre à quatre questions en une. La première question concerne les puissances de logarithmes. L'auteur nous rappelle de toujours appliquer le logarithme lorsque nous avons une puissance complexe. Dans ce cas, nous devons vérifier si a puissance log de b est égale à b puissance log de a pour tout a et b positifs. Après avoir vérifié que a est positif, nous appliquons le logarithme des deux côtés et obtenons log a puissance log b égal à log b puissance log a. En simplifiant, nous trouvons log b multiplié par log a égal à log a multiplié par log b, ce qui est vrai. Donc, la première affirmation est vraie. La deuxième question concerne les fonctions trigonométriques. On nous demande de vérifier si cos sin θ est égal à sin cos θ pour tout θ réel. Intuitivement, nous pouvons sentir que cette affirmation est fausse et nous pouvons la vérifier en utilisant un contre-exemple. En prenant θ égal à π sur 2, nous pouvons voir que cos sin π sur 2 est égal à cos 1, qui est différent de 0, tandis que sin cos π sur 2 est égal à sin 0, qui est égal à 0. Donc, cette affirmation est fausse. La troisième question concerne un polynôme P. On nous demande s'il existe un polynôme P tel que P(θ) - cos(θ) soit inférieur ou égal à 10 puissance -6 pour tout θ. Nous pouvons intuitivement sentir