Théorème du point fixe

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons parler du point fixe en mathématiques, plus précisément des points attractifs. Nous avons une fonction f qui est dérivable sur l'intervalle [a, b], et nous supposons qu'il existe une constante k appartenant à [0, 1] telle que la dérivée de f soit inférieure en valeur absolue à k. Un point fixe est une solution gamma telle que f(gamma) = gamma. Tout d'abord, nous montrons que ce point fixe est unique. Pour cela, nous posons g(x) = f(x) - x et utilisons le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'il existe au moins un point fixe. Ensuite, nous supposons qu'il y en a deux et utilisons le théorème des inégalités des accroissements finis (IAF) pour montrer qu'ils sont identiques. Ensuite, nous considérons une suite définie par récurrence et souhaitons montrer qu'elle converge vers le point fixe gamma. Pour cela, nous utilisons à nouveau l'IAF pour encadrer u(n) - gamma et démontrer que cette suite converge vers 0, ce qui implique que u(n) converge vers gamma. En conclusion, nous avons vu que le point fixe est unique, qu'il est attractif et comment utiliser le théorème du point fixe dans des exercices.