Fonctions - Métropole 2022

Dans cet exercice, nous étudions différentes questions sur les fonctions logarithmes. La première question concerne l'équation f(2x) = log(1 + x^2) = 2022. En passant à l'exponentielle des deux côtés de l'équation, nous obtenons 1 + x^2 = e^2022. Comme e^2022 est strictement positif, l'équation admet deux solutions : la racine carrée de e^2022 et son opposé. La deuxième question porte sur la convexité de la fonction G définie par G(x) = x log(x) - x^2. En calculant la dérivée seconde de G, nous pouvons observer que celle-ci est positive entre 0 et 1/2, puis devient négative à partir de 1/2. Par conséquent, la fonction G a un unique point d'inflexion. La troisième question demande de trouver une primitive de la fonction f définie par f(x) = x / (1 - x^2). En identifiant u' / u, nous pouvons reconnaître la dérivée de log(1 - x^2). Ainsi, la primitive de f est -1.5 log(1 - x^2). La quatrième question concerne l'ensemble de définition de la fonction associée à l'expression log(-x^2 - x + 6). Comme nous savons que le logarithme est défini lorsque son argument est strictement positif, nous devons étudier le signe du polynôme -x^2 - x + 6. En déterminant son discriminant, nous trouvons deux racines, et en analysant les signes entre et à l'extérieur de ces racines, nous concluons que l'ensemble de définition est (-3, 2). Enfin, la dernière question concerne une inéquation logarithmique. En simplifiant l'expression, nous obtenons x + 3 < (x + 1)^2. Après étude d'un polynôme du second degré, nous déterminons que l'inégalité est vérifiée pour x appartenant à (-∞, -2) U (1, +∞).