Fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

Cet exercice porte sur l'étude des fonctions, des fonctions logarithmes et de la convexité. Il comporte plusieurs questions classiques telles que le calcul de limite, la dérivation, le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires. La question qui se démarque concerne la position relative d'un segment par rapport à la courbe d'une fonction. Dans la première partie, on calcule la limite de la fonction f(x) en 0. On sépare la fonction en polynôme et logarithme et on obtient que f(x) tend vers moins l'infini. Cela indique la présence d'une asymptote verticale à la courbe de f(x) pour x = 0. Ensuite, on détermine la limite de f(x) quand x tend vers plus l'infini. On factorise la fonction et on constate que f(x) tend vers plus l'infini. On détermine ensuite la dérivée de f(x) et on étudie le signe de cette dérivée. On trouve que f(x) est croissante sur l'intervalle 0 à √2 et décroissante sur l'intervalle √2 à plus l'infini. On montre ensuite que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [4, 5] en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. On admet la dérivée seconde et on étudie la convexité de la fonction f(x). On trouve que f(x) est concave sur l'intervalle [0, √2] et convexe sur l'intervalle [√2, +∞]. Enfin, on utilise les informations précédentes pour déterminer la position relative du segment AM (corde) par rapport à la courbe de f(x). Si le point M est compris entre 0 et √2, le segment AM est en dessous de la courbe. Si le point M est compris entre √2 et plus l'infini, le segment AM est au-dessus de la courbe. Cet exercice permet de mettre en pratique plusieurs concepts importants en étude de fonctions et en calcul de limites, tout en abordant un problème un peu plus original concernant la position relative d'un segment par rapport à une courbe.