Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022

Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, nous avons un cube avec un repère et différents vecteurs exprimés en fonction des vecteurs AB, AD et AE. Le but est de déterminer les coordonnées d'un point, montrer qu'un vecteur est normal à un plan, donner une équation cartésienne du plan et une représentation paramétrique d'une droite. D'abord, nous devons trouver les coordonnées du point G en exprimant le vecteur AG en fonction des vecteurs de base. En utilisant les relations données, on trouve que les coordonnées de G sont 3, 2 et 1. Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N de coordonnées 2, 0 et -3 est normal au plan EHI et déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant les coordonnées du vecteur, nous écrivons une équation cartésienne de la forme 2X + 0Y - 3Z + D = 0 et trouvons que D = 3. L'équation cartésienne de EHI est donc 2X - 3Z + 3 = 0. Nous devons également trouver les coordonnées du point I en utilisant le fait que le triangle EIF est isocèle en I. Nous trouvons que les coordonnées de I sont 3.5, 0 et 2. Ensuite, nous devons mesurer l'angle EIF avec précision. En utilisant le produit scalaire, nous calculons le cosinus de l'angle et trouvons qu'il est égal à -5/13. En utilisant la fonction arc cosinus, nous trouvons que l'angle EIF est d'environ 112.6 degrés. Enfin, nous devons donner une représentation paramétrique de la droite delta qui passe par le point R de coordonnées 6, -3, -1 et est dirigée par le vecteur U de coordonnées -3, 4, 1. La représentation paramétrique de delta est donc X = 6 - 3T, Y = -3 + 4T, Z = -1 + T. Pour déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG, nous utilisons la représentation paramétrique de delta en égalant X à 3. En trouvant la valeur de T qui vérifie cela, nous trouvons que les coordonnées de K sont 3, 1, 0. Finalement, nous vérifions que le point K appartient bien à la rète BC en utilisant une équation de droite ou en remarquant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, indiquant que K est le milieu de BC et donc appartient au segment BC.