Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

Dans cet exercice, nous étudions la fonction exponentielle et une suite définie par récurrence. Tout d'abord, nous calculons les premiers termes de la suite, u1 et u2, en utilisant la fonction f définie par f(x) = x^3 * e^x. Ensuite, nous démontrons par dérivation que pour tout x réel, f'(x) = x^2 * e^x * (x+3). En utilisant les variations de cette fonction, nous justifions le tableau de variation de f. Enfin, nous démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, -1 ≤ un ≤ 0. Pour cela, nous montrons que la proposition est vraie au rang 0, et nous supposons qu'elle soit vraie au rang n pour montrer qu'elle est vraie au rang n+1. En utilisant cette propriété, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée par 0, et donc elle converge vers un réel l ≤ 0. En résolvant l'équation f(x) = x, nous trouvons que l est nécessairement égal à 0. Ainsi, nous avons déterminé la limite de la suite un.