Absurde et principe des tiroirs

Le cours explique le raisonnement par l'absurde pour prouver une propriété mathématique. La propriété à démontrer impose la présence d'au moins deux réels x_i et x_j (parmi un ensemble de x_0, x_1, ... x_n) tels que la distance entre eux est inférieure ou égale à 1/n. Pour commencer, on écrit la propriété sous forme de quantificateurs pour pouvoir facilement écrire sa négation. Ensuite, pour démontrer la propriété, on suppose sa négation et on cherche à obtenir une contradiction. On utilise la somme télescopique pour montrer que x_n - x_0 est supérieur ou égal à 1, ce qui est une contradiction puisque x_n et x_0 sont dans [0,1]. Enfin, on démontre la propriété autrement en utilisant le principe des tiroirs : on divise [0,1] en n segments de même longueur et on range les x_i dans ces segments. Comme il y a n+1 x_i et seulement n segments, il doit y avoir au moins deux x_i dans un même segment, ce qui implique que leur distance est inférieure ou égale à 1/n.