Récurrence costaude

Bonjour à tous ! Dans cette vidéo, nous allons calculer des sommes à l'aide d'intégrales. Nous commençons par poser IN, qui est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente du x à la puissance n, dx. Nous devons calculer I0 et I1, puis trouver une relation entre IN et IN+2. Enfin, nous déduirons une expression de IN en fonction de n. I0 est égal à l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente à la puissance 0, donc égal à 1. I1 est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente, que nous pouvons exprimer comme le quotient sinus/cosinus. En effectuant le calcul, nous trouvons que I1 est égal à 1,5 ln(2). Pour trouver une relation entre Im et Im+2, nous utilisons une astuce consistant à écrire Im+2 comme la différence entre tangente de n+2 et tangente de n+2 de x. Nous faisons ensuite un changement de variable en posant phi égal à la tangente de x. Cela nous permet d'obtenir une expression simplifiée de Im. En utilisant le théorème de changement de variable, nous trouvons que Im est égale à 1/(n+1). En appliquant cette formule à différents indices, nous obtenons les expressions des I2, I4, etc. Nous remarquons également que In tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant cette propriété, nous déterminons les limites des suites suivantes : la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(k-1)/k et la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(n-1)/(2k-1). Nous trouvons que la première suite tend vers ln(2) et la deuxième suite tend vers pi/2. En conclusion, nous avons utilisé l'intégration par parties pour calculer des sommes via des intégrales. Nous avons également déterminé des relations et des limites pour ces sommes. Merci de m'avoir suivi et à bientôt !