Somme de coefficients binomiaux

Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de coefficients binomiaux. La première question consiste à calculer la somme de 0 parmi n, 1 parmi n, ... jusqu'à n parmi n. Pour formaliser cela, on calcule la somme de k parmi n, où k varie de 0 à n. En utilisant le binôme de Newton, on trouve que la somme des coefficients binomiaux est égale à 2 puissance n. On demande ensuite de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. En transformant l'équation et en développant les termes, on obtient la somme de (-1) puissance k fois le coefficient binomial k parmi n est égale à 0. On peut alors appliquer le binôme de Newton pour prouver que la somme des termes pairs est égale à la somme des termes impairs. Enfin, on demande de calculer la somme de 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n et la somme de 1 sur k plus 1 fois k parmi n. En utilisant le binôme de Newton et des astuces pour manipuler les termes, on trouve que la première somme est égale à 2 puissance n moins 1, et la deuxième est égale à 1 sur n plus 1 fois (2 puissance n plus 1 moins 1). Il est important de formaliser les expressions mathématiques pour résoudre ces problèmes et de ne pas avoir peur de travailler sur l'expression du binôme de Newton.