Circuit alimenté par deux générateurs

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous étudions un circuit alimenté par deux générateurs. Le circuit est composé d'un générateur de tension continue E en série avec une résistance R, et d'un autre générateur de tension E/2 en série avec une résistance R/2. Pour établir les équations différentielles, nous utilisons la loi des mailles pour chaque maille du circuit. On obtient ainsi deux relations : UC(t) = (E/2)*R*I1(t) et UC(t) + R*I2(t) = 2. En utilisant la loi des noeuds, nous obtenons une relation entre le courant I(t) traversant le condensateur, I1(t) et I2(t). En combinant toutes ces relations, nous obtenons une équation différentielle : (d^2UC/dt^2) + (3/(RC))*dUC/dt = (2/(RC))*E. Nous résolvons ensuite cette équation différentielle en trouvant la solution générale associée à l'équation homogène, puis en cherchant une solution particulière. En combinant ces solutions, nous obtenons l'expression complète de UC(t) : UC(t) = (E/3)*(2 + e^(-3t/RC)). Nous déterminons également les constantes de l'équation en utilisant les conditions initiales. Pour cela, nous utilisons le fait que le courant I2(t) était nul avant la fermeture de l'interrupteur, ce qui implique que UC(t=0-) = UC(t=0+) = E. En utilisant ces conditions, nous trouvons que UC(t=0) = E/3. Ensuite, nous déterminons le temps T1 nécessaire pour que UC(t) atteigne sa valeur finale à 1% près. Grâce à l'expression de UC(t), nous remplaçons UC(t) par sa valeur atteinte à 99% de sa valeur finale, ce qui nous permet d'isoler T1 dans l'expression. Nous trouvons ainsi que T1 = -(RC)*ln(0.02/3). Enfin, nous exprimons la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit. En utilisant la loi d'Ohm, nous exprimons les tensions aux bornes des résistances en fonction de UC(t) et E. En remplaçant UC(t) par son expression, nous obtenons l'expression de la puissance dissipée. Nous remarquons que cette puissance tend vers E^2/(6R) lorsque t tend vers l'infini, ce qui est cohérent avec un raisonnement physique basé sur l'analyse du circuit. En résumé, cette vidéo présente l'étude d'un circuit alimenté par deux générateurs. Nous établissons les équations différentielles et résolvons l'équation pour trouver l'expression de la tension aux bornes du condensateur. Nous déterminons également le temps nécessaire pour atteindre la valeur finale de la tension, et exprimons la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.