Bolzano Weierstrass

Bonjour à tous, dans ce cours nous allons étudier le théorème de Bolzano-Weierstrass. Pour bien comprendre cette mécanique, il faut être rigoureux et bien poser les sous-suites extraites. En suivant ces étapes avec précision, nous pourrons résoudre le problème de manière calme et rigoureuse. Nous définissons une suite complexe avec une relation de récurrence de la forme un+2 = un+1 + un/2πi. Nous posons une suite auxiliaire Mn, qui correspond au maximum des valeurs absolues des deux termes consécutifs un et un+1. Notre objectif est de montrer que Mn+1 est inférieur à (1+1/(2πi))^n+1. Nous utilisons alors la propriété que le maximum est forcément plus grand que les deux valeurs. Ainsi, un est inférieur à Mn et un+1 est également inférieur à Mn, ce qui démontre cette inégalité. Ensuite, nous tentons de majorer Mn. Pour cela, nous utilisons l'inégalité ln(un+x) < x, que nous transformons ensuite en une inégalité sur l'exponentielle. Ou alors, nous utilisons l'inégalité un+x < 2x, qui revient au même. Dans tous les cas, nous utilisons une inégalité connue sur l'exponentielle ou le logarithme. Ensuite, nous utilisons le théorème de Bolzano-Weierstrass pour la question 3. Nous savons qu'il existe une fonction Phi telle que un de Phi(n) converge. Cette suite convergente est notre suite fameuse. Nous voulons ensuite déterminer un réel A super A0 pour lequel un de Phi(n) - un est inférieur à A^n. Pour cela, nous décomposons simplement un de Phi(n) - un en plusieurs termes et démontrons que cela fonctionne. Enfin, pour la dernière question, nous devons revenir à la définition de la limite pour trouver une réponse claire. Nous montrons que Mn est bornée en utilisant le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui nous dit que nous pouvons extraire une suite convergente de cette suite bornée. En conclusion, nous avons utilisé différentes techniques, notamment le théorème de Bolzano-Weierstrass, pour résoudre ce problème de manière rigoureuse et précise.