Géométrie - Métropole 2022

Cet exercice de géométrie dans l'espace porte sur plusieurs concepts tels que l'orthogonalité, les équations cartésiennes, les représentations paramétriques, les projections orthogonales, les longueurs et les volumes de tétraèdres. Tout d'abord, nous devons déterminer les coordonnées des points E, F, G et K dans un repère donné. En utilisant une lecture graphique, nous trouvons que les coordonnées sont les suivantes : E (0, 0, 1), F (1, 0, 1), G (1, 1, 1) et K (1, 1,5, 0). Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N (2, -2, 1) est orthogonal au plan E, G, K. Pour cela, nous utilisons la définition d'orthogonalité entre un vecteur et deux vecteurs non collinéaires d'un plan. En calculant les produits scalaires entre N et les vecteurs EG et EK, nous obtenons des résultats de 0. Ainsi, N est bien orthogonal au plan E, G, K. Nous devons également montrer que le plan E, G, K est admet une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z - 1 = 0. Pour cela, nous utilisons le fait que le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, ce qui implique une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z + D = 0. En remplaçant les coordonnées du point E dans cette équation, nous trouvons que D = -1. Ainsi, le plan E, G, K admet bien l'équation cartésienne demandée. Ensuite, nous devons déterminer la représentation paramétrique de la droite D, qui est orthogonale au plan E, G, K et qui passe par le point F. Comme le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, il peut être utilisé comme vecteur directeur de la droite D. En utilisant les coordonnées du point F (1, 0, 1) et du vecteur N, nous obtenons la représentation paramétrique de la droite D : x = 1 + 2t, y = -2t, z = 1 + t. Nous devons également trouver les coordonnées du projeté orthogonal L de F sur le plan E, G, K, qui sont (5/9, 4/9, 7/9). Pour cela, nous utilisons le fait que le point L est à la fois sur la droite D et le plan E, G, K. En résolvant les équations résultantes, nous trouvons que le paramètre t est égal à -2/9. En remplaçant cette valeur dans les coordonnées de la droite D, nous obtenons les coordonnées du point L comme demandé. Ensuite, nous devons justifier que la longueur LF est égale à 2/3. En utilisant la formule classique de distance dans l'espace, nous calculons la distance LF en substituant les coordonnées dans la formule et obtenons le résultat de 2/3. Nous devons également calculer l'aire du triangle EFG et en déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à 1/6. En utilisant la formule de l'aire d'un triangle (demi-produit des longueurs des côtés), nous trouvons que l'aire du triangle EFG est de 1/2. En utilisant la formule du volume d