Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

Dans cet exercice de mathématiques sur les suites fonctions, nous étudions la fonction exponentielle avec une suite définie par récurrence. Nous commençons par calculer u1 et u2, puis nous démontrons que f'(x) = x² exponentielle de x fois x plus 3. Nous justifions le tableau de variation de f et démontrons par récurrence que pour tout antinaturel, moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Ensuite, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée, ce qui implique qu'elle converge vers un réel inférieur ou égal à 0. Nous admettons qu'il existe une unique solution de l'équation f de x égale x strictement supérieure à 1,5, puis nous trouvons que cette solution est égale à 0, ce qui conclut l'exercice.