Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022

L'exercice porte sur la géométrie dans l'espace et aborde plusieurs concepts classiques. Dans un premier temps, on nous demande de trouver les coordonnées du point G, qui est obtenu en additionnant les vecteurs AB, AD et AE. En utilisant les relations données, on obtient les coordonnées de G qui sont (3, 2, 1). Ensuite, on nous demande de montrer que le vecteur N de coordonnées (2, 0, -3) est un vecteur normal au plan EHI, et de déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant la formule d'une équation cartésienne et en remplaçant les coordonnées d'un point sur le plan, on trouve que l'équation cartésienne de EHI est 2X - 3Z + 3 = 0. Ensuite, on nous demande de trouver les coordonnées du point I en utilisant les informations sur le triangle EIF et le plan EHI. En remplaçant les coordonnées de I dans l'équation cartésienne de EHI, on trouve que ZI = 2. Les coordonnées de I sont donc (3.5, 0, 2). On nous demande ensuite de déterminer une mesure au degré près de l'angle EIF en utilisant le produit scalaire. En calculant le produit scalaire entre les vecteurs IE et IF et en utilisant la formule du cosinus, on trouve que l'angle EIF mesure environ 112.6 degrés. Enfin, on nous demande de donner une représentation paramétrique de la droite delta passant par le point R(6, -3, -1) et dirigée par le vecteur U(-3, 4, 1). La représentation paramétrique de delta est alors x = 6 - 3t, y = -3 + 4t, z = -1 + t. On nous dit également qu'une équation du plan BFG est x = 3. Finalement, on nous demande de déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG. En remplaçant x par 3 dans la représentation paramétrique de delta, on obtient une équation en une inconnue t. En résolvant cette équation, on trouve que t = 1, et en remplaçant t par 1 dans les coordonnées de delta, on trouve que les coordonnées de K sont (3, 1, 0). On nous demande également de vérifier si le point K appartient au segment BC, et en observant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, on conclut que K est bien le milieu de BC et donc qu'il appartient au segment BC.