Systèmes linéaires

Dans cette vidéo, le sujet abordé est les droites paramétriques dans un repère orthonormé. L'équation d'une droite dm est donnée par 3m-1x +m+1y = m-5. La première question consiste à montrer que toutes les droites dm ont en commun un point A et de trouver ses coordonnées. Pour cela, on isole le paramètre m dans l'équation et on obtient m = (3x+y-1)/m+x+y-5. En considérant que m peut prendre toutes les valeurs réelles, il faut que le facteur devant m soit nul, ce qui donne deux équations : 3x+y-1 = 0 et x+y-5 = 0. En résolvant ce système d'équations, on trouve les coordonnées du point A qui sont x=3.5 et y=-7.5. Ensuite, on se demande si toute droite passant par A est une droite dm. Pour le démontrer, on peut soit en prendre une quelconque et montrer que c'est vrai, soit en trouver une seule qui ne vérifie pas l'équation. On écrit l'équation cartésienne d'une droite passant par A sous la forme AY - YA + BX - XA = 0, puis en remplaçant les valeurs de A, on obtient AY + 7.5 + BX - 3.5 = 0. On essaye alors de trouver une droite, d1, qui passe par A mais ne vérifie pas l'équation dm. On pose d1 = 1/2Y + 7/2 + 1/2X - 3/2 = 0. On vérifie ensuite si d1 vérifie les conditions de l'équation dm, c'est-à-dire si 3m-1 = 1/2 et m+1 = 1/2. On en déduit que m doit être égal à 1/2 et à -1/2, ce qui est contradictoire. Par conséquent, on a démontré qu'il n'existe pas de m tel que d1 appartienne à l'ensemble des dm. Ainsi, toute droite passant par A n'appartient pas forcément à l'ensemble des dm. Cet exercice est intéressant pour développer le raisonnement mathématique et la logique.