Inégalité de Bonferroni

Dans cet exercice, nous voulons démontrer la formule suivante en utilisant la récurrence : la probabilité de l'intersection de n événements est supérieure ou égale à la somme des probabilités moins n moins 1. Nous commençons par l'initialisation pour n égal à 2. La probabilité de l'intersection est égale à la probabilité de A1 plus la probabilité de A2 moins la probabilité de leur union, soit P(A1) + P(A2) - P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - 1. Nous obtenons bien moins 1 ici. Ensuite, nous passons à l'hérédité. La probabilité de l'intersection jusqu'à n plus 1 est égale à la probabilité de l'intersection jusqu'à n fois la probabilité de n plus 1 moins la probabilité de l'intersection avec A n plus 1. Nous utilisons la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) que nous connaissons depuis longtemps. Notre hypothèse de récurrence nous dit que cette probabilité est supérieure ou égale à la somme des P(Ai) moins n moins 1. Nous réinjectons ensuite P(An+1) dans la somme, sachant que cette probabilité est plus petite que 1. Comme il y a un moins, le plus grand, cela nous convient parfaitement. Nous réinjectons cette probabilité dans la somme jusqu'à n plus 1 et nous obtenons moins n plus 1, le moins 1 ici, qui correspond à n plus 1 moins 1 dans la formule. L'hérédité est démontrée et la récurrence a été relativement rapide à faire. Nous avons bien obtenu la formule demandée. C'est tout pour cet exercice.