Cours de Dérivation et étude de fonctions en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dérivation et étude de fonctions

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Dans cette vidéo, Corentin aborde le concept des fonctions paires et impaires. Il présente quatre fonctions différentes: un polynôme de degré 4, une fraction rationnelle, une somme de fonctions trigonométriques et une autre fonction trigonométrique. Il commence par rappeler la définition d'une fonction paire, qui est vérifiée lorsque pour tout élément x dans son domaine de définition, x est également dans le domaine de définition et f (-x) = f (x). De même, une fonction est impaire si la première condition est vérifiée et f (-x) = - f (x). En analysant le premier polynôme, il remarque que son domaine de définition est ℝ (l'ensemble des nombres réels) et que pour tout x dans ℝ, l'opposé de x est également dans ℝ. Ainsi, la première condition est vérifiée et en calculant f (-x), il trouve que f (-x) = f (x). Donc, cette fonction est paire. Ensuite, il passe à la deuxième fonction, une fraction rationnelle. Il constate que -1 appartient au domaine de définition de la fonction, mais que 1 n'y appartient pas, car il annule le dénominateur. Par conséquent, cette fonction n'est ni paire ni impaire, car la première condition n'est pas vérifiée. Il poursuit avec la troisième fonction, une somme de fonctions trigonométriques. Il rappelle que la somme de deux fonctions paires est paire et que la somme de deux fonctions impaires est impaire. En analysant les fonctions individuellement, il remarque que le cosinus de 2x est impaire et que la tangente de x est également impaire. Par conséquent, selon le rappel, la fonction f₁₋₃ associée au cosinus de 2x plus la tangente de 2x est impaire. Enfin, il aborde la dernière fonction, f₁₋₄, qui est la somme du cosinus de 2x et du sinus de 2x. Il constate que f₁₋₄ (π/4) = cosinus (π/4) + sinus (π/4) = 1,5, mais que f₁₋₄ (-π/4) = cosinus (-π/4) + sinus (-π/4). Étant donné que le cosinus est pair et que le sinus est impaire, le terme avec le cosinus peut être simplifié et il conclut que f₁₋₄ (-π/4) = 0. Ainsi, f₁₋₄ n'est pas paire ni impaire. En résumé, le polynôme de degré 4 est paire, la fraction rationnelle n'est ni paire ni impaire, la somme de fonctions trigonométriques est impaire et la somme du cosinus de 2x et du sinus de 2x n'est ni paire ni impaire.

Décomposition d’une fonction en fonction paire et impaire

Dans cet exercice, nous devons montrer que la fonction F peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Pour cela, nous utilisons un raisonnement par analyse synthèse. Dans la première partie de l'analyse, nous supposons que F s'écrit effectivement comme la somme d'une fonction paire G et d'une fonction impaire H. En utilisant la parité de G et l'imparité de H, nous obtenons un système linéaire à deux inconnus à résoudre. Nous trouvons que G de X est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et que H de X est égal à F de X moins F de moins X sur 2. Dans la partie de la synthèse, nous supposons l'existence de deux autres fonctions paire et impaire, G1, G2 et H1, H2 respectivement, qui s'écrivent également comme la somme de F. En utilisant à nouveau la parité de G et l'imparité de H, nous obtenons un système linéaire similaire. En le résolvant, nous trouvons que G1 est égal à G2 de X, qui est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et H1 est égal à H2 de X, qui est égal à F de moins X moins F de moins X sur 2. Ainsi, nous avons montré que le couple de fonctions paire et impaire G, H est unique. Par conséquent, F peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une fonction paire G et d'une fonction impaire H, où G de X est égal à F de X plus F de moins X sur 2, et H de X est égal à F de X moins F de moins X sur 2.

Axes de symétrie d’une fonction

Dans cette vidéo, Corentin aborde les notions fondamentales d'axes et de centres de symétrie. Il commence par lire l'énoncé qui se compose de quatre questions. La première question demande de montrer que la droite d'équation x=3/2 est un axe de symétrie du graphe de la fonction f(x) = x²-3x+2. La deuxième question demande de montrer que le point (1,2) est un centre de symétrie du graphe de la fonction f(x) = (2x+1)/(x-1). La troisième question demande de montrer que le point (0,5) est un centre de symétrie du graphe de la fonction f(x) = exp(x)/(exp(x)+1). Enfin, la quatrième question demande d'étudier les symétries de la courbe représentative de la fonction f(x) = cos(x) + cos(3x). Pour répondre à ces questions, Corentin commence par rappeler la définition d'un axe de symétrie (pour la première question) et d'un centre de symétrie (pour les questions 2 et 3). Il effectue ensuite les calculs nécessaires pour montrer que les valeurs demandées (3/2 pour la première question, (1,2) pour la deuxième question et (0,5) pour la troisième question) sont bien des axes ou centres de symétrie des fonctions données. Enfin, pour répondre à la quatrième question, il remarque une périodicité dans la fonction f(x) et conclut que les axes de la forme x=2kπ (où k est un nombre entier) sont des axes de symétrie de f(x). Il utilise ensuite des calculs pour confirmer cette conclusion. Il souligne également que les fonctions peuvent avoir plusieurs axes de symétrie, d'où l'utilisation de la notation x=2kπ pour montrer qu'un axe est un axe de symétrie.

Fonction bornée

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Parité et dérivation

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