Cours de Matrice 2ième Partie en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Matrice 2ième Partie

Changement de base

Dans ce cours, nous étudions une application linéaire de R3 dans R2. Nous voulons montrer que les bases E1', E2', E3' et F1', F2' sont libre pour R3 et R2 respectivement. Afin de montrer la liberté de ces vecteurs, nous les combinons de manière appropriée pour prouver que les coefficients correspondants sont nuls. De plus, nous montrons que F1' et F2' sont indépendants puisqu'ils ne sont pas collinaires. Ensuite, nous cherchons la matrice de l'application linéaire U dans ces nouvelles bases. Pour cela, nous exprimons U(E1'), U(E2'), et U(E3') en termes de F1' et F2'. En utilisant la définition de U dans la base canonique, nous calculons ces expressions dans la base canonique avant de les réécrire dans la base F1, F2. Ensuite, nous essayons différentes combinaisons linéaires de F1' et F2' pour exprimer les résultats dans la base F1', F2'. En résolvant un système ou en faisant des essais, nous trouvons les coefficients appropriés. Finalement, nous obtenons la matrice de U dans les nouvelles bases en utilisant les expressions trouvées. Il est recommandé de faire ces calculs mentalement, mais il est également possible de poser des systèmes d'équations pour obtenir les coefficients.

Matrices semblables

Ce cours explique comment déterminer si les matrices A, B, C et D sont semblables. Plutôt que de tenter de trouver une matrice P telle que B = P-1 A P, on utilise l'application linéaire associée, notée F. On cherche une base (E1, E2, E3) telle que F(E1) = 0, F(E2) = E3 et F(E3) = 0. On peut réorganiser la base si nécessaire. Par exemple, pour la matrice B, on peut observer F dans la base (E2, E3, E1) au lieu de (E1, E2, E3). On choisit alors U1 = E1, U2 = E3 et U3 = E2. On vérifie que F(U1) = 0, F(U2) = E2 et F(U3) = 0, ce qui correspond bien à la matrice B. Les mêmes étapes sont appliquées pour les matrices C et D. Pour C, on choisit la base (V2, V3, V1) avec V1 = E2, V2 = E3 et V3 = E1. Pour D, on choisit la base (W2, W3, W1) avec W1 = 4E3, W2 = E2 et W3 = E1. Ainsi, en comprenant les matrices comme représentant des applications linéaires, on peut déterminer si elles sont semblables en utilisant cette méthode.

Matrice de passage

Le cours traite de l'endormorphisme U défini à partir d'une base canonique et de trois vecteurs w1, w2, w3. La matrice de cet endomorphisme est calculée en fonction de ces vecteurs. Ensuite, le cours aborde la détermination d'une base du noyau et de l'image de U, ainsi que la détermination du noyau et de l'image de l'endomorphisme U - Id, où Id est l'identité. Il est démontré que U - Id est bijective, ce qui le qualifie d'automorphisme. Enfin, le cours conclut que le noyau de cet automorphisme est réduit à zéro, ce qui signifie qu'il est inversible.