Changement de base

Dans ce cours, nous étudions une application linéaire de R3 dans R2. Nous voulons montrer que les bases E1', E2', E3' et F1', F2' sont libre pour R3 et R2 respectivement. Afin de montrer la liberté de ces vecteurs, nous les combinons de manière appropriée pour prouver que les coefficients correspondants sont nuls. De plus, nous montrons que F1' et F2' sont indépendants puisqu'ils ne sont pas collinaires. Ensuite, nous cherchons la matrice de l'application linéaire U dans ces nouvelles bases. Pour cela, nous exprimons U(E1'), U(E2'), et U(E3') en termes de F1' et F2'. En utilisant la définition de U dans la base canonique, nous calculons ces expressions dans la base canonique avant de les réécrire dans la base F1, F2. Ensuite, nous essayons différentes combinaisons linéaires de F1' et F2' pour exprimer les résultats dans la base F1', F2'. En résolvant un système ou en faisant des essais, nous trouvons les coefficients appropriés. Finalement, nous obtenons la matrice de U dans les nouvelles bases en utilisant les expressions trouvées. Il est recommandé de faire ces calculs mentalement, mais il est également possible de poser des systèmes d'équations pour obtenir les coefficients.