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Carré parfait

Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est un carré parfait. Pour ce faire, nous allons réécrire cette consigne de manière algébrique. Nous posons le but de montrer l'existence d'un cas appartenant à n, un entier naturel, tel que le produit des 4 entiers consécutifs (n x (n+1) x (n+2) x (n+3)), augmenté de 1, est égal à k², où k est un autre nombre au carré. En développant cette expression, nous obtenons n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1, qui contient 5 termes. Sachant qu'une forme de carré parfait a au plus 3 termes après simplification, nous pouvons conclure que ce n'est pas le cas ici. Cependant, nous explorons la possibilité que certains de ces 5 termes soient en réalité 2 termes regroupés. Par exemple, 6n³ pourrait être équivalent à 2n³ + 4n³, de même pour 5n² et 6n². Nous remarquons que ces 5 termes peuvent être écrits comme une triple somme au carré. En identifiant les termes, nous trouvons que le plus grand degré est n⁴, que nous associons à a² (a étant égal à n²). Le plus petit degré, équivalent à c², est 1, ce qui signifie que c est égal à 1. Maintenant, nous cherchons à identifier les termes avec b. Nous constatons que 6n³ peut être exprimé comme 2ab. Si nous avions choisi 2bc, nous aurions trouvé b = 3n³, ce qui n'est pas possible car n² est le plus grand degré. Finalement, nous trouvons que b est égal à 3n. En réécrivant l'expression initiale en utilisant ces identifications, nous obtenons que le produit des 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est égal à (n² + 3n + 1)², ce qui est bien un carré parfait.

Divisibilité

Dans cet exercice, on démontre deux résultats arithmétiques. Tout d'abord, pour tout entier n, on montre que 6 divise 5^n + n. En utilisant les congruences, on montre que ce nombre est divisible par 2 et par 3, donc par 6. Ensuite, on démontre que pour tout entier n, 4^(2^n) + 2^(2^n) + 1 est divisible par 7. En examinant les premières valeurs de n, on constate un motif (4, 2, 4, 2...) qui nous permet de généraliser la propriété par récurrence. Finalement, on conclut en affirmant que pour tout entier n, ces deux propriétés sont vérifiées.

Division euclidienne

Dans cet exercice, on nous demande de déterminer le reste de la division du nombre 96 842 par chacun des nombres 256 et 375. Pour cela, nous utilisons le calcul initial qui nous donne le résultat 96 842 = 256 x 375 + 842. Notons que le reste dans une division euclidienne doit être strictement plus petit que le quotient. Cependant, dans ce cas, 842 n'est pas plus petit que 256 ou 375, ce qui pose problème. Pour résoudre ce problème, nous allons réduire uniquement le chiffre 842. La méthode consiste à faire la division euclidienne de 842 par 256 pour obtenir le quotient 3 et le reste 74. Ensuite, nous faisons la division euclidienne de 842 par 375 pour obtenir le quotient 2 et le reste 92. Cette fois-ci, les conditions de la division euclidienne sont respectées, c'est-à-dire que le reste est plus petit que le quotient dans les deux cas. Nous utilisons ensuite ces résultats pour réécrire l'équation initiale. Ainsi, 96 842 devient 256 x 375 + 375 x 2 + 92. Nous factorisons ces termes par 375 pour obtenir 375 x 258 + 92. Cette nouvelle écriture respecte bien la division euclidienne, car le reste 92 est plus petit que 375. En utilisant la même méthode, en réécrivant l'équation en utilisant cette fois-ci l'écriture pour 842, nous trouvons que 96 842 est égal à 256 x 378 + 74. Le nombre 378 est obtenu en ajoutant 3 fois 256 à 375. Ainsi, le reste de la division euclidienne de 96 842 par 375 est 92, et le reste de la division euclidienne de 96 842 par 256 est 74.