Carré parfait

Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est un carré parfait. Pour ce faire, nous allons réécrire cette consigne de manière algébrique. Nous posons le but de montrer l'existence d'un cas appartenant à n, un entier naturel, tel que le produit des 4 entiers consécutifs (n x (n+1) x (n+2) x (n+3)), augmenté de 1, est égal à k², où k est un autre nombre au carré. En développant cette expression, nous obtenons n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1, qui contient 5 termes. Sachant qu'une forme de carré parfait a au plus 3 termes après simplification, nous pouvons conclure que ce n'est pas le cas ici. Cependant, nous explorons la possibilité que certains de ces 5 termes soient en réalité 2 termes regroupés. Par exemple, 6n³ pourrait être équivalent à 2n³ + 4n³, de même pour 5n² et 6n². Nous remarquons que ces 5 termes peuvent être écrits comme une triple somme au carré. En identifiant les termes, nous trouvons que le plus grand degré est n⁴, que nous associons à a² (a étant égal à n²). Le plus petit degré, équivalent à c², est 1, ce qui signifie que c est égal à 1. Maintenant, nous cherchons à identifier les termes avec b. Nous constatons que 6n³ peut être exprimé comme 2ab. Si nous avions choisi 2bc, nous aurions trouvé b = 3n³, ce qui n'est pas possible car n² est le plus grand degré. Finalement, nous trouvons que b est égal à 3n. En réécrivant l'expression initiale en utilisant ces identifications, nous obtenons que le produit des 4 entiers consécutifs augmentés de 1 est égal à (n² + 3n + 1)², ce qui est bien un carré parfait.