Cours de Généralités sur les Probabilités en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Généralités sur les Probabilités

Écriture ensembliste

Dans cet exercice, nous avons trois événements A, B et C provenant de l'univers Omega. Nous devons les traduire en langage ensembliste en utilisant les symboles d'intersection, d'union et le complémentaire. Voici les résumés en langage SEO-friendly : 1. Seul A se réalise : A ∩ (B̅ ∩ C̅) ou A ∩ (B ∪ C̅) 2. A et B se réalisent, mais pas C : A ∩ B ∩ C̅ 3. Les trois événements se réalisent : A ∩ B ∩ C 4. Au moins l'un des trois événements se réalise : A ∪ B ∪ C 5. Au moins deux des trois événements se réalisent : (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) 6. Aucun ne se réalise : A̅ ∩ B̅ ∩ C̅ 7. Au plus l'un des trois se réalise : Ω̅ \ (A ∪ B ∪ C) 8. Exactement deux des trois se réalisent : (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∩ (A̅ ∪ B̅ ∪ C̅)

Probabilité de l’intersection

Dans cet exercice, nous cherchons à démontrer l'inégalité de la probabilité de l'intersection de deux événements. Selon la formule, la probabilité de l'intersection est comprise entre le maximum de 0 et la somme des probabilités des deux événements moins 1, et le minimum des probabilités de chaque événement. Pour démontrer le côté droit de l'inégalité, nous utilisons la formule et montrons que la probabilité de l'union de deux événements est plus grande que la probabilité de chaque événement individuellement. En remplaçant les valeurs, nous constatons que la probabilité de l'intersection est plus petite que la probabilité de chaque événement individuel et donc plus petite que le minimum des deux. Ensuite, nous démontrons l'égalité de l'autre sens en montrant que la probabilité de l'intersection est plus grande que le maximum des deux probabilités individuelles. Nous prouvons que la probabilité de l'intersection est plus grande que zéro en tant que probabilité, et en utilisant la formule, nous montrons qu'elle est également plus grande que le maximum des deux probabilités individuelles. En conclusion, cet exercice démontre l'inégalité de la probabilité de l'intersection de deux événements en utilisant des formules et des comparaisons de probabilités.

Inégalité de Bonferroni

Dans cet exercice, nous voulons démontrer la formule suivante en utilisant la récurrence : la probabilité de l'intersection de n événements est supérieure ou égale à la somme des probabilités moins n moins 1. Nous commençons par l'initialisation pour n égal à 2. La probabilité de l'intersection est égale à la probabilité de A1 plus la probabilité de A2 moins la probabilité de leur union, soit P(A1) + P(A2) - P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - 1. Nous obtenons bien moins 1 ici. Ensuite, nous passons à l'hérédité. La probabilité de l'intersection jusqu'à n plus 1 est égale à la probabilité de l'intersection jusqu'à n fois la probabilité de n plus 1 moins la probabilité de l'intersection avec A n plus 1. Nous utilisons la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) que nous connaissons depuis longtemps. Notre hypothèse de récurrence nous dit que cette probabilité est supérieure ou égale à la somme des P(Ai) moins n moins 1. Nous réinjectons ensuite P(An+1) dans la somme, sachant que cette probabilité est plus petite que 1. Comme il y a un moins, le plus grand, cela nous convient parfaitement. Nous réinjectons cette probabilité dans la somme jusqu'à n plus 1 et nous obtenons moins n plus 1, le moins 1 ici, qui correspond à n plus 1 moins 1 dans la formule. L'hérédité est démontrée et la récurrence a été relativement rapide à faire. Nous avons bien obtenu la formule demandée. C'est tout pour cet exercice.

Loi de dés pipés

Dans cet exercice, on cherche à modéliser une expérience aléatoire avec un dé à six faces, où la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au chiffre sur cette face. Pour cela, on a défini un espace probabilisé où la probabilité de faire 1 est x, la probabilité de faire 2 est 2x, et ainsi de suite jusqu'à la probabilité de faire 6 qui est 6x, pour que les probabilités soient proportionnelles. On sait que la somme des probabilités de toutes les faces doit être égale à 1. Donc on a l'équation x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 1, ce qui donne 21x = 1, et donc x = 1/21. Maintenant, on veut calculer la probabilité d'obtenir un chiffre pair. Comme les événements sont disjoints, on peut simplement faire la somme des probabilités des faces paires, qui sont 2/21 + 4/21 + 6/21. En simplifiant par 3, on obtient 4/27. Ensuite, on reprend les questions en modifiant le dé à six faces pour que la probabilité d'obtenir une face paire soit le double de la probabilité d'obtenir une face impaire. On a donc x pour les faces impaires et 2x pour les faces paires. En utilisant la même méthode, on obtient x = 1/9 et les probabilités des faces paires sont 2/9 + 2/9 + 2/9, ce qui simplifie à 2/3.

Déterminer une loi

Dans cet exercice, on part de l'ensemble de nombres 1 à n et on cherche à trouver une probabilité proportionnelle à k² pour avoir l'ensemble 1 à k. On utilise la variable λ pour représenter cette probabilité et on sait que la probabilité d'avoir juste k est égale à λk² moins λ(k-1)². Après développement, on obtient 2λk-1 comme probabilité d'avoir juste k. On sait également que la probabilité d'avoir tout l'ensemble de 1 à n est égale à 1. En utilisant cette information, on peut déduire que λ est égal à 1/n². Ainsi, la probabilité d'avoir juste k parmi les nombres 1 à n est égale à (2k-1)/n². Voilà en résumé l'exercice.

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