Cours de Concentration et Loi des Grands Nombres en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Concentration et Loi des Grands Nombres

Somme de VA : Bernoulli

Dans cet exercice, nous avons 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p égal à 0,23. La question est de déterminer la loi de la variable aléatoire x, qui est la somme de ces 300 variables aléatoires. Pour comprendre cela, nous faisons deux rappels. D'abord, un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Ensuite, nous rappelons qu'une loi binomiale de paramètre np donne le nombre de succès sur n répétitions. Dans notre cas, x est la somme des 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p égal à 0,23. En sommant ces variables, nous comptons le nombre de succès sur les 300 répétitions. Donc, x suit une loi binomiale de paramètre n égal à 300 et p égal à 0,23. De plus, nous rappelons que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est égale à n fois p. Dans notre cas, n est égal à 300 et p est égal à 0,23, donc l'espérance de x est égale à 69.

Somme de VA de même loi

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice de probabilité portant sur la somme de variables aléatoires indépendantes. Plus précisément, l'exercice consiste à tourner une roue de loterie comportant cinq secteurs angulaires égaux plusieurs fois. Chaque secteur a une valeur de points attribuée, soit 300 points pour les deux premiers secteurs, 100 points pour le troisième secteur et moins 400 points pour les deux derniers secteurs. Nous devons décomposer la variable aléatoire Z, représentant le gain algébrique en points à la fin du jeu, en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes. Ensuite, il nous est demandé de calculer l'espérance de Z, c'est-à-dire la moyenne des gains. En procédant à cette décomposition, nous identifions que Z est égal à x1 + x2 + x3 + x4, où x1 représente le gain algébrique au premier lancé de roue. Nous déduisons également que les x1 suivent une certaine loi : x1 est égal à 300 avec une probabilité de 0,4, à 100 avec une probabilité de 0,2 et à moins 400 avec une probabilité de 0,4. Pour calculer l'espérance de Z, nous pouvons utiliser la propriété d'additivité de l'espérance. Ainsi, nous obtenons l'espérance de Z en additionnant l'espérance de chaque x1, x2, x3 et x4. Comme les variables aléatoires suivent la même loi, nous multiplions l'espérance de x1 par 4. En substituant les valeurs correspondantes, nous trouvons que l'espérance de Z est égale à 4 fois moins 20, ce qui donne moins 80. En d'autres termes, en moyenne, les joueurs perdront 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu.

Modéliser par une somme (1)

Dans cette vidéo, Corentin présente un exercice portant sur les variables aléatoires et la modélisation probabiliste d'événements. L'exercice consiste à lancer un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4, ainsi qu'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'objectif est d'étudier la somme des résultats des deux dés (D2D) et de proposer deux variables aléatoires x et y qui permettent de modéliser la situation. Corentin suggère de réfléchir à cette situation de manière logique, en pensant comme un programme informatique. Il explique que x représente le résultat obtenu avec le dé tétraédrique et y représente le résultat obtenu avec le dé cubique. Ainsi, la somme x + y représente la somme des résultats des deux dés. Il propose ensuite un bonus, qui est de calculer l'espérance de x + y. L'espérance de x + y est égale à l'espérance de x + l'espérance de y. En considérant que les résultats des deux dés sont équiprobables, Corentin effectue les calculs nécessaires et trouve que l'espérance est égale à 6. Il interprète alors cela comme signifiant qu'en moyenne, le participant à ce jeu obtient un score de 6. En résumé, l'exercice consiste à modéliser la somme des résultats de deux dés en utilisant les variables aléatoires x et y, et à calculer l'espérance de cette somme, qui s'avère être égale à 6.