Somme de VA de même loi

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice de probabilité portant sur la somme de variables aléatoires indépendantes. Plus précisément, l'exercice consiste à tourner une roue de loterie comportant cinq secteurs angulaires égaux plusieurs fois. Chaque secteur a une valeur de points attribuée, soit 300 points pour les deux premiers secteurs, 100 points pour le troisième secteur et moins 400 points pour les deux derniers secteurs. Nous devons décomposer la variable aléatoire Z, représentant le gain algébrique en points à la fin du jeu, en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes. Ensuite, il nous est demandé de calculer l'espérance de Z, c'est-à-dire la moyenne des gains. En procédant à cette décomposition, nous identifions que Z est égal à x1 + x2 + x3 + x4, où x1 représente le gain algébrique au premier lancé de roue. Nous déduisons également que les x1 suivent une certaine loi : x1 est égal à 300 avec une probabilité de 0,4, à 100 avec une probabilité de 0,2 et à moins 400 avec une probabilité de 0,4. Pour calculer l'espérance de Z, nous pouvons utiliser la propriété d'additivité de l'espérance. Ainsi, nous obtenons l'espérance de Z en additionnant l'espérance de chaque x1, x2, x3 et x4. Comme les variables aléatoires suivent la même loi, nous multiplions l'espérance de x1 par 4. En substituant les valeurs correspondantes, nous trouvons que l'espérance de Z est égale à 4 fois moins 20, ce qui donne moins 80. En d'autres termes, en moyenne, les joueurs perdront 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu.