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Probabilités

Cardinal de l’univers

Dans cet exercice de probabilité, on nous présente un univers fini et un ensemble d'événements mutuellement indépendants. On crée ensuite de nouveaux événements qui appartiennent aux partitions de cet univers. La condition est que chaque nouvel événement soit égal à l'événement d'origine ou à son complémentaire. On démontre ensuite que l'intersection de tous ces nouveaux événements n'est pas vide. En effet, les événements sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités respectives. Comme les probabilités des nouveaux événements sont toutes différentes de zéro, leur intersection sera donc également différente de l'ensemble vide. Ensuite, on nous demande de montrer que si les nouveaux événements sont différents, alors leurs intersections sont disjointes. On prouve cela en supposant que l'un des nouveaux événements est différent des autres. Cela implique qu'il existe un événement d'origine qui diffère entre les deux ensembles. Comme les nouveaux événements sont soit égaux à l'événement d'origine, soit à son complémentaire, alors leurs intersections seront vides. Enfin, on en déduit que le cardinal de l'univers est supérieur ou égal à 2 puissance n (où n est le nombre d'événements d'origine). On montre cela en utilisant le fait que chaque nouvel événement contient au moins un élément de l'univers, et que ces éléments sont tous différents les uns des autres. Puisque chaque nouvel événement a deux possibilités (correspondant à l'événement d'origine ou à son complémentaire) et qu'il y a n événements, il y a donc au moins 2 puissance n éléments dans l'univers. Voilà pour un résumé SEO friendly de cet exercice de probabilité.

Probabilités

Indicatrice d’Euler

Dans cet exercice de Proba, nous avons un entier N strictement supérieur à 1 et nous choisissons de manière équiprobable un entier X parmi les entiers entre 1 et N. Nous définissons les événements AM, où M est inférieur ou égal à N, comme étant l'événement où M divise X. L'événement B correspond à X étant premier avec N. Nous notons P1 jusqu'à PR tous les diviseurs premiers de N. Pour exprimer B en fonction des APK, nous devons noter que si X est premier avec N, cela signifie qu'aucun PK ne divise X. Ainsi, B peut être exprimé comme l'intersection des complémentaires de AP1, AP2, jusqu'à APR. Pour calculer la probabilité de AM pour tout entier M qui divise N, nous considérons que N est égal à Kfois M et examinons les multiples de N plus petits que N, tous étant dans AM. Il y a K tels multiples car N est égal à K fois M. Ainsi, la probabilité de AM est égale à K/N. Ensuite, pour montrer que les événements AP1, AP2, jusqu'à APR sont mutuellement indépendants, nous utilisons la définition. Nous prenons des entiers I1 jusqu'à IK choisis parmi les nombres premiers. Étant donné que les PIJ sont premiers entre eux, le produit des probabilités est égal à la probabilité de l'intersection. Ainsi, les événements AP1, AP2, jusqu'à APR sont mutuellement indépendants. Nous en déduisons que la probabilité de B est égale au produit des probabilités des complémentaires de AP1, AP2, jusqu'à APR. En utilisant le fait que la probabilité de APJ bar est égale à 1-PJ, nous pouvons exprimer la probabilité de B comme le produit de 1 moins PJ pour J allant de 1 à R. Enfin, nous notons Phi de N comme l'indicatrice de l'ensemble des entiers plus petits que N qui sont premiers avec N. Nous montrons que Phi de N est égal à N fois le produit de 1 moins PK pour K allant de 1 à R. Cela ressemble à la probabilité de B, et en utilisant l'équiprobabilité, nous pouvons exprimer Phi de N comme N fois ce produit.

Analyse

Inégalité de Hölder et Minkowski

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Analyse

Fonctions convexes avec asymptote

Dans cet exercice, on utilise l'inégalité des pentes pour montrer certains résultats liés à une fonction convexe. Tout d'abord, on suppose que la limite de la fonction, lorsque x tend vers l'infini, est égale à zéro, et on doit montrer que la fonction est positive. On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe un x0 pour lequel la fonction est strictement négative. En utilisant la définition de la limite, on peut trouver un x1 plus grand que x0 tel que la fonction soit comprise entre f(x0) et zéro. Par l'inégalité des pentes, on montre que f(x) est strictement plus grand que cette expression. Cependant, cette expression est une fonction affine avec un coefficient directeur strictement positif, ce qui signifie qu'elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Cette contradiction montre que la fonction ne peut pas être négative, donc elle est positive pour tout x. Ensuite, on nous demande de montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Au lieu d'utiliser la dérivée seconde comme d'habitude, on utilise une approche différente, car on n'a pas d'information sur la dérivabilité de la fonction. On pose une fonction g qui est la somme de la fonction convexe f et de la fonction affine ax + b. On veut montrer l'inégalité de convexité, c'est-à-dire que g(tx + (1-t)y) est plus petit que t(g(2x) + (1-t)g(2y)), où t est un nombre entre 0 et 1. On remplace g par son expression et on réarrange les termes pour obtenir l'inégalité désirée. Enfin, on suppose que la courbe représentative de f a une asymptote et on doit montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. On pose y = x + b comme équation de l'asymptote. On définit g_2(x) comme f_2(x) - ax + b, qui est la différence entre la fonction et l'asymptote. En utilisant le fait que l'asymptote tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, on montre que la limite de g_2(x) est également 0. En utilisant les questions précédentes, où on a montré que g est convexe et positive, on en déduit que f_2(x) est toujours plus grand que ax + b, c'est-à-dire que la courbe de f est toujours au-dessus de son asymptote.

Analyse

Inégalité et convexité

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Grossissement

Dans cette vidéo, on aborde le sujet de la lunette astronomique et on se concentre sur le calcul du grossissement. Pour cela, on nous donne les valeurs de la distance focale de l'objectif (50 cm) et de l'oculaire (8 cm). Avant de passer au calcul, on présente brièvement la lunette astronomique. Elle est composée d'un objectif, qui est la première lentille convergente rencontrée par les rayons lumineux, et d'un oculaire, qui est la deuxième lentille convergente permettant de faire converger les rayons vers l'œil de l'observateur. Le foyer F2 de l'oculaire est confondu avec le foyer image F1 de l'objectif, ce qui rend le montage afocal. En ce qui concerne le calcul du grossissement, on utilise la formule classique : le grossissement est égal à l'angle alpha prime sous lequel on observe les rayons sortant de l'oculaire, divisé par l'angle alpha incident des rayons par rapport à l'axe optique arrivant sur l'objectif. Cependant, cette formule peut être approximée pour des angles très petits et équivaut à F1' / F2'. F1' représente la distance focale de l'objectif et F2' représente la distance focale de l'oculaire. Le grossissement est donc égal à F1' / F2'. Dans cet exercice, le grossissement est de 6,3. En conclusion, on a ainsi calculé le grossissement d'une lunette astronomique en utilisant les valeurs des distances focales de l'objectif et de l'oculaire. Le grossissement est une mesure importante en physique pour ce type d'objet. Merci d'avoir suivi la vidéo et à bientôt !

Schéma

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique le trajet d'un rayon lumineux à travers une lunette astronomique. La lunette est composée de deux lentilles convergentes, avec des distances focales f1' et f2'. Le foyer image de la première lentille est confondu avec le foyer objet de la deuxième lentille, ce qui rend le montage AFOC. Pour construire l'image d'un objet situé à l'infini, il faut tracer deux rayons. Le premier rayon passe par l'axe optique de la première lentille sans être dévié. Le deuxième rayon passe par le foyer image de la première lentille et est parallèle au premier rayon. Ensuite, le premier rayon entre dans la deuxième lentille parallèlement à l'axe optique, tandis que le deuxième rayon est tracé parallèlement à l'axe optique et passe par le centre de la deuxième lentille. L'intersection de ces deux droites donne la position de l'image de l'objet. Dans le cas d'une lunette astronomique, les rayons sortent de manière parallèle, ce qui donne l'impression de regarder l'infini. Il est important de refaire ce schéma plusieurs fois pour bien comprendre le tracé des rayons. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt.

Zoom

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Bonne configuration

Dans cette vidéo, on aborde la question de la configuration correcte d'une lunette astronomique. Trois schémas sont proposés, et il faut expliquer le choix. Pour cela, il faut comprendre ce qu'est un montage à focale, c'est-à-dire un système optique qui convertit un faisceau de lumière parallèle en un autre faisceau parallèle. Dans le cas d'une lunette astronomique, on sait que l'objectif reçoit d'abord les rayons, puis l'oculaire les reçoit ensuite, c'est-à-dire là où l'œil est placé. Pour différencier les deux premiers schémas, on peut considérer que si les rayons viennent de l'infini, ils doivent passer par f1' (le foyer image de l'objectif) avant de repartir vers l'infini, ce qui signifie qu'ils passent par f2 (le foyer objet de l'oculaire). Ainsi, pour un montage à focale, il est nécessaire que f1' et f2 soient confondus. Seul le premier schéma satisfait cette condition, donc c'est la bonne configuration pour une lunette astronomique à focale.

Montage afocal

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Image intermédiaire

Dans cette vidéo, Mathis explique comment placer une image intermédiaire à l'intérieur d'une lunette astronomique. Il commence par expliquer qu'il a tracé deux rayons issus d'un point B d'un objet AB situé à l'infini. Le point A est situé sur l'axe optique. Ensuite, il faut placer l'image A1, B1 de l'objet AB donné par l'objectif. Pour construire cette image, il faut se placer au niveau du point où les rayons se croisent, c'est-à-dire au niveau du foyer image de l'objectif ou du foyer objet de l'oculaire. A1 et B1 sont donc situés à cet endroit de croisement. L'image intermédiaire est donc bien placée dans la lunette astronomique. Ensuite, la vidéo aborde la question de l'emplacement de l'image A' B' de l'objet A1, B1 donné par l'oculaire. Mathis explique qu'il s'agit d'un montage infocal, ce qui signifie que F1' est confondu avec F2. Cela transforme un faisceau de lumière parallèle en un autre faisceau de lumière parallèle. Par conséquent, l'image A' B' donnée par l'oculaire est située à l'infini. C'est une notion cruciale à comprendre pour la lunette astronomique. À partir de cette image intermédiaire, puisqu'elle est placée au niveau du foyer objet de l'oculaire, elle ressortira à l'infini. En conclusion, Mathis remercie les spectateurs d'avoir suivi la vidéo et leur donne rendez-vous prochainement.