Cardinal de l’univers

Dans cet exercice de probabilité, on nous présente un univers fini et un ensemble d'événements mutuellement indépendants. On crée ensuite de nouveaux événements qui appartiennent aux partitions de cet univers. La condition est que chaque nouvel événement soit égal à l'événement d'origine ou à son complémentaire. On démontre ensuite que l'intersection de tous ces nouveaux événements n'est pas vide. En effet, les événements sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités respectives. Comme les probabilités des nouveaux événements sont toutes différentes de zéro, leur intersection sera donc également différente de l'ensemble vide. Ensuite, on nous demande de montrer que si les nouveaux événements sont différents, alors leurs intersections sont disjointes. On prouve cela en supposant que l'un des nouveaux événements est différent des autres. Cela implique qu'il existe un événement d'origine qui diffère entre les deux ensembles. Comme les nouveaux événements sont soit égaux à l'événement d'origine, soit à son complémentaire, alors leurs intersections seront vides. Enfin, on en déduit que le cardinal de l'univers est supérieur ou égal à 2 puissance n (où n est le nombre d'événements d'origine). On montre cela en utilisant le fait que chaque nouvel événement contient au moins un élément de l'univers, et que ces éléments sont tous différents les uns des autres. Puisque chaque nouvel événement a deux possibilités (correspondant à l'événement d'origine ou à son complémentaire) et qu'il y a n événements, il y a donc au moins 2 puissance n éléments dans l'univers. Voilà pour un résumé SEO friendly de cet exercice de probabilité.