Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous considérons le contexte où notre voisine a deux enfants dont nous ignorons le sexe. Les trois événements à prendre en compte sont : A. Les deux enfants sont de sexe différent. B. L'aîné est une fille. C. Le cadet est un garçon. Nous voulons montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de n'importe quel enfant de naître fille ou garçon est supposée être de 1,5 (50% pour les deux possibilités). Pour visualiser cela, nous utilisons un arbre avec les branches correspondant aux différentes possibilités de sexe pour chaque enfant. La probabilité de l'événement A (deux sexes différents) est de 2 chances sur 4, car il y a deux branches qui nous intéressent sur les quatre possibles. La probabilité de l'événement B (l'aîné est une fille) est également de 1,5, car il y a deux possibilités pour le sexe de l'aîné (garçon ou fille) avec une probabilité de 50% pour chacune. La probabilité de l'événement C (le cadet est un garçon) suit le même raisonnement, avec une probabilité de 1,5. Ensuite, pour montrer que ces événements sont deux à deux indépendants, nous calculons les probabilités des intersections de chaque paire d'événements et les comparons aux produits des probabilités correspondantes. Nous constatons que la probabilité de l'intersection de A et B (deux sexes différents et l'aîné est une fille) est de 1 sur 4, ce qui est égal au produit des probabilités de A et B. De même, l'intersection de A et C (deux sexes différents et le cadet est un garçon) a une probabilité de 1 sur 4, qui est également égale au produit des probabilités de A et C. L'intersection de B et C (l'aîné est une fille et le cadet est un garçon) suit la même logique, avec une probabilité de 1 quart, qui est égale au produit des probabilités de B et C. Cela démontre que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, lorsque nous examinons la probabilité de l'intersection des trois événements (A, B et C), nous constatons qu'elle n'est pas égale au produit des probabilités individuelles. La probabilité de l'intersection des trois événements est de 1 quart (soit la probabilité d'avoir une fille puis un garçon), tandis que le produit des trois probabilités individuelles est de 1,8. Cela prouve que les événements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se termine cet exercice de probabilité.