Fonctions convexes avec asymptote

Dans cet exercice, on utilise l'inégalité des pentes pour montrer certains résultats liés à une fonction convexe. Tout d'abord, on suppose que la limite de la fonction, lorsque x tend vers l'infini, est égale à zéro, et on doit montrer que la fonction est positive. On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe un x0 pour lequel la fonction est strictement négative. En utilisant la définition de la limite, on peut trouver un x1 plus grand que x0 tel que la fonction soit comprise entre f(x0) et zéro. Par l'inégalité des pentes, on montre que f(x) est strictement plus grand que cette expression. Cependant, cette expression est une fonction affine avec un coefficient directeur strictement positif, ce qui signifie qu'elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Cette contradiction montre que la fonction ne peut pas être négative, donc elle est positive pour tout x. Ensuite, on nous demande de montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. Au lieu d'utiliser la dérivée seconde comme d'habitude, on utilise une approche différente, car on n'a pas d'information sur la dérivabilité de la fonction. On pose une fonction g qui est la somme de la fonction convexe f et de la fonction affine ax + b. On veut montrer l'inégalité de convexité, c'est-à-dire que g(tx + (1-t)y) est plus petit que t(g(2x) + (1-t)g(2y)), où t est un nombre entre 0 et 1. On remplace g par son expression et on réarrange les termes pour obtenir l'inégalité désirée. Enfin, on suppose que la courbe représentative de f a une asymptote et on doit montrer que la courbe est toujours au-dessus de cette asymptote. On pose y = x + b comme équation de l'asymptote. On définit g_2(x) comme f_2(x) - ax + b, qui est la différence entre la fonction et l'asymptote. En utilisant le fait que l'asymptote tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, on montre que la limite de g_2(x) est également 0. En utilisant les questions précédentes, où on a montré que g est convexe et positive, on en déduit que f_2(x) est toujours plus grand que ax + b, c'est-à-dire que la courbe de f est toujours au-dessus de son asymptote.