Inégalité de Bernoulli

Dans cet exercice, nous montrons l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité de la fonction 1+x^n. Habituellement, cette inégalité est démontrée en utilisant le raisonnement par récurrence, mais ici nous utilisons la convexité. Pour étudier la convexité de la fonction sur l'intervalle (-1, +∞), nous dérivons deux fois la fonction et étudions le signe de la dérivée. La dérivée première est n(1+x^(n-1)) et la dérivée seconde est n(n-1)(1+x^(n-2)). Comme n>2 et x>-1, les dérivées sont positives. Ainsi, f' est positive et donc f est convexe sur (-1, +∞). Nous en déduisons alors que pour x>-1, 1+x^n > 1+nx, ce qui est l'inégalité de Bernoulli. Une propriété importante à retenir est qu'une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes. Donc, pour obtenir une inégalité avec une fonction affine, il suffit de considérer la fonction affine comme une tangente de la fonction convexe. En utilisant cette propriété, nous considérons la fonction 1+x^n comme une tangente de f au point d'abscisse 0. En vérifiant que 1+nx est bien l'équation de cette tangente, nous concluons que f(x) est plus grand que 1+nx. Ainsi, 1+x^n > 1+nx sur l'intervalle (-1, +∞).