Moyennes arithmétique et géométrique

Dans cet exercice, on nous donne les définitions des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Nous devons montrer que la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique, et que cette dernière est plus petite que la moyenne harmonique. Pour prouver cela, nous commençons par montrer que la moyenne arithmétique est plus petite que le plus grand des deux nombres. Ensuite, nous démontrons que la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique. Enfin, nous montrons que la moyenne harmonique est plus grande que le plus petit des deux nombres. Ensuite, nous démontrons que la moyenne géométrique est plus grande que le plus petit des deux nombres. En utilisant les inverses des nombres, nous montrons également que la moyenne harmonique est plus grande que la moyenne géométrique. Nous utilisons ensuite ces résultats pour montrer que la moyenne harmonique est entre le plus petit et le plus grand des deux nombres. Finalement, nous démontrons le cas général pour une moyenne géométrique et une moyenne arithmétique avec plus de deux nombres. Nous utilisons la convexité de la fonction logarithme pour montrer que la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique. En résumé, nous avons démontré que la moyenne géométrique est plus petite que la moyenne arithmétique, elle-même plus petite que la moyenne harmonique. Cette démonstration s'appuie sur les relations entre les différentes moyennes et utilise la convexité de la fonction logarithme.