Home

Courses

2BAC SM Maroc

Dans cette vidéo, le cours introduit le principe de la méthode de démonstration par récurrence, en se basant sur l'exemple de la formule de la somme des n entiers consécutifs. La méthode de démonstration par récurrence s'applique uniquement aux propriétés dépendant de n. Il est important de noter que la méthode de récurrence ne fournit pas une formule, mais plutôt une manière de démontrer une formule dont on a déjà une intuition. Pour démontrer la propriété, on commence par une initialisation, où la propriété est vérifiée pour une valeur spécifique de n. Ensuite, on prouve que si la propriété est vraie pour un certain n, alors elle est également vraie pour n+1, ce qui permet de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiers. Il est crucial de ne pas oublier cette initialisation, car sans elle, la méthode de récurrence ne fonctionnera pas. Le cours souligne également trois points clés à retenir : le principe général de la récurrence (initialisation et hérédité), l'importance de l'initialisation (qui peut commencer à n=0, n=1, etc.) et l'inégalité de Bernoulli, qui peut être démontrée par récurrence. En termes de méthode, la récurrence peut être appliquée aux suites, utilisée pour démontrer une formule générale basée sur quelques termes, ou pour résoudre des problèmes plus complexes nécessitant différentes approches de la transmission.

Dans cette vidéo, je vais vous introduire le principe de la méthode de démonstration par récurrence. Le premier point, c'est que la méthode de démonstration par récurrence s'applique uniquement à des propriétés qui dépendent de n. C'est pour ça qu'en général, on arrange cette méthode dans le chapitre des suites. J'ai vu au cours des années, les étudiants souvent réussir à l'appliquer sans trop de problèmes, parce qu'en fait, c'est pas trop compliqué à appliquer, mais souvent, j'ai l'impression que ça leur échappe un peu le pourquoi, la raison fondamentale de pourquoi ça marche. Pourquoi est-ce que c'est valide comme méthode de démonstration ? Je vais essayer de vous démontrer ça, en tout cas de vous l'expliquer avec intuition, basé sur un exemple. J'ai pris un exemple assez classique, qui est la formule de la somme des n entiers consécutifs. C'est-à-dire 1, plus 2, plus 3, plus 4, jusqu'à plus n quelconque de votre choix. En fait, il se trouve qu'il y a une formule compacte pour ça. La formule compacte, c'est le dernier entier que vous voulez mettre dans votre somme, multiplié par le prochain, n plus 1, divisé par 2. Ce qu'il faut savoir sur la démonstration par récurrence, c'est qu'elle ne va pas vous sortir de nulle part une formule. C'est plutôt une méthode qui va vous permettre de démontrer une formule dont vous avez déjà senti une intuition. C'est-à-dire que vous êtes capable d'écrire la formule, vous dites bon, je sens que c'est ça, je sens que c'est n n plus 1 sur 2 et ça a l'air de marcher, je vais essayer de démontrer que c'est vrai après. Donc en gros, il faudra souvent, soit on vous dira dans les exos, bah, démontrez cette propriété de n par récurrence, là vous n'avez pas trop creusé la tête, soit il faudra astucieusement faire des calculs de la propriété, par exemple pour n égale 0, n égale 1, n égale 2, et en voyant quelques termes se dire, à coup sûr c'est ça, à coup sûr ça dépend de n de cette manière là. Maintenant que j'ai l'intuition, je vais le démontrer par récurrence. Donc le problème c'est que, en fait, j'ai pas le temps quand je vais montrer une propriété pour tous les n, je peux pas le faire pour tous les n à la main, quoi. Je pourrais essayer avec n égale 2, ça fait 1 plus 2, est-ce que 1 plus 2 c'est bien égal à 2 fois celui d'après, 2 fois 3 divisé par 2, ça fait 2 fois 3, 6 divisé par 2, 3, ça fait bien 3, ça marche. Je pourrais réessayer pour 1 plus 2 plus 3, on voit que ça fonctionne, mais je vais pas démontrer l'ensemble parce que, bah, il y en a une infinité et donc j'ai pas le temps. Donc l'idée c'est, on va se demander, est-ce que ça serait pas possible de démontrer que quand j'ai la propriété qui est vraie à un certain instant, alors ça implique qu'elle soit vraie à l'instant d'après. Ça, ça serait super, c'est-à-dire que si j'arrivais à démontrer ça, si je montre qu'elle est vraie à l'instant 3, pour n égale 3, si vous voulez pour l'entier 3, alors ça implique que, boum, elle est vraie pour 4. Donc si j'ai cette espèce d'hérédité, de transmission de la propriété d'un rang à l'autre, bah en fait je peux m'arrêter là. Une fois que je l'ai pour 4, hop, 4, c'est vrai. Ça va donc être vrai pour 5. Et donc en fait, je vais continuer comme ça. Ça va être vrai pour 3, ça va impliquer pour 4, donc pour 4 ça implique pour 5, pour 5 implique pour 6, à l'infini. Vous avez compris. L'idée c'est qu'en fait, si j'ai cette propriété de transmission, j'ai pas à me prendre la tête à tous les faire un par un. C'est bon. Le petit truc qui manque, et que des fois les élèves ne comprennent pas trop je crois, c'est qu'il faut en fait une pitch net. C'est un peu, on dit souvent, un effet domino, la récurrence, c'est-à-dire que je l'ai quelque part et ça implique, blop blop blop, la propriété sur tous, le meilleur bruitage de l'année. Ça implique la propriété partout, mais il faut quand même qu'il y ait une pitch net initiale. C'est-à-dire qu'en fait, si c'est jamais vrai, ça marche pas. Il faut qu'il y ait un moment, une petite pitch net. Il faut que ça ait été vrai, par exemple, à n égale 0, et que, pouf, ça implique pour 1, 2, 3, 4. Si c'est vrai nulle part, mais que je démontre théoriquement que ça pourrait se transmettre, j'ai rien. C'est-à-dire que j'ai juste des dominos posés, mais ils sont jamais écroulés. Donc ça va être un petit peu une dénuance, et ça va être pour ça que souvent les profs vont un peu vous dire, n'oublie pas l'initialisation. On va appeler initialisation la pitch net, et héréditer la transmission des dominos. Il faudra surtout pas l'oublier, et c'est pour cette raison-là. Il faut vraiment imaginer que vous avez compris le principe de ça se transmet, mais il faut quand même transmettre quelque chose, il faut transmettre une vérité. C'est pour ça qu'on insistera beaucoup là-dessus. Donc, petit bilan, on aura trois points de cours, en fait deux gros points de cours principaux à connaître dans ce chapitre. Le principe général, c'est donc l'initialisation et l'hérédité. Savoir que c'est ça le principe général de la récurrence, et savoir le rédiger proprement. On verra, il faudra s'adapter un peu à ce que veulent vos profs, mais il y aura une rédaction type à respecter, sinon on perdra des points bêtes. Le deuxième point, c'est un peu une note, en fait, c'est l'initialisation. La première pitch net n'est pas nécessairement pour n égale 0, il ne faudra pas être stressé ou perturbé par le fait qu'on puisse commencer la pitch net à n égale 3 ou 4. Enfin, le troisième point de cours, c'est une inégalité classique, qui s'appelle l'inégalité de Bernoulli, et il faudra savoir la démontrer et la démonstration sera par récurrence. En termes de méthode, il y en aura trois également. Des trucs qui tombent souvent, en fait, c'est un, l'application aux suites. Des fois, vous avez des suites et si vous voulez démontrer qu'elles ont un signe constant, par exemple, ou qu'elles sont croissantes ou décroissantes, la récurrence pourrait être une bonne méthode. Le deuxième exemple, très classique, la méthode un peu classique qu'il faut connaître, c'est un peu dans le domaine de ce que j'ai expliqué pour 1, 2, 3, jusqu'à n, pour démontrer une formule générale, souvent les exercices de terminale vous demanderont ayez l'intuition de la formule avec quelques termes, ensuite démontrez-la par récurrence. On fera un exemple concret de ça. Et enfin, petit 3, c'est plus lié à des galères que j'ai remarqué, je les élève à moi. Des fois, en fait, la manière de montrer la transmission peut être faite, enfin, il peut y avoir plusieurs manières de faire, et il y a peut-être moyen que vous hésitiez un peu. Il y aura de la pratique à avoir, mais j'ai envie que vous ayez à peu près deux visions, enfin, une vision un peu globale de différentes manières de faire pour démontrer cette hérédité, cette transmission. Voilà, c'est tout pour cette intro, à tout de suite dans la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, le professeur explique le principe de la récurrence en mathématiques. Il rappelle que pour démontrer une propriété par récurrence, il faut montrer qu'elle est vraie pour un entier donné, puis que si elle est vraie pour cet entier, elle est également vraie pour l'entier suivant. En utilisant cette "pichenette initiale" et cette transmission, on peut prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers.

Le professeur insiste sur l'importance de la rédaction dans la démonstration par récurrence. Il souligne qu'il faut toujours conclure la démonstration en affirmant que la propriété est vraie pour tout entier. Si cette conclusion n'est pas incluse, il est possible de perdre des points. Il recommande ainsi de donner une vision d'ensemble de la démonstration après avoir montré l'initialisation et la transmission de la propriété.

Le professeur mentionne également que dans environ 10% des exercices, la démonstration par récurrence commence avec un entier différent de zéro, ce qui peut dérouter les étudiants. Il donne l'exemple d'une suite récurrente où il faut prouver la propriété pour tout entier supérieur à 2, au lieu de 0.

Enfin, le professeur rappelle aux étudiants de se référer aux consignes spécifiques de leur professeur concernant la rédaction de la démonstration par récurrence, afin d'obtenir de bons résultats. Il invite également les étudiants à poser leurs questions dans la FAQ du cours pour obtenir des éclaircissements supplémentaires.

Pour cette première vidéo de cours sur la récurrence, j'ai envie d'insister un petit peu sur la rédaction, l'importance de l'initialisation et les erreurs à ne pas faire. Donc on va commencer le rappel de concept, on démontre une propriété par récurrence en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un entier et deuxième propriété que si elle est vraie quelque part alors elle est vraie juste après. Si elle est vraie pour 7, elle est vraie pour 8. Si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n plus 1. La combinaison de cette pichenette initiale et de cette transmission nous donne une vérité de la propriété pour tous les entiers. C'est un peu ce que j'ai mis ici avec cet exemple de domino encore. Le principe général, donc traduit en mathématiques, c'est quand on a une propriété qu'on appelle P comme propriété de n, si on sait qu'elle est vraie quelque part dans 90% des exos, c'est ça que je dis ici, dans 90% des exos ce sera le cas, si elle est vraie pour n égale 0 et qu'ensuite on a la propriété de transmission qui est la propriété numéro 2 ici, propriété numéro 2 c'est à dire si c'est vrai en n c'est vrai en n plus 1, alors pour tout entier P de n sera vraie. Alors ça c'est incroyable, c'est une des sources de perte de points les plus absolues que je vois tout le temps avec mes élèves. Il faut conclure, il faut cette phrase, alors je l'ai mis en rose là, il faut absolument que vous le mettiez. Si vous ne mettez pas cette phrase de conclusion, le prof, alors selon son degré de sévérité, soit il vous mettra des points de pitié parce que vous avez bien fait le tout, il se dit quand même ils ont tout fait, l'effort j'ai pas tout enlevé, soit il est juste très très très strict, il dit il n'y a pas de conclusion, ça vaut rien, il vous met 0 à l'exo. Ça fout les glandes, honnêtement. Donc essayez de faire gaffe, le principe c'est une fois que vous avez démontré l'hérédité, le fait que si on a P de n, ça implique P de n plus 1, il faut donner un peu une vision d'ensemble, dire ok j'ai montré la petite flamèche, la petite pigeonnette initiale, j'ai montré la transmission, concluons, donc c'est vrai pour tout entier. On l'attend, c'est important, si vous ne le mettez pas vous perdez les points, donc c'est comme ça. Dans cette vidéo je voulais vous montrer surtout le fait que dans 10% des exos, donc attendez on ne voit pas mon petit 10% là, dans 10% des exos, à peu près, mais après c'est des chiffres que je fais comme ça, c'est dans mon expérience peut-être que c'est 12% des exercices mais dans 10% des exos, vous aurez exactement le même process, sauf que ça commence par n0, c'est à dire que vous aurez la propriété qui sera vraie par exemple pour 3 ou 4 ou 5 et non pas en 0, et ça, il ne faut pas que ça vous fasse déjanter genre je ne sais plus quoi faire, c'est en fait le même principe. Je vous fais un exemple juste pour que, pour voir un exemple assez simple, imaginez on vous donne une suite un, donc n plus grand régal à 2, le premier truc qu'il faut remarquer c'est ça, la définition même de la suite ne commence pas à 0, ça a l'air louche mais pourquoi pas. La définition de un n'est pas explicite, on me donne un premier terme puis une relation entre un plus un et un, on appelle ça une définition récurrente, donc vous voyez pourquoi ce mot, dans ta démonstration par récurrence, définition d'une suite de manière récurrente, ce mot est le même parce qu'en fait il y a l'idée de transmission d'un rang à l'autre, c'est pour ça qu'on retrouve un peu le même champ lexical. Donc ça c'est un truc qu'on a vu en première, on vous dit quel que soit n plus grand égal à 3, donc pour 2 on a ça et pour 3 et plus on a ça, un plus un égal le terme d'avant plus 1 sur n moins 2, alors ça ressemble vachement à une suite arithmétique, c'est à dire le terme d'avant plus quelque chose, ça serait une suite arithmétique si on avait quelque chose de constant, ici c'est pas constant ça dépend de n, donc bon c'est une suite bizarre, il va falloir qu'on voit ce qu'on peut faire. Je vous ai rajouté la petite erreur type, donc on nous demande dans l'exo montrer que, quel que soit n plus grand égal à 2, un plus grand égal à 1, j'ai pas appris la question du siècle, on va essayer de faire ça vite fait mais c'est pour vous montrer la rédaction qu'on attend de vous. La magie du montage, je l'ai écrite à l'avance, on va avoir plusieurs étapes. On écrit soit n plus grand égal à 2, on définit la propriété P2n, P2n c'est U2n plus grand égal à 1, très bien. Première étape, on fait l'initialisation, on écrit pour n égal 2, moi j'ai une définition qui m'a donné U2, U2 égal à 1, c'est plus grand égal à 1, c'est bon j'ai mon initialisation. Encore une fois, vérifiez bien que la rédaction suit ce que votre prof veut. Moi je vous fais une rédaction rapide qui prend les étapes, une par une, je mets tout ce qu'il faut de minimal pour que ce soit juste mais adaptez-vous. S'il vous dit il faut ce vocabulaire, ce mot-là, sinon c'est zéro, suivez-le, ne rentrez pas dans une révolution, ça ne sert à rien. Vous voulez une bonne note, un bon dossier, encore une fois, ne suivez que ce que dit le prof. Voilà, je vous fais juste un exemple rapide. Donc hérédité ensuite, pour n plus grand égal à 3, on a déjà n égal 2 ici, montrons que si Pn est vrai, si Pn est vrai, alors Pn plus 1 est vrai. On a par hypothèse de récurrence, alors HR encore une fois, c'est moi qui l'utilise comme petit petit raccourci, si le prof ne le fait pas, attention, il faut toujours s'adapter. Un plus grand égal à 1, par définition, donc par hypothèse de récurrence j'ai ça, par définition je sais qu'un plus 1 c'est un plus 1 sur n-2, et donc qu'est-ce que j'ai ? Un plus grand égal à 1, je remplace ici, le tout est plus grand que 1 plus 1 sur n-2, le tout est donc plus grand que 1, bon parce que 1 sur n-2, ça c'est plus grand que zéro. Donc Pn plus 1 est vrai. Et là on pourrait s'arrêter là et dire c'est bon, c'est fini, mais non. Petite étape numéro 3, la conclusion en rose, c'est moi qui ai mis du rose dans cette vidéo. On a donc démontré que pour n plus grand égal à 2, Pn est vrai. C'est tout. Si vous n'êtes pas sûr de quelque chose que j'ai fait, un exemple qui n'était pas très clair, vous voulez une clarté supplémentaire sur un élément, n'hésitez pas à aller dans la FAQ, taper votre petit message, voir déjà s'il n'y a pas quelqu'un qui a posé la question, si quelqu'un n'y a pas déjà répondu, et oui on reviendra vers vous, comme d'hab, s'il y a une question qui est vachement vachement demandée, je ferai même une petite vidéo pour vous répondre. A la prochaine !

Dans cette vidéo, on aborde l'importance de l'initialisation dans le contexte de la transmission de propriétés. L'orateur mentionne un exemple spécifique, celui de la propriété P2N, qui affirme que 2 puissance N est divisible par 3, bien que cela soit incorrect. Cependant, cette propriété est transmise, c'est-à-dire que si elle est vraie pour un instant N, elle le sera également pour l'instant N+1. Cela souligne l'importance de l'initialisation, même si celle-ci peut sembler fastidieuse. L'orateur conclut en expliquant qu'il est crucial de faire les initialisations nécessaires pour chaque propriété, car il est peu probable de trouver une initialisation pour des propriétés comme P2N. Cette vidéo est un bonus pour les étudiants, leur montrant que les professeurs insistent sur l'initialisation non pas pour les embêter, mais parce qu'il y a des implications importantes derrière cela. N'hésitez pas à poser des questions ou à consulter la FAQ ci-dessous.

Dernière chose que je voulais vous montrer c'est un petit exemple, hop, ici, donc un exemple pour l'importance de la PitchNet initiale. Si vous me dites, en fait, l'hérédité c'est le truc le plus important, l'initialisation on s'en fiche, ça prend une seconde, on peut l'oublier. Oui, c'est un peu ce que j'avais en tête à l'époque, à votre âge, je me disais, ben... l'initialisation c'est gonflant, on met ça au début et on se prend un peu la tête, qu'est-ce qu'on s'embête. C'est pas faux, mais en fait s'il existe, c'est l'exemple que je vais vous donner, il se trouve qu'il va exister des propriétés qui peuvent se transmettre alors qu'elles sont jamais vraies. Pour vous convaincre de ça, j'en ai trouvé une qui est assez simple. C'est la propriété, donc ça c'est P2N. Hop, P2N ça va être ce truc là, laissez-moi le mettre droit, P2N c'est ça, c'est le fait que 2 puissance N divise par 3. Normalement, vous avez saisi que 2 puissance N c'est pas divisible par 3, 2 puissance N c'est que 2 x 2 x 2 x 2, il n'y a pas de 3 là-dedans, donc 3 ne divise clairement pas 2 puissance N. Par contre, ça va être transmissible, c'est-à-dire que si on se met dans un monde juste où on prend la transmission, on ne cherche pas à voir si c'est vrai ou pas, on dit juste imaginons que c'est vrai un instant N, est-ce que c'est vrai après ? On va dire si 2 puissance N est divisible Je ne sais plus écrire, divisible par 3 il existe P appartient à N tel que 2 puissance N égale 3P. Très bien. Alors 2 puissance N plus 1 égale, ça c'est 2 fois 2 puissance N, je ne suis pas en train d'inventer la roue, égale, j'applique le fait que c'est vrai, j'applique le fait que 3 divise 2 puissance N et je remplace 2 fois 3P égale, si j'en réorganise les termes, 3 fois 2P 3 divise 2 puissance N plus 1 Donc je vais finir la vidéo là dessus, en gros je vous ai montré, il y a une propriété complètement fausse mais qui a cette propriété de transmission, il y a transmission d'un anti à l'autre, si c'est vrai pour 2 puissance N, c'est vrai pour 2 puissance N plus 1 en fait ça, ça devrait être tout le temps, pour peu que j'ai trouvé une pitch net et une vérité initiale et c'est là que ça bloque, là ça va bloquer, vous n'aurez jamais d'initialisation pour cette propriété, c'est pour ça qu'il faut bien être complet et s'embêter à faire l'initialisation à chaque fois. Voilà, petite vidéo très courte pour vous montrer qu'il y a l'injonction un peu des profs de vous dire de ne pas oublier de faire l'initialisation etc mais en fait c'est pas juste pour vous embêter, c'est parce que derrière il y a ça qui est possible c'était une petite vidéo bonus, n'hésitez pas à me poser des questions, si vous avez des réactions etc, la FAQ en dessous est toujours disponible et bien je vous dis à la prochaine !

Dans cette vidéo, le professeur explique l'inégalité de Bernoulli, qui stipule que pour toute valeur réelle A strictement positive et pour tout entier naturel N, on a l'inégalité 1 + A^N ≥ 1 + NA. Il mentionne que cette inégalité est étudiée dans le cadre de la récurrence car elle peut être démontrée de manière simple en utilisant le principe de récurrence.

Pour donner une intuition graphique de cette formule, le professeur compare les deux éléments de l'inégalité à des fonctions. Il remarque que la partie de gauche, A^N, a une forme exponentielle, tandis que la partie de droite, NA, a une forme affine. Il explique que cela traduit le fait qu'une fonction exponentielle monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine et donc est plus grande.

Pour illustrer cette idée, le professeur utilise une simulation graphique où il fait varier différents paramètres, notamment la valeur de A. Il montre que pour certaines valeurs de A, la fonction exponentielle est toujours au-dessus de la fonction affine, tandis que pour d'autres valeurs, la fonction affine dépasse la fonction exponentielle dans un certain intervalle. Cependant, il souligne que cela n'est pas important pour l'inégalité de Bernoulli, car ce qui compte, c'est la suite des points représentés par les coordonnées entières des fonctions.

En observant les points de la suite définie par les fonctions, le professeur constate que, dès le point 2, la suite représentée par la fonction exponentielle est toujours au-dessus de celle représentée par la fonction affine. Il mentionne également que pour les entiers 0 et 1, les deux fonctions sont égales, ce qui peut être vérifié en remplaçant ces valeurs dans l'inégalité de Bernoulli.

Le professeur conclut en soulignant l'utilité de cette inégalité pour les démonstrations mathématiques et invite les spectateurs à poser des questions et utiliser la simulation graphique partagée pour mieux comprendre l'inégalité de Bernoulli.

Pour cette première vidéo, j'ai envie de vous montrer graphiquement à quoi correspond cette inégalité de Bernoulli, qu'on a écrite ici, et qui vous dit qu'en fait, pour toute A strictement positive, donc tout réel A, et pour toute antinaturel N, on a l'inégalité suivante qui est 1 plus A puissance N, plus grand ou égal que 1 plus N A. On l'étudie dans le chapitre de la récurrence parce que la démonstration de la récurrence est très simple quand on utilise le principe de récurrence. L'idée, c'est que je voulais vous donner une intuition graphique de cette formule, qui peut être apprise par cœur, il n'y a pas de problème, mais souvent, encore une fois j'ai remarqué avec mes propres étudiants, peut être un peu mal comprise ou c'est pas toujours évident de savoir un peu à quoi ça réfère. Si on analyse les deux différents éléments, donc il y a la partie de gauche en puissance N, la partie de droite en N fois A. Voyons-les un peu comme des fonctions. Je vais remplacer un peu, pour un petit temps, le N par X dans ma tête, et me rendre compte qu'en fait j'ai du 1 plus A. Si je fixe A, A est une constante. J'ai 1 plus A puissance X, à gauche, et ça, ça me rappelle en premier à l'exponential, et 1 plus A fois X, à droite. Ça, ça me rappelle la troisième, les fonctions affines. Et donc l'idée, je vais me dire, peut-être que ça traduit juste le fait qu'une fonction exponentielle en moyenne monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine, et donc est plus grande. Et c'est exactement ça. Donc c'est juste cette idée qui est derrière cette inégalité. Je vais vous le montrer sur une petite simulation. Enfin, un tracé, quoi. Ici, je peux bouger un petit peu plusieurs paramètres. Donc vous voyez que j'ai introduit deux fonctions, la fonction F en bleu qui est 1 plus A puissance X, et la fonction G en vert qui est 1 plus A X. Mon petit paramètre A, je peux le changer. J'ai mis des valeurs possibles entre 0 et 5, bon il n'y a pas de problème. Si vous déplacez comme ça la valeur de A, vous voyez que les fonctions évoluent. Ce sont différentes fonctions, donc quand A vaut 2 par exemple, ma fonction G de X est 1 plus 3 X, vous voyez qu'elle est une pente 3, alors que donc ma fonction puissance, ça sera 1 plus 2, 3 puissance X. 3 puissance X, ce n'est pas très loin de la vraie exponentielle. E puissance X, rappelez-vous, le E c'est 2,718 quelque chose. Donc c'est une 2,7 puissance X. F de X, c'est un genre d'exponentielle un petit peu décalé, c'est un 3 au lieu d'un 2,7 si vous voulez. Et aussi je change un petit peu, je peux afficher différents duos, différentes paires de fonctions F et G selon la valeur de A. C'est vrai que ça veut dire, dans les linearités de Bernoulli, avoir plusieurs valeurs de A, c'est vrai pour toute A positive, ça veut dire pour toute paire de fonctions. Mais alors si on s'approche un petit peu de certaines valeurs ici, on commencera à le voir mieux pour A égal 3 par exemple. Si je viens zoomer un petit peu sur ce qu'il se passe ici, plus proche, entre 0 et 1. Je suis embêté parce que moi si là je commençais à partir sur des fonctions, c'est peut-être pour me dire, la fonction F sera toujours au-dessus de la fonction verte. Et malheureusement entre 0 et 1, ça semble assez systématique, la fonction verte est au-dessus. Parce que vous savez l'exponentielle, c'est vrai qu'elle monte doucement au début, et là hop, elle se fait dépasser par la fonction affine et après elle démarre et elle ne se peut plus jamais dépasser. Est-ce que c'est un problème ? Ça veut juste dire que c'est pas vrai pour toute X et qu'entre 0 et 1 ça a l'air faux de dire que F est au-dessus de G. Mais en fait nous on s'en fiche de ça ici, nous ce qui nous intéresse c'est la suite. Donc laissez-moi vous afficher différents points. Je vais vous afficher les points de la suite définie de F à partir de G. Donc c'est assez simple, comme ça. Donc là le problème avec F c'est qu'elle est tellement intense en termes de montée pour voir juste le troisième il faut que je l'écale très très fort. Mais vous avez compris l'idée, et j'applique aussi pour la fonction affine. Donc voilà mes points. Je vais diminuer un petit peu la valeur de A pour avoir des fonctions un peu plus visibles sur l'écran. Et voilà ce que j'obtiens. J'obtiens qu'en fait, bon, assez vite, disons dès le point 2 en fait, la fonction bleue, la suite bleue, parce que maintenant les points représentent uniquement les coordonnées entières. Les points représentent vraiment les points de ma suite. La suite bleue est au-dessus de la suite verte. On avait un problème pour les réels entre 0 et 1 et on remarque en fait que, vu qu'on parle de suite, on s'en fiche de tous les réels entre 0 et 1. On peut se focus uniquement sur les entiers. Et il semble que pour ces deux entiers là, 0 et 1, les deux fonctions soient égales. C'est pas très compliqué à vérifier, il suffit de revenir à l'équation qui est ici. Vous remplacez n égale 0, ça fait 1 plus grand égal à 1. Vous remplacez par n égale 1, ça fait 1 plus A plus grand égal à 1. Ah, 1 plus NA. Donc ça fait 1 plus A plus grand égal à 1 plus NA. Donc ça c'est plutôt pratique, on comprend ce que ça veut dire. C'est pas encore une démonstration, ça sera la vidéo suivante. Je voulais introduire ça histoire que ça ait un peu plus de punch pour vous, que ça ait plus de vie. En gros, ça se voit. C'est une inégalité qui est pratique, qui peut aider à faire des démonstrations. Mais surtout, ça se base sur une réalité de fonction que vous connaissez avec votre point d'œuvre. J'espère que ça vous a aidé à comprendre un peu mieux d'où vient cette inégalité. N'hésitez pas toujours à poser des questions. Allez voir dans la FAQ si quelqu'un a déjà pensé à des questions avant vous. Il a déjà répondu. Vous pouvez aussi utiliser cette petite simulation, le lien sera partagé. Juste cliquez, allez jouer avec et voir si ça vous aide un peu à comprendre. Et je vous dis à la prochaine !

La démonstration par récurrence est une technique de preuve mathématique utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour une séquence infinie de nombres. Dans cet exemple, nous devons montrer par récurrence que la suite Un est strictement décroissante. 

Pour commencer, nous définissons la propriété P2n, qui est vraie pour le rang n. Dans ce cas, nous devons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Nous voulons prouver que P2n est vrai pour tous les rangs naturels n. 

Nous commençons par l'initialisation en calculant U1 et U0 pour n=0. Dans cet exemple, U1 est égal à -2 et U0 est égal à 2, ce qui est correct. 

Ensuite, nous passons à l'hérédité. Nous supposons que l'hypothèse de récurrence, c'est-à-dire que Un+1 est plus petit que Un, est vraie pour le rang n. Nous voulons montrer que Pn+1 est vrai. 

Nous utilisons la relation de récurrence Un+1 = 2Un - 6 pour montrer que Un+2 est plus petit que Un+1. Pour simplifier cette démonstration, nous définissons la fonction f(x) = 2x - 6, qui est une fonction affine strictement croissante. 

Puisque Un+1 est plus petit que Un, nous composons cette relation par la fonction f. Ainsi, nous obtenons Un+2 qui est également plus petit que Un+1. 

En conclu

La démonstration par récurrence, alors ça c'est quelque chose qu'il faut savoir maîtriser sur le bout des doigts, au moins sur la rédaction, parce que sinon c'est des points bêtement perdus, et ici je vais vous donner quelques petites astuces pour essayer d'avoir le maximum d'outils pour prouver l'hérédité, qui est évidemment la partie la plus compliquée de cette démonstration par récurrence. On va prendre un exemple, donc ici on a une suite, on a U0 qui est défini par U0 égale 2, et Un plus 1 égale 2 Un moins 6. Donc ce qu'on nous demande c'est de montrer par récurrence que la suite est strictement décroissante. Donc dans la démonstration par récurrence, premier point, on définit P2n, la propriété qui est vraie au rang n. Là pour montrer qu'elle est décroissante strictement, je sais que ce que je vais devoir montrer c'est que Un plus 1 est plus petit qu'Un. Et ce que je dis c'est que je veux montrer que P2n est vraie pour tout n antinaturel. Alors attention, on ne met pas le pour tout n dans la propriété de récurrence, dans P2n. Pourquoi ? Parce que P2n c'est la propriété qui est vraie au rang n seulement. Alors si dedans on met pour tout n, ça n'a plus de sens. Donc c'est une propriété qui est au rang n, et on veut montrer que c'est vrai pour tout rang. Petite erreur des fois qu'on peut voir. Alors on commence par l'initialisation, ça souvent c'est très facile. Faites attention quand même à ne pas se tromper, ici on veut montrer que c'est pour tout n antinaturel. Donc on peut commencer à U0 pour n égale 0, donc on va calculer U1 et U0. Mais faites attention, des fois la propriété n'est vraie qu'à partir du rang 1, etc. Donc il faut quand même faire attention, même si ce n'est pas très compliqué, de ne pas se tromper sur le premier rang. Donc là ici je fais calcul, ça fait U1 égale moins 2, à comparer avec U0 égale 2, c'est bon. L'initialisation est bonne. Ensuite pour l'hérédité. Moi ce que je vous invite à faire très fortement, c'est d'écrire vraiment, l'avoir sous les yeux. Parce que ça aide ce qu'on suppose, c'est à dire que l'hypothèse de récurrence, ma propriété est vraie au rang n. Et ce qu'on veut montrer, que Pn plus 1 est vrai. Et l'explicité, c'est hyper important, parce que quand on le voit sous les yeux, c'est beaucoup plus facile à montrer. Alors là l'exemple n'est pas très compliqué, mais je vous montre comment il faut faire pour que ce soit plus simple pour les hérédités compliquées. Alors là je montre ce que je sais, c'est à dire ce que j'ai supposé, c'est que Un plus 1 est plus petit que Un. Et ce que je veux montrer, c'est que Un plus 2 est plus petit qu'Un plus 1. Donc forcément, vu que c'est une démonstration par récurrence, c'est de l'un en un lien. Il faut que grâce à l'hypothèse de récurrence, je montre celui-là. Si je ne me sers pas de l'hypothèse de récurrence, c'est que je n'avais pas besoin de montrer le résultat par récurrence. Parce que c'est ça la puissance de la démonstration par récurrence, c'est que je me sers d'une hypothèse au rang inférieur. Donc là, évidemment, je pars de là. J'ai Un plus 1 inférieur à Un. Et je vois qu'à partir de ça, il faut que j'aboutisse à Un plus 2. Evidemment, Un plus 2, comment je le construis ? C'est avec l'hypothèse de récurrence. La relation de récurrence, pardon. Un plus 2, ça fait 2 Un plus 1 moins 6. Alors là, c'est là où j'ai l'idée de poser la fonction f qui, à x, associe 2x moins 6. Moi, ce que j'aimerais savoir, c'est le sens de variation de cette fonction. F, c'est une fonction affine qui est de coefficient directeur qui est positive. Donc elle est strictement croissante. Et donc, les relations sur les antécédents vont, par cette fonction, une relation d'infériorité va toujours être vraie si je compose par f. Moi, ce que je sais, c'est qu'Un plus 1 est plus petit qu'Un. Je compose par f, et comme Un plus 2, c'est égal à f de Un plus 1, et Un plus 1, c'est égal à f de Un, avec le f que j'ai posé, je peux composer par f, qui est strictement croissante. Et donc, je me retrouve avec Un plus 2, qui est plus petit qu'Un plus 1. Il y a un plus 1 qui manque ici. Donc là, j'ai démontré l'hérédité rigoureusement. Donc, d'après le principe de récurrence, j'ai bien montré que, pour toute n, anti-naturel, Un plus 1 supérieur à Un, c'est-à-dire ma suite est strictement décroissante. Alors, c'est toujours bien, un petit point de rigueur, Un avec des parenthèses, c'est bien l'objet suite. Donc on peut dire que cet objet est strictement décroissant. Alors que si, des fois on le voit, mais ce n'est pas idéal, si on enlève les parenthèses, il y a un peu confusion. Est-ce que Un, c'est la valeur de la suite au rang n ? Dans ce cas-là, c'est un réel. Ou est-ce que c'est l'objet suite ? Et évidemment, on ne peut pas dire qu'un réel est décroissant. Pour les fonctions, c'est quelque chose où il n'y a pas d'ambiguïté. Il ne faut surtout pas dire que f de x est strictement décroissante. Ça, non. F de x, c'est un réel. C'est f qui est strictement décroissante. Pour Un, c'est pareil. Un tout court, c'est le réel. Et Un, c'est l'objet suite. Chaque fois que vous parlez de la suite, c'est mieux de mettre des parenthèses. Voilà pour cette méthode sur la démonstration par référence.

Dans ce cours, nous allons voir comment utiliser la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n. La formule de la somme des entiers naturels est n(n + 1)/2. Pour utiliser la démonstration par récurrence, il faut connaître le résultat que l'on veut démontrer. Dans cet exemple, nous avons besoin de connaître la formule de la somme des entiers naturels. Nous commençons par poser la proposition p2n, qui est que la somme de 1 à n vaut n(n + 1)/2. Nous montrons ensuite que p2n est vrai pour tout n.

Nous commençons par l'initialisation en vérifiant que la formule est vraie pour n = 1. Ensuite, nous passons à l'hérédité en supposant que p2n est vrai pour un n quelconque et nous voulons montrer que p2n+1 est vrai. Pour cela, nous remplaçons chaque occurrence de n par n + 1 dans l'expression au rang n. Nous appliquons la formule de la somme des entiers naturels à p2n et nous obtenons n(n + 1)/2 + n + 1. En simplifiant cette expression, nous obtenons n(n + 1)/2 + 2(n + 1)/2, ce qui donne (n + 1)(n + 2)/2. Ainsi, nous avons démontré que p2n+1 est vrai.

En conclusion, d'après le principe de récurrence, nous avons prouvé que la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)/2 pour tout entier naturel non nul n. C'est ainsi que nous pouvons utiliser la démonstration par récurrence pour calculer cette somme.

Alors on va voir maintenant comment on peut utiliser encore une fois la démonstration par récurrence en calculant la somme des entiers de 1 à n. Donc ça c'est une formule franchement qu'il faut connaître par coeur et la somme des entiers naturels c'est n de 1 à n, en tout cas c'est nn plus 1 sur 2. Là on met le doigt sur un point important, c'est que pour la démonstration par récurrence il faut connaître le résultat qu'on veut démontrer. Donc si vous n'avez pas d'idée combien ça vaut la somme des entiers naturels, vous ne pouvez pas aller plus loin, parce qu'en fait voilà j'ai besoin de savoir le résultat que je veux démontrer. Donc ça c'est vraiment une faiblesse importante de cette démonstration. Donc si vous n'avez aucune idée on ne va pas pouvoir aller plus loin. Mais là ce que suppose les noncés c'est que c'est une formule que vous devez connaître et donc on va la redémontrer ici. Dans mon hypothèse j'ai ça et donc vous voyez c'est là où j'en ai besoin. Donc je pose p2n qui est la proposition suivante c'est que 1 plus 2 plus 3 jusqu'à plus n ça vaut nn plus 1 sur 2. Comme la dernière fois on ne met pas de pour tout n dans la propriété, ensuite on dit que p2n est vrai pour tout n appartenant à n étoiles. Donc là on peut faire attention ici, la propriété n'est pas définie pour n égale à 0. Donc faisons attention à ça régulièrement parce que des fois les élèves ils mettent pour tout n appartenant à n sans trop se poser de questions. Là, tel que je l'écris, la propriété n'a pas de sens sans 0. Donc je vais commencer à n égale 1. Donc première partie l'initialisation, voilà c'est évident. Je regarde le terme à gauche ça fait juste 1 et j'applique la formule 1 fois 1 plus 1 sur 2 ça fait 1 aussi donc pas de problème. L'hérédité ensuite, alors comme je l'ai dit la dernière fois je suppose, je montre, j'écris ce que je suppose et j'écris ce que je veux montrer. Mon hypothèse de récurrence c'est que je suppose que p2n est vrai un rang n quelconque fixé. Donc j'ai la somme des antinaturels jusqu'à n qui vaut nn plus 1 sur 2 et sous cette hypothèse je vais montrer que p2n plus 1 est vrai et j'explicite ce que ça veut dire. C'est à dire que 1 plus 2 plus n plus 1 ça vaut n plus 1 fois n plus 2 sur 2. Alors là aussi c'est pas très compliqué mais comment on écrit la propriété au rang n plus 1 ? C'est très très simple vous prenez l'expression au rang n et à chaque fois que vous voyez un n vous le remplacez par n plus 1. Donc le n ici devient du n plus 1, le n plus 1 ici ça devient n plus 1 plus 1 donc ça fait n plus 2. Je dis ça parce que parfois, alors c'est pas le cas ici, mais on a un truc du type 2n. Donc 2n si c'était au rang n, au rang n plus 1 ça sera 2n plus 2 quoi et pas 2n plus 1 parce que je remplace le n par n plus 1 et voilà donc ça fait ça et quand je développe ça fait bien 2n plus 2. Donc on applique ça bêtement et ça marche sans problème. Donc je veux partir de l'hypothèse de récurrence donc là quand même ça et ça ça ressemble quand même beaucoup. La seule différence c'est qu'il y a un n plus 1 ici en plus. Alors très bien donc en fait qu'est ce que je dis ? J'ai dit que cette somme là c'est la somme des antinaturels dont j'ai fait une hypothèse de récurrence, sur lesquels j'ai fait une hypothèse de récurrence, plus n plus 1. Donc ça fait la somme, alors je prends l'habitude aussi d'écrire plutôt avec des sigma parce que ça c'est pas très rigoureux. Pour ceux qui vont continuer l'année prochaine vous écrirez principalement tout le temps avec des sigma. Donc c'est la somme de k égale 1 à n des k plus le dernier terme n plus 1. D'après l'hypothèse de récurrence, je sais que ça vaut n n plus 1 sur 2, la somme des antinaturels. Et donc j'applique cette hypothèse, ça fait n n plus 1 sur 2 plus n plus 1. Voilà donc là j'ai plus de trois petits points, je suis content. Maintenant je suis en droit d'espérer que cette quantité là soit égale, je vais montrer que ça soit égal à ça, n n plus 1 sur 2. Et c'est là où c'est bien de voir ce qu'on veut montrer parce que là encore c'est pas très très compliqué mais des fois s'il y a beaucoup de choses à factoriser etc, je suis content de savoir ce vers quoi je veux aboutir. Donc là je vois qu'il y a du n plus 1 ici, donc j'ai très envie de factoriser par n plus 1 là et là au lieu de tout développer bêtement en fait typiquement là je suis content d'avoir mon expression à disposition. Donc je factorise par n plus 1 et ça fait n plus 1 facteur de le n sur 2 qui est ici et le 1 à cause du n plus 1 qui est là. Et donc là je mets tout le même dénominateur et ça fait bien n plus 1 fois n plus 2 sur 2, donc c'est bon l'hérédité est bien démontrée. Donc d'après le principe de récurrence j'ai bien pour toute n antinaturelle non nulle la somme des entiers de 1 à n qui est égale à n n plus 1 sur 2. Voilà pour cet nouvel exemple sur les démonstrations par récurrence.

La démonstration par récurrence est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels (n). Dans cette vidéo, l'accent est mis sur la démonstration de l'hérédité, qui est la partie la plus complexe de la méthode.

Il existe deux cas possibles pour démontrer l'hérédité. Dans les deux cas, l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut montrer doivent être reliés. 

Le premier cas consiste à partir de l'hypothèse de récurrence (Pn) et à aboutir à Pn + 1. Le deuxième cas consiste à partir de Pn + 1 et à utiliser P2n pour conclure. Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées en fonction de l'exercice.

Pour illustrer ces deux cas, un exemple simple est utilisé. Une suite (U) est définie par récurrence avec U0 = 5 et Un+1 = 3Un + 6. L'objectif est de montrer que U1 est strictement positif pour tout n.

La démonstration commence par poser P2n, qui est U strictement supérieur à 0. L'initialisation ne pose aucun problème car U0 vaut 5.

Ensuite, l'hérédité est démontrée en utilisant les deux cas possibles. Dans le premier cas, on part de l'hypothèse de récurrence (Pn) en supposant que U est supérieur à 0. En multipliant par 3 et en ajoutant 6, on obtient que 3Un + 6 est supérieur à 6, qui est lui-même supérieur à 0. Ainsi, Un+1 est supérieur à 0.

Dans le deuxième cas, on part de Pn+1, c'est-à-dire de Un+1, et on utilise l'hypothèse de récurrence (Pn). Comme Un est supérieur à 0, on peut conclure que Un+1 est également supérieur à 0.

Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées selon les besoins. Il n'y a pas de meilleure méthode, tout dépend de l'exercice. Si vous rencontrez des difficultés avec l'une des méthodes, vous pouvez essayer l'autre.

En conclusion, la démonstration par récurrence est une méthode utilisée pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels. L'hérédité, qui est la partie la plus complexe, peut être démontrée en utilisant deux cas possibles. Les deux méthodes sont viables et peuvent être utilisées en fonction des besoins de l'exercice.

Dans la démonstration par récurrence, il y a un point qui est le plus compliqué, c'est de montrer l'hérédité. On va vraiment se focaliser sur l'hérédité, comment on la démontre. Il y a deux cas de figure. Comme je vous l'ai toujours dit, on écrit bien l'hypothèse de récurrence qu'on sait, et on écrit bien ce qu'on veut montrer, mais après il faut faire le lien entre ces deux choses-là. Il y a deux méthodes, soit je pars de l'hypothèse de récurrence, et j'aboutis à Pn plus 1, ou alors je pars de Pn plus 1 et je me sers de P2n pour conclure. Là on va faire sur un exemple pas très compliqué pour que vous voyez bien la différence, et de voir que les deux méthodes sont possibles. On a U0 qui vaut 5, U1 plus 1, une suite définie par récurrence, qui vaut 3U1 plus 6, et on veut montrer que U1 est strictement positif pour toute n. Déjà je pose P2n, c'est Un strictement supérieur à 0. Je vais montrer que P2n est vrai pour toute n. Initialisation, ça ne pose aucun problème, U0 vaut 5. Maintenant l'hérédité. Je commence par écrire ce que j'ai dit, je suppose que P2n est vrai, donc j'écris, même si ce n'est pas très compliqué, Un strictement supérieur à 0, et sous cette hypothèse je vais montrer que Pn plus 1 est vrai, c'est-à-dire Un plus 1 strictement supérieur à 0. Je vais vraiment vous montrer les deux cas possibles, même si dans cette démonstration en particulier ça ne change pas grand-chose. Soit je pars de l'hypothèse de récurrence, donc là j'ai dit Un supérieur à 0, et je construis Un plus 1 à partir de ça, ça veut dire que je multiplie par 3, 3Un supérieur à 0, donc 3Un plus 6 c'est supérieur à 6 qui est lui-même supérieur à 0, et donc c'est bon, j'ai construit Un plus 1 qui est supérieur à 0. Je suis parti de l'hypothèse Pn, et j'aboutis à Pn plus 1. Sinon possibilité numéro 2, c'est que je pars de Pn plus 1, c'est-à-dire je pars de Un plus 1, et je dis Un plus 1 c'est égal à 3Un plus 6, et comme Un est supérieur à 0, tout ça supérieur à 0 c'est bon. Donc d'après le principe de récurrence, j'ai bien Un qui est strictement supérieur à 0. Vous voyez il y a une petite différence, même si comme le résultat n'est pas très compliqué, on a l'impression que c'est un peu la même chose, mais ce n'est pas pareil en fait. Là vraiment je suis parti de Un, et j'ai construit Un plus 1, là je suis parti directement de Un plus 1, et j'ai dit comment se servir à partir de ça, comment je peux me servir de l'hypothèse de récurrence ? Je l'ai injecté directement à l'intérieur de Un plus 1. J'ai dit c'est strictement supérieur à 0, donc c'est bon. Donc ces deux méthodes là sont possibles. Laquelle est la mieux ? En fait ça dépend de l'exercice, mais sachez que si vous êtes en difficulté, et que vous n'arrivez pas avec une méthode, vous pouvez plutôt essayer avec l'autre, peut-être que ça sera plus efficace. Voilà pour l'érignité, comment on peut partir soit de l'hypothèse de récurrence, soit de la propriété au rang Un plus 1. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller dans la FAQ pour ça. Voilà, voilà.

L'exercice consiste à démontrer que la proposition "9 divise 10 puissance n plus 1" est vraie pour tout entier naturel n. 
La question 1 demande de démontrer que si la proposition est vraie pour un entier n, alors elle est aussi vraie pour n plus 1. Pour cela, il faut utiliser le principe de récurrence. Le professeur souligne qu'il ne faut pas surinterpréter les énoncés et se focaliser uniquement sur la démonstration de l'imp

Stop, j'en ai marre de parler, j'ai envie de faire des maths, donc c'est parti. On commence avec ça. On vous dit pour tout entier, naturel, n appartient à n, on considère la proposition 9 divise 10 puissance n plus 1. Très bien. Question 1. Soit n est anti-naturel, démontrez que si Pn est vrai, alors Pn plus 1 est vrai. Donc un petit 1 ici. Donc là, on reconnaît un truc de récurrence. On se dit, mais attends, ça ressemble à une récurrence. On me dit, démontrez que si j'ai la propriété vraie à un rang n, alors ça implique la vérité en n plus 1. Bon, on me parle pas spécialement de récurrence, on me dit pas démontrer par récurrence. On me dit pas rien, non. Faut pas que je me préoccupe là pour l'instant de... Faut pas que je me préoccupe de l'initialisation. On me dit juste, voilà une proposition, montrez que si elle est vraie, elle implique la prochaine. En fait, on me dit un peu, montrez l'hérédité. Bah, j'y vais aller. Alors là, c'est aussi, alors, premier conseil. Protype numéro 1. Il faut ne pas surinterpréter les énoncés. Le truc en maths, c'est d'être vraiment, de vous transformer en machine. C'est, on vous donne un nombre d'infos, genre a, b, c, il faut utiliser a, b, c pour répondre à la question. Faut pas partir sur a, b, c, d, que vous avez cru comprendre. Typiquement, là, si vous commencez à faire, bah, on va essayer de le montrer pour n égale 0, vous faites quelque chose qui n'est pas demandé. Et en l'occurrence, si vous faites ça, vous allez rater tout le principe de l'exo. Bon, c'est un truc qui est... Moi, je me rappelle quand j'étais toujours en terminale, qui m'a beaucoup frustré, mais cet apprentissage de bien lire l'énoncé, c'est pas juste bien le lire, c'est bien capter l'ensemble des infos qui y sont données et celles qui y sont pas. Et pas aller en inventer. Donc ici, typiquement, il faut surtout pas, ce qui serait un réflexe, je pense. On se dit, super, je reconnais les références. Réflexe, je lance l'initialisation. Là, c'est pas ça qu'il faut faire. On dit, bon, démontrez que celle est vraie, alors que n plus 1 est vrai. Très bien, c'est parti. Alors, soit n tel que... Bon, soit n, voilà, il est introduit, donc je vais pas le réécrire. Si Pn est vrai, alors que n plus 1 est vrai. On va écrire, donc je fais au brouillon en vert à chaque fois. On a... 9 divise, divise, donc la barre verticale, c'est pour dire divise. 10 puissance n plus 1. On veut. Alors, ce on a, on veut, ça va être un truc que je vais répéter tout le temps. Il faut absolument faire on a, on veut, que ça ait la cadrée. Donc j'écris ce que je veux. Moi, je veux le même entier, mais un rang plus loin, donc n plus 1. Quand on écrit on a, on veut, c'est vachement utile, parce que, au moins, quand on commence à partir de là et à faire plein de calculs, des fois, aller voir ce que c'est la conclusion, ça peut nous aider à conclure la dernière étape. Nous rappeler un peu, nous remettre un peu les pieds sur terre. Donc c'est vachement bien de l'écrire comme ça. En vert, c'est le brouillon. Donc moi, j'ai ce truc-là. Partons de l'expression 10 puissance n plus 1 plus 1. Je vais partir de cette expression et me dire, bon, est-ce que, donc il y a pas mal d'exos comme ça, vous verrez, justement, celui-là est intéressant, parce que ça va ressembler un petit peu à l'arithmétique. Donc pour ceux qui font MathExpert, vous aurez le genre de raisonnement que je vais faire là, en MathExpert, en arithmétique, quand vous aurez fini les complexes, ou peut-être que vous allez commencer par l'arithmétique. On va faire un raisonnement, mais il peut être utile dans pas mal de domaines des maths, donc vous faites MathExpert ou pas, ça va vous aider. L'idée, c'est que je vais essayer de faire apparaître ça, ce que je vais appeler l'hypothèse de récurrence, HR, dans l'expression de ça. Je vais essayer d'utiliser ce que je sais ici pour montrer quelque chose sur la ligne numéro 2. Donc, commençons. J'ai 10 puissance n plus 1 plus 1 égale. Moi, j'ai envie de faire apparaître 10 puissance n plus 1, l'hypothèse de récurrence. Vu que j'ai envie de le faire apparaître, je l'écris. Blam ! Comme ça, j'y vais sans pincettes, je l'écris. J'écris absolument 10 puissance n plus 1, comme ça. Ça va me forcer à trouver la manière de rendre l'égalité juste, mais en tout cas, ça m'aide à forcer l'utilisation de l'hypothèse de récurrence. Donc si j'ai ça, qu'est-ce qui manque ? Quand j'écris ça, moi j'ai 10 puissance n, ce qu'il me faudrait c'est un plus 1, donc il faudrait que je fasse fois 10 pour avoir 10 puissance n plus 1. C'est ça qui va me guider vers écrire ça fois 10. Je vais compléter l'égalité à droite pour essayer de trouver ce truc-là, mais dans une expression où j'ai l'hypothèse de récurrence. Au début, je l'écris de force, je ne réfléchis pas, et je me dis qu'est-ce que je peux bidouiller un peu pour essayer de m'approcher de ce truc-là. Quand je fais fois 10 ici, c'est bien 10 fois 10 puissance n qui va me faire 10 puissance n plus 1. Donc ça, c'est très bien. Mais si je développe tout, j'ai aussi 10 fois 1 qui vaut 10. C'est assez chiant parce que je ne veux pas plus 10, je veux plus 1. Ce n'est pas grave, si j'ai plus 10 et que je veux plus 1, tout ce que j'ai à faire c'est compenser. Si là ça fait plus 10, qu'est-ce que je fais ? J'écris moins 9. Et voilà. Juste cette petite astuce, normalement, vous donne accès à la démonstration. La démonstration c'est quoi ? Comme 10 puissance n plus 1, plus 1. Donc ce que j'ai écrit ici. Ça peut s'écrire comme 10 puissance n plus 1 fois 10, moins 9. Et je sais que 9 divise moins 9. Donc je vais l'écrire ici. 9 divise moins 9. Et par hypothèse de récurrence, 9 divise 10 puissance n plus 1. Donc logiquement, comme 9 divise 10 puissance n plus 1, 9 divise aussi 10 fois 10 puissance n plus 1. Et comme il divise moins 9, il divise en fait le tout. Vu qu'il divise le premier bloc, donc celui-là, on sait que 9 divise ça, donc ça, si vous voulez, ça s'écrit genre 9 fois Q, si j'appelle Q un antiquelconque. Comme 9 divise ça, et 9 divise moins 9, évidemment, ça veut dire que 9 divise le tout. Et donc ma démonstration, c'est ça. C'est juste pour redire, comme j'ai trouvé une écriture de 10 puissance n plus 1, plus 1, le truc que je veux, j'ai trouvé une écriture qui utilise l'écriture de ce que je sais, c'est-à-dire l'hypothèse de récurrence, et qu'il se trouve que le bloc en plus qui compense un peu est trivialement divisible par 9, parce que c'est moins 9. Dans ce cas, je peux conclure tout de suite. Je peux dire ça, qui est bien égal à 10 puissance n plus 1, plus 1. Alors là, vous allez me dire, ça fait un peu brouillon ton truc. Ce qu'on pourrait faire pour une copie parfaite, c'est, excusez-moi, pour une copie parfaite, ça serait dire, c'est un peu la, c'est recopier ce que j'ai écrit en rouge, et dire comme 9 divise 10 puissance n plus 1, par hypothèse de récurrence, et 9 divise moins 9, par bon sens, alors 9 divise 10 fois 10 puissance n plus 1, moins 9, égale ça. Et on pourrait dire que tout ça, en fait, c'est aussi au brouillon. Je vais mettre ça en l'air, hop, au brouillon. Ça, ça serait ma rédaction, un peu, que je balance comme ça, alors ça fait un peu la rédaction de, si vous l'écrivez comme ça direct, vous vous dites, mais d'où ça sort ? La rédaction de prof, vous savez, il sort le truc, on ne comprend pas. Voilà, derrière, vous avez les coulisses qui sont là. C'est pas ça que je voulais faire. Vous avez les coulisses qui sont là, c'est-à-dire, posez toujours ce qu'on a et ce qu'on veut. Là, je vous donne l'astuce qui est vraiment le cœur de cet exercice, qui est en gros cette écriture, c'est de décrire l'expression en fonction de l'hypothèse de récurrence, et boum, ça vous fait les démonstrations. Ok, très bien. Donc ça, c'est la question 1, c'est fini, c'est QFD, on est bon. Petit 2, on vous dit quoi ? Petit 2, montrer, est-ce que la proposition est vraie pour tout antinaturel n ? Et là, on sent qu'il y a une douille, en fait, parce qu'on se dit, mais comment ça ? Ben oui, on vient de montrer l'hérédité, donc forcément, ça veut dire que si elle est vraie à quelque part, vous avez compris que la récurrence, c'était montrer que ça va faire un effet domino, elle est vraie à quelque part, donc elle est vraie après, elle est vraie après, elle est vraie après, elle est vraie à l'infini. Mais le problème des dominos, c'est que quand ils sont posés sur le sol, pour qu'ils commencent à tomber, il faut une pitch net au départ. Et la pitch net au départ, c'est l'initialisation. Donc il faut quand même montrer que c'est vrai quelque part. Et tout l'exercice, en fait, c'est ça. C'est un peu une illustration, donc j'ai fait une vidéo là-dessus dans l'application Studio. Il y a une petite vidéo où je parle de ça avec une propriété qui est un peu plus simple. Il existe des propriétés qui vont se transmettre, mais qui ne sont peut-être jamais vraies, en fait. Donc là, je n'ai pas à démontrer que j'ai une pitch net. Pas encore. Donc si vous voulez, on peut essayer de voir. Est-ce que je ne pourrais pas trouver une pitch net ? On pourrait se dire, vas-y, une pitch net, 10 puissance 0 plus 1, ça fait quoi ? 10 puissance 0, ça fait 1, plus 1, ça fait 2. Bon, ben 9, ça ne divise pas 2. 10 puissance 1 plus 1, ça fait 11. Ok, ça a l'air mal barré. Peut-être après, on pourrait dire que, on pourrait peut-être dire, peut-être qu'en fait, ça appartient de 10 puissance 345, que là, c'est divisé par 9. Alors, il faudra trouver une démonstration qui montre que non, ce n'est jamais vrai. Donc on va faire deux choses. On va faire d'abord la meilleure réponse, qui est la réponse vraiment de l'élève qui a compris ce que je disais tout à l'heure. C'est-à-dire ne pas aller chercher trop loin quand on vous pose une question. On vous dit, la proposition Pn, est-elle vraie pour tout anti-naturel n ? Là, moi, je regarde la question 2. J'ignore complètement la question 1 et je dis, ben, je vais regarder. Pour n égale 0, je vais écrire ça. J'ai P de 0, qui dit, 9 divise 10 puissance 0 plus 1, égale 1 plus 1, égale 2. P de 0 est fausse. Point, c'est fini. Vu que la question me dit, très précis, est-ce que la proposition est vraie pour tout anti-naturel n, c'est-à-dire 0 compris, j'ai que à dire, si je veux vraiment être un peu suxe, je dis, pour n égale 0, c'est faux, donc ce n'est pas bon pour tout anti-naturel n, vu que ce n'est pas bon pour 0. Fini. Vous allez me dire, bon, t'es gentil, c'est un peu de la gruge, mais honnêtement, c'est ça. Enfin, on ne peut pas ne pas vous mettre les points. Ça, c'est la meilleure réponse, parce qu'elle prend ce qu'on vous donne dans l'annoncé, et elle montre ce qu'on vous demande. Elle n'est pas vraie pour tout anti-naturel n, parce qu'elle n'est pas vraie pour n égale 0. C'est bon. C'est la contradiction qu'on peut attendre. Si on veut faire un peu mieux, si on voulait vraiment démontrer que ce n'est jamais vrai pour aucun n, c'est du bonus, si vous voulez. Bonus. Donc en bonus. Ce qu'il faut faire pour 10 puissance n plus 1, c'est penser aux chiffres. Je ne sais plus écrire. Les chiffres de 10 puissance n plus 1. 10 puissance n plus 1, c'est un nombre qui est comme ça, avec un certain nombre de 0, plus 1. La somme des chiffres sera toujours égale à 2. Et c'est bon. Ça, c'est votre démonstration. Comme la somme des chiffres est toujours égale à 2, nous, on sait qu'un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3. 3 ne divise pas 10 puissance n plus 1, parce que ça fait 2 la somme, donc c'est mort. Donc 9 non plus. Si 3 ne divise pas un nombre, 9 ne divise pas le nombre non plus, vu que 3 divise 9. Ça serait une démonstration bonus, si vous voulez. C'est une démonstration bonus si vous voulez vraiment faire de l'arithmétique et démontrer le truc. Mais la meilleure réponse vraiment, c'est celle-ci, parce qu'elle prend vraiment l'énoncé et elle répond exactement et sans effort. Je suis toujours le partisan du moindre effort. Voilà, parfait. Ce que je vous ai mis ici, c'est un petit bilan. L'idée de cet exercice, à retenir par cœur, c'est que l'initialisation est super importante. Vous avez des propriétés qui se transmettent, mais elles sont toujours fausses. Mais si elles étaient vraies, ça se transmettrait. En fait, la transmission ne dépend pas de la véracité de la propriété. C'est juste qu'il y a le truc où, s'il y avait une piche nette, il y a bien des dominos qui s'enchaîneraient. C'est-à-dire que oui, ce truc faux se transmettrait d'un entier à l'autre, mais en fait il est toujours faux, donc aucun intérêt. Et donc voilà. Cet exercice, c'est ça. C'est vraiment une illustration de l'intérêt, de l'utilité fondamentale de l'initialisation.

Ce cours traite d'une démonstration mathématique. L'objectif est de montrer que pour tout entier n, la somme des carrés des nombres impairs jusqu'à n est égale à la formule 2n + 3. Le cours commence par expliquer l'importance d'écrire clairement ce que l'on veut démontrer. Ensuite, l'auteur utilise des notations mathématiques pour étayer sa démonstration par récurrence. Il commence par l'initialisation, en montrant que l'égalité est vérifiée pour n = 1. Ensuite, il passe à l'hérédité, en supposant que l'égalité est vraie pour n, puis en démontrant qu'elle est également vraie pour n+1. Pour cela, il factorise certaines expressions et effectue des calculs, en utilisant la formule de la somme des impairs. En fin de compte, il conclut en montrant que l'égalité est vérifiée pour tout entier n.

C'est une référence ici qu'on pourrait appeler plus classique. Je l'ai mis parce que c'est un bon exemple de ce que je disais tout à l'heure, de ce que je l'ai expliqué dans la vidéo ou l'exercice précédent, où c'est important d'écrire ce qu'on veut. Si on écrit ce qu'on veut, ça va vachement nous aider. On va montrer que je suis un jeune, donc on va faire soit P de N, on va prendre N appartient à N, et on va appeler grand P de N le fait que la somme de k égale 0 à N de 2k plus 1 au carré... Bon, surtout que c'est intéressant, 2k plus 1 au carré, ça veut dire quoi ? C'est dire que c'est 1 au carré plus 3 au carré plus 5 au carré. En français, c'est la somme des impaires, entre la seule somme des N premiers impaires, si vous voulez, égale le truc au-dessus. Je recopie, vous allez me dire que ça ne sert à rien, c'était déjà écrit. Hop, 2N plus 3, le tout. Alors là, j'adore parce que cette... Quand vous voyez en live, cette appli sur iPad est incroyable et qu'elle fait les traits et tout, bref, je suis très fan. Donc voilà, vous avez ce truc-là. Je vais l'appeler d'ailleurs, je vais donner un petit nom à ce truc-là, je vais l'appeler SN cette somme. Comme ça... Je vais l'appeler SN comme ça, si je veux y référer, je ne galérerai pas trop. SN, c'est ça. Bon ben, montrons-la par récurrence. Alors là, pour la rédaction, c'est ce que j'ai dit dans... Si vous avez regardé mes vidéos, l'appli est encore gratuite parce qu'on va la mettre en payant au moment où, pour l'instant, c'est gratuit. Si vous avez déjà vu les vidéos, je raconte, il faut vous soumettre aux injonctions de votre prof. C'est-à-dire quand votre prof dit, vous rédigez comme ça, vous faites comme il dit, moi je vous fais une rédaction. Si lui, il vous dit de mettre tel mot, tel mot, tel truc, il faut le faire. Moi, ma prof, elle m'avait vraiment encadré, la prof de maths, elle m'avait dit, vous faites comme ça, c'est tout. Ça vous cadre, c'est bien, donc suivez ce qu'il vous fait. Adaptez ce que vous fait votre prof. Moi, je vais dire par récurrence, on va le monter par récurrence, donc on va commencer par initialisation. J'appelle ça init, c'est très mal écrit. init, pour n égale 0, pas du tout. On a donc n étoiles ici, donc on ne fait pas du tout n égale 0. Pour n égale 1, on a somme de k égale 0 à 1, donc s1 égale de 2k plus 1, le tout au carré, égale. On va compter, le premier terme quand k égale 0, 1 au carré, plus quand k vaut 1, ça fait 2 fois 1 plus 1, 3 au carré. Magnifique. Ce qui fait 1 plus 9 égale 10. On va bien faire l'initialisation. Je calcule les s1 d'un côté. De l'autre côté, je calcule, pour n égale 1, ce que fait ce terme-là. Espèce de produit divisé par 3. Je calcule ce que ça fait quand je mets n égale 1. Et peut-être que par hasard, on va se rendre compte que ça fait 10. Bon, ça va faire 10, mais... C'est comme ça qu'il faut rédiger pour être sûr de bien montrer que on prend 1, on prend un côté, donc ce côté, on prend l'autre côté, on voit que les deux sont égaux, donc j'ai bien montré qu'ils sont égaux. Il faut bien le montrer, je vais bien le faire en deux trucs séparés comme ça, le prof comprend que vous avez compris. Vous transmettez au prof que vous avez compris, que vous êtes bien en train de calculer de manière différente et de montrer que c'est égal. Que des fois, les élèves s'embrouillent, commencent à partir ici, et commencent à dire « et donc, ça fait ça ». Il y en a l'impression que vous le démontrez à partir de lui-même. Donc faites-le en deux lignes, c'est le plus clair, je pense. 3, 2 x 1, plus 3. Le tout divisé par 3. Et ça, ça fait 2 x... Non, ça, ça fait 3 x... Ça, ça fait, je sais pas, 5. Sur 3, magnifique. 2 x 3, 6. X 5, 30. Sur 3, égale 10. Les deux sont égaux. Ok, on est bon. Hérédité. Donc il faut être précis, hein. Vous allez dire peut-être que j'insiste sur des trucs, des chichis, mais en fait, n'importe quel chichi, vous faites plein de dépoints, donc faites attention. Hérédité. Alors on passe en brouillon. On a Sn égale. Donc c'est 1 au carré, plus 3 petits points, plus 2n plus 1 au carré, égale. Je vais encore recopier ce truc-là. n plus 1, 2n plus 1. 2n plus 3. Le tout sur 3. Allez, yes. Le tout sur 3. On veut, au brouillon encore une fois, Sn plus 1 égale 1 au carré, plus 3 petits points, plus 2n plus 1 au carré, plus 2 x n plus 1 plus 1 au carré. Non, faut pas se tromper. Vu qu'on le veut en n plus 1, ça veut dire qu'on prend le dernier terme, là on avait n, là on a n plus 1. Donc ça, je veux bien que ça fasse 2n plus 3, mais au début, c'est ça l'idée. Donc égale. On veut que ça soit égal à ce truc-là, où je prends tous les n et je mets n plus 1 à la place. C'est parti. Ça fait n plus 1 plus 1, donc n plus 2 pour la première parenthèse. 2 x n plus 1, je vais l'écrire quand même bien. Plus 1. 2 x n plus 1, plus 3. Je vais lentement pour être sûr. Le tout divisé par, allez, 3. C'est égal à n plus 2, 2n plus 2, plus 1, plus 3, 2n plus 5. Voilà. J'ai ça en tête. En tout cas, je sais que je l'ai écrit quelque part. Donc si je me perds dans les calculs, zut, je ne suis pas capable de faire un trait droit. Si je me perds dans les calculs, je sais, enfin, j'essaierai de me retrouver, ça sera un peu ma boussole, ce truc-là. C'est un peu ma boussole et je vais essayer de me retrouver, de retrouver ce truc-là. Donc partons. On va écrire s n plus 1 égale 1 au carré plus 3 petits points. Là, je commence ma vraie démonstration. Plus, qui n'est donc plus mon brouillon, plus 1 au carré. Mais là, tout de suite, qu'est-ce que je fais ? Je repère ce truc-là. Ça, c'est s n. Et avec l'hypothèse de récurrence, h r, je sais que ça vaut le truc au-dessus. n plus 1, 2n plus 1, je n'arrive pas à l'écrire, 2n plus 3, hop, hop, hop. Bon, j'écris vite fait, vous avez compris. Sur 3. Ça, c'est cool. Tout de suite, j'applique l'hypothèse de récurrence et je n'ai plus ensuite qu'à ajouter le terme qui est là et à espérer que quand je me dépatouille à tout factoriser ensemble, je puisse trouver ça. Et c'est là que ça va intervenir le fait d'avoir écrit la réponse. Le truc qu'on veut. Égale n plus 1, 2n plus 1, 2n plus 3. Vous savez quoi ? 1 fois 1 tiers, j'en ai marre de faire la barre, plus 2n plus 3 au carré. Qu'est-ce que je repère tout de suite ? Tout de suite, je repère que là, j'ai 2n plus 3. Et là, j'ai 2n plus 3. Bon, là, ce que je dis, mais tout de suite, il faut avoir le réflexe. On factorise. On factorise par 2n plus 3. Clairement, ça fait 2n plus 3. Facteur 2. En fait, même si vous êtes très astucieux, vous mettez sur 3. Je vais factoriser 2n plus 3 sur 3 parce que c'est un peu chiant. C'est un peu galère de gérer ensuite le tiers autrement. Donc si vous le mettez là, vous allez peut-être gagner du temps. 2n plus 3 sur 3 fois n plus 1 2n plus 1. Plus. Donc là, c'est 2n plus 3 au carré. Donc il va manquer 2n plus 3. Pour bien faire 2n plus 3 fois 2n plus 3 au carré. Sauf que moi, je n'ai pas de sur 3. Il y a un sur 3 ici qu'il faut que je compense en ajoutant 3 ici. Donc voilà. Je mets un petit 3 ici et je vois ce que ça donne. Donc tout ça, c'est bien sympa. Ça va aller à la fin de cette page-là. Je vais vous faire une petite conclusion. Alors j'avoue que les conclusions, je les avais préparées à l'avance mais je ne savais pas combien de place je prendrais pour faire mon corrigé. Voilà. Donc j'ai ce machin. Je vais regarder ce que ça fait. Ça fait 2n plus 3 sur 3. Ensuite. Facteur 2. Là, il y a plein de trucs. Donc il y a 2n carré plus. Alors on le développe. 2n carré plus 1 fois 2n plus 1 fois n. Ça fait plus 3n plus 1. Ok. Super. Plus 3n plus 1. Plus 3 fois 2n 6n. Plus 3 fois 3, 9. Je simplifie un peu. Hop. Je triche parce que je la laisse seule. Et ça fait 2n carré plus 3n plus 6n. Ça fait donc 9n plus 10. Alors là vous avez deux choix. Soit vous faites un delta et tout et vous faites un peu du polynom de 2x2 etc. C'est la galère. Moi je vais plutôt regarder qu'est-ce que je veux. Je sais que je veux du 2n plus 3 sur 3. 2n plus 3 sur 3, je suis content, il est déjà là. Et il est ici. Qu'est-ce qu'il reste ? n plus 2 fois 2n plus 5. Je vais regarder. Astucieux. Je vais mettre n plus 2, 2n plus 5. Comme si de rien n'était sur la copie. Or, tiens, je pense à ça. Or, ça, ça vaut combien ? Je développe. Ça fait 2n carré plus 5n plus 2 fois 2, 4n plus 2 fois 5, 10. 2n carré plus 9n plus 10. Parfait ! Et donc comme ça, vous trouvez la factorisation tout de suite. En fait, vous savez que ça va marcher. Vous faites une récurrence. Donc en fait, vous prenez la réponse, vous dites qu'est-ce qu'il manque ? Il manque ces deux termes-là. J'ai qu'à le prendre, le développer plutôt que de factoriser. En gros, on n'aime pas factoriser, c'est chiant. C'est une règle générale. Factoriser, c'est compliqué. Donc autant aller prendre le truc qu'on a déjà écrit, se dire, bon, je le développe et ça me fait une démonstration. Le prof, il ne peut pas trop dire d'où vous l'avez sorti. Il s'en fiche, il fait démettre. Vous mettez, or, ça. C'est bon, j'ai reconnu, donc c'est bon. Égal 2n plus 3 sur 3 fois n plus 2 fois 2n plus 5. C'est exactement la propriété Pn plus 1. CQFD. Alors, dernier point, bien sûr, très important en rédaction. CQFD, c'est là pour rigoler. Conclusion, on a bien démontré ce que je fais, démontré que quelque soit n, je crois que c'était super égal à 1, P2n. Voilà, pouf, petite conclusion. Voilà, donc en gros, plein de choses, donc c'est pas trop compliqué. Mais c'est utile d'avoir ça parce que des fois, enfin je dis ça par expérience, j'ai vu pas mal d'élèves à chaque fois qui sont là, ils spawnent, ils savent pas quoi faire et des erreurs, des trucs. N'importe quelle petite erreur ou petite maladresse de factorisation peut vous amener à faire des erreurs non prévues. L'idée, c'est pas de ne pas faire d'erreurs, c'est de prendre le chemin optimal où il y a l'opportunité d'en faire le moins. Mettez-vous en danger le moins possible, quoi. Ça, factoriser par 3, c'est une manière de ne pas se mettre en danger aussi, sinon on se retrouve avec des fractions ici, des trucs, on commence à faire une mise sous même dominateur. Là, vous la passez un petit peu différemment, vous la voyez autrement. On la voit comme compenser un 3 par un 3. Bon, après vous allez me dire peut-être que vous préférez mettre tout au même dominateur, mais ça peut être une manière de voir qui aide à aller plus vite. Là, vous faites ça, vous avez ce truc-là, vous vous êtes démontré en 2 secondes. C'est plus rapide de faire ça, d'aller choper l'info dans ce qu'on veut plutôt que de commencer à faire un delta.

Dans ce cours, nous cherchons à démontrer une propriété mathématique par récurrence. Nous commençons par initialiser la démonstration en montrant que pour n=1, la propriété est vérifiée. Ensuite, nous supposons que la propriété est vraie pour un certain n. Nous utilisons cette supposition pour montrer que la propriété est également vraie pour n+1. Pour cela, nous manipulons des équations et des inégalités afin de prouver que la propriété est conservée à chaque étape. Enfin, nous concluons que la propriété est démontrée pour tous les n.

Si on appelle ça S n encore une fois, je nomme toujours les choses. Montrons par récurrence que ce truc là est vrai. Vous ne voyez peut-être pas tout ce qui est écrit. En gros, il y a écrit par récurrence quelque soit n appartient à n étoiles. Je peux réduire la taille du truc, je peux le mettre là. Donc on va regarder par récurrence, on commence, on va écrire n égale 1, vu que c'est n étoiles. Pour n égale 1, S n égale, donc on n'a qu'à regarder, pour n égale n, 1, 2, 3, j'ai n termes dans la somme. Donc pour n égale 1, j'ai 1 terme dans la somme, comme ça on ne se trompe pas. Donc j'ai 1. Or, 2 moins 1 sur 1 égale 1. Je prends tout ça et je dis donc, c'est pas S n, c'est S 1, j'ai bien S 1 qui est inférieur ou égal à 2 moins 1 sur 1, vu que 1 est égal à 1, c'est vrai. Donc c'est démontré. Vous allez me dire, oui mais c'est ridicule, mais non, parce que là on montre bien qu'on a un côté et l'autre de l'égalité, ou l'inégalité en l'occurrence ici. Hérédité. Là je me perds moi-même dans mes étapes, j'ai même pas écrit mon fameux init. Donc init, initialisation, hop, on l'écrit bien. Initialisation, très bien, hop, hérédité. Hérédité, brouillon, on a 1 plus 1 demi au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré, plus petit que 2 moins 1 sur n, on veut. Encore une fois, c'est vraiment pour cadrer votre démonstration que je vous dis de faire ça. 1 plus 1 demi au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré plus celui d'après, et on sent déjà qu'on va pouvoir utiliser le fait qu'on reconnaît ici cet élément-là, on veut que ça soit plus petit ou égal à 2 moins 1 sur n plus 1. Ok, très bien, on va regarder, on va partir de Sn plus 1 donc, égal 1 plus 1 sur 2 au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré plus 1 sur n plus 1 au carré, égal, magnifique, Sn plus 1 sur n plus 1 au carré. Et moi je sais que tout ça, hypothèse de récurrence, je vais mettre, je ne sais pas, en noir, Hr, je peux écrire que Hr Sn est plus petite que ce que je veux, 2 moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré. Bon, alors moi je vais aller voir ce que je veux, ce que je veux c'est ça, moi je veux ce truc-là. Je me dis, est-ce que ça, enfin je veux en gros pouvoir écrire ça. Ça. On veut pouvoir écrire ça en gros. Donc, je vais utiliser le fait que je veux ça et essayer de me dire peut-être que ce machin est vrai. Donc j'aimerais, vous savez j'aimerais, je vais l'écrire comme ça, c'est comme ça qu'il faut réfléchir de toute façon, j'aimerais 2 moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré plus petit que 2 moins 1 sur n plus 1. Bon regardez, ça c'est quoi ? Si et seulement si. Ou en fait vous pourrez même l'écrire en vert, parce que si c'est pas en vert, pas en brouillon, si c'est pas, je vais le mettre dans la bonne couleur, si en soi c'est un raisonnement par équivalence, on pourrait mettre un truc genre or, on a ça qui est plus petit que ça, si et seulement si. On va vérifier si on n'arrive pas à un truc qui est vrai et simple à la fin. Donc qu'est-ce que je peux faire déjà ? Je peux virer, déjà je vais mettre ça en, bon aller en verse pas mal. Je vais virer les deux, les deux ça dégage. Si et seulement si, alors ben moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré, et plus petit que moins 1 sur n plus 1, ok ? Si et seulement si, alors je vais mettre les trucs un peu mieux, j'ai 1 sur n plus 1 carré, plus petit que, 1 sur n moins 1 sur n plus 1, que je peux mettre au même nominateur qui vaut, n plus 1 moins n sur n n plus 1, égal, ben les n sont bons, hop je mets ça ici, là ça fait, qu'est-ce qu'il s'est passé ici je sais pas, là ça fait 1 sur n n plus 1. Ok c'est très moche je vais réécrire ça, 1 sur n n plus 1. Bon ben si et seulement si, j'ai donc 1 sur n plus 1 au carré plus petit que 1 sur n n plus 1, j'ai des inverses, là je vais utiliser la règle qui dit que 1 sur a plus petit que 1 sur b, si et seulement si, b plus petit que a, pour des noms a et b positifs. Pour des a et b positifs, j'ai ça, a, b, positif, j'ai ce truc qui revient. Je vais utiliser ça ici, 1 sur a plus petit que 1 sur b, si et seulement si, b plus petit que a, donc là c'est la même chose, je vais l'utiliser ici, ben si et seulement si, n n plus 1 est plus petit que n plus 1 au carré. Ben oui mais ça n plus 1 au carré c'est n plus 1 fois n plus 1. Bon ben oui, vrai. Vrai, donc équivalent, ça veut dire vérité ici, vérité ici, vérité ici, voilà. Donc en gros, ouais j'ai peut-être pas utilisé autant ça, mais j'ai été voir ce que je voulais, c'est ça que j'ai fait, et ça m'a permis, en prenant ce que je voulais, de déterminer la réponse. J'ai pris le point où je suis arrivé, j'ai pris ce que je veux, ce que je sais que je veux atteindre, et voilà, ensuite j'ai pu analyser la situation, et faire juste de la petite comparaison de réel. Donc en gros c'est bon, je peux conclure, donc, S n plus 1 inférieur égal à 2 moins 1 sur n plus 1. Yay ! Conclusion, la propriété démontrée, etc. etc. Bon ça vous l'écrivez, je vais pas faire ça à chaque fois. Vous l'écrivez bien, etc. Sinon il y a moyen que ça devienne un froc un peu vénère, vous avez moins 50% des points, parce que pas de conclusion, donc faites-le encore une fois.

Le cours aborde le principe de trouver une suite définie par une relation de récurrence. Il explique que le processus pour trouver cette suite se fait en deux étapes : l'intuition du résultat et la démonstration de l'intuition par récurrence. L'exemple donné est une suite définie par u0 dans R, calculée en fonction de u0 et n, avec la relation un+1 = un^2. Le cours détaille l'intuition du résultat en calculant les premiers termes de la suite et en observant une pattern exponentielle. Ensuite, la démonstration par récurrence est effectuée pour prouver que la formule u0^2^n est valide pour tous les termes de la suite. L'importance de la démarche mathématique et de la capacité à se dépatouiller dans des exercices ambigus est soulignée. Cette compétence est considérée comme cruciale non seulement pour les études supérieures en mathématiques, mais également pour le baccalauréat.

Un peu plus bizarre, celui-là, le grand principe, la grande conclusion pratique de celui-ci, c'est je vous la mets à la pince, maintenant toutes ces conclusions ne seront plus jamais des surprises Écrire les premiers termes, ça aide Alors, écrire les premiers termes, ça aide Et j'ai déconné ma conclusion Aide, beaucoup Voilà, petit truc par cœur, c'est ça Écrire les premiers termes, ça aide On va voir ça tout de suite Là l'exemple est très large, enfin très ouvert si vous voulez On vous dit, une suite définie par un u0 quelconque, vraiment dans R au pif Et quel que soit n, donc c'est une suite définie par relation de récurrence, donc d'un terme à l'autre un plus un égal un carré, calculez un en fonction de u0 et n Là le process c'est toujours la même chose, c'est deux étapes Donc deux étapes, je vous le mets en rouge, deux étapes Intuition du résultat Alors je vais écrire mieux Intuition du résultat Avec le calcul de u1, u2, u3, etc Démonstration de l'intuition par récurrence Vous vous souvenez, à l'issue de u3, on fait une hypothèse sur un égale On écrit une formule qui a l'air d'être vraie pour u1, u2, u3, et donc qui a l'air d'être générale Puis on la démontre par récurrence C'est parti, simplement ici u0, ok u1 égale u0 au carré, ok u2 égale u1 au carré a égale u0 au carré au carré égale u0 puissance, je vais mettre 2 fois 2 Je vais laisser les nombres parce que Si j'écris 4, on va perdre le fait que c'était 2 fois 2, donc je vais laisser 2 fois 2 Et voilà, on va voir Donc u3 égale u2 au carré On a compris u0 2 fois 2 au carré u0 2 fois 2 fois 2 Là je commence à avoir envie d'écrire u0 puissance 2 puissance 3 Pourquoi ? Parce que je reconnais qu'il y a 3, 3 si je fais ça Là il y avait 2, 2, 2 Donc c'est parti, tout de suite Vous pouvez continuer avec u4, u5, normalement vous êtes convaincus assez vite Vous avez ça, c'est vos essais Les essais Oups, bon j'ai écrit essais, donc voilà Les essais Et là on fait vraiment l'hypothèse Hypothèse On sent qu'il va arriver un égale u0 puissance 2 puissance n Alors c'est pas u0 puissance 2, le tout puissance n Là c'est, attention différent de u0 au carré puissance n qui est égale à u0 puissance 2 n Rien à voir, c'est u0 puissance 2 puissance n Donc c'est la puissance qui elle-même a une puissance Pourquoi pas Alors n égale 0 Initialisation par récurrence On monte ça par récurrence, c'est l'étape 2 Demo, ça sera la démo Vous avez les essais, votre hypothèse, la démo Par récurrence n égale 0, on a d'un côté u0 D'autre côté on a u0 puissance 2 puissance 0 égale u0 puissance 1 égale u0 Ça marche Alors là ça devient bizarre, vous allez me dire mais qu'est-ce que c'est que ça ? En fait c'est la vérification que ça marche pour le rang 0 C'est un peu bizarre mais c'est ça en fait qu'on fait On regarde combien vaut u0 Le terme 0, combien vaut la suite un Combien vaut notre formule au point 0 On a vu qu'elle dépend de u0, on l'écrit là Et on écrit bien u0 puissance 2 puissance 0 On voit que ça fait 1, on voit que ça fait 0 Les deux sont égaux, c'est bon Hérédité En fait ça va aller tout seul puisqu'on a une formule de récurrence On a une formule de définition de la suite de type par récurrence Donc en soi, ça va être simple u puissance n Alors je vais vous faire le brouillon pour le faire bien mais ça ne sert vraiment pas à grand chose ici On a u puissance n égale u0 puissance 2 puissance n On a HR c'est ça Et on veut Mais là je l'écris juste pour appliquer le principe que je vous ai dit tout à l'heure puisqu'en soi, 0 puissance 2 puissance n plus 1 Donc j'écris juste un plus 1 égale Ce n'est pas HR que je vais appliquer ici C'est la def Et par définition Par définition même de la suite Dans ce que vous avez donné dans l'énoncé Par définition c'est un carré égale Cette fois-ci, dans chaque égalité il faut justifier Cette fois-ci c'est HR égale u0 puissance 2 n au carré égale u0 puissance Donc là, attention à la courbe de troisième ou quatrième, je ne sais plus, les puissances 2 puissance n fois 2 Quand on a une puissance comme ça, comme ça on fait fois égale u0 puissance 2 puissance n plus 1 C'est démontré Conclusion On a montré que Pn implique Pn plus 1 On a démonté par récurrence que Pn est vrai La rédaction de votre prof Et au bac, rédaction clean et passive Mais je vais avancer Voilà, ça se démontre En fait c'est trivial ici Mais quand vous avez la formule La récurrence ici n'a aucune difficulté Elle tient en une ligne Vous avez u0, il faut bien la faire Là il y a moyen de faire mal Il faut faire précisément et tout Je ne dis pas, il y a moyen de se planter En soi, vous écrivez ça en une ligne, ça tient Tout le truc de cet exercice, ce n'est pas cette démonstration Là je vous l'ai fait, c'est bien Tout le truc de l'exo, c'est ça Cette recherche au bruit, on se souvient Les essais, la galère sur les premiers termes Et pour ceux qui iront en SUP Soit en MathU ou en ECS Ou je ne sais pas quoi Qui vont faire des maths dans le supérieur Vous verrez, on va de plus en plus vous dire Dépatouille-toi, voici une question Fais, fais quelque chose Commence sur la page blanche Encore plus dire que l'angoisse de la page blanche Que vous pouvez avoir au lycée C'est vraiment, il n'y aura pas grand chose de dit Il faudra se dépatouiller Donc il faut apprendre Quels sont les dépatouillages communs Un des dépatouillages communs c'est D'écrire ce qu'on sait et ce qu'on veut Un autre dépatouillage commun c'est Essayer les premiers termes Et donc à chaque fois que je fais un exo Je vais essayer de donner un peu ces trucs là Parce que c'est ces attitudes là Cet espèce de méta-math si vous voulez Qui vont être le plus important Plus que la connaissance du Enfin c'est bien de connaître son chapitre Il faut connaître son chapitre, etc. Mais savoir comment gérer Les exos un peu flous avec peu d'indications C'est vraiment un truc capital qu'il faut savoir faire C'est bien pour le supérieur Mais c'est aussi bien pour le bac en soi Voilà

In-Depth Mastery in Math, Physics-Chemistry, and Life and Earth Sciences - Courses and Video Solutions by Renowned Teachers.