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Dans cet exercice sur les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes, on cherche à déterminer le nombre de poignées de mains échangées. Pour résoudre ce problème, il faut analyser la notion de poignée de main en tant que lien entre deux personnes appartenant à des équipes différentes. On peut donc former une paire en choisissant une personne de l'équipe 1 et une personne de l'équipe 2. Il y a 15 possibilités dans l'équipe 1 et 12 possibilités dans l'équipe 2, ce qui donne un total de 180 poignées de mains possibles. Il est important de noter que chaque poignée de main est comptée une seule fois, car on a établi une liste où le premier élément vient de l'équipe 1 et le second élément vient de l'équipe 2. Ainsi, on évite de compter deux fois la même paire en inversant les rôles des équipes. En comprenant qu'il s'agit de compter des paires, le problème devient plus simple à résoudre.

Alors on va regarder maintenant un autre problème très classique qui est celui des échanges de poignées de mains. Donc on a deux équipes, une équipe de 15 personnes et une autre équipe de 15 personnes et on se dit qu'ils se serrent tous la main parce qu'ils sont très gentils à la fin, très fair play et on veut savoir combien il y a de poignées de mains qui se sont échangées. Donc là, dans cet exercice de délongement, c'est un très bon exemple parce que la réponse n'est pas facile à trouver, il faut analyser un peu le problème, il faut se dire pourquoi ça correspond à une poignée de main. Une poignée de main c'est un lien entre deux personnes, ça correspond à une paire de personnes. Une poignée de main c'est une paire de personnes, avec chacune d'une équipe différente, ça c'est important. Il faut se dire qu'à partir du moment où j'ai compris ça, c'est à dire que je prends une personne de l'équipe 1, je prends une personne de l'équipe 2 et je fais une paire, combien de paires possibles ? En fait j'ai 15 possibilités pour l'équipe 1, c'est les 15 personnes, j'ai 12 possibilités pour l'équipe 2, c'est mes 12 personnes de l'équipe 2, et donc ça me fait 12 x 15 poignées de mains, 180. Petite remarque pour la fin, parfois on compte trop, on se dit j'ai compté deux fois la même poignée de main, là je n'ai pas compté deux fois la même poignée de main, je suis sûr, pourquoi ? Parce qu'en fait finalement qu'est-ce que j'ai fait ? J'ai dénombré des listes, j'ai dit le premier élément c'est quelqu'un de l'équipe 1, le deuxième élément c'est quelqu'un de l'équipe 2, j'ai dit ça fait 15 possibilités, fois 12. Mais dans cette liste on voit bien que je ne peux pas avoir compté un couple dans le mauvais sens, que j'ai imposé que le premier membre était de l'équipe 1 et le deuxième était de l'équipe 2. Donc typiquement si je fais un petit code où je dis que A c'est l'équipe A et B c'est l'équipe B, si je considère l'ensemble A11, B9, c'est-à-dire que c'est la onzième personne de l'équipe A qui serre la main à la neuvième personne de l'équipe B, s'ils sont tous numérotés, ça me fait bien une paire. Je ne peux pas avoir la paire B9 A11 qui serait donc la même, dans mon dénombrement je ne peux pas retrouver celle-là puisque je commencerai alors par une personne de l'équipe B et ensuite une personne de l'équipe A. Donc là en fait je suis sûr que je n'ai pas compté deux fois les mêmes personnes, les mêmes poignées. Donc là c'est vraiment un très bon exemple, il faut d'abord que j'analyse ce que je suis vraiment en train de compter. En fait ce que je suis en train de compter c'est des paires. À partir du moment où j'ai compris ça, le nombre de paires, c'est beaucoup plus simple.

Dans cette vidéo, Paul explique comment traduire des phrases logiques en français en utilisant des quantificateurs mathématiques. Il utilise des exemples avec une fonction f de r à R et explique comment exprimer ces phrases à l'aide de quantificateurs et leur négation. Les exemples incluent des questions sur l'unicité de solutions, l'existence de points fixes, la croissance/decrémentation de la fonction et l'annulation de la fonction sur R. Paul souligne qu'il y a différentes façons de décrire la même chose avec des quantificateurs et il explique comment prendre la négation d'une implication en utilisant la logique "a et non b". En somme, cette vidéo est un guide pour comprendre et utiliser correctement les quantificateurs mathématiques pour traduire des phrases logiques en français.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur la logique et plus particulièrement comment traduire des phrases logiques en français en des séries de quantificateurs mathématiques. Donc dans cet exercice, f désigne une fonction de r dans R et il faut exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes et ainsi que donner leur négation. La première question, un a, f et la fonction nulle. On va traduire ça sous forme de quantificateur. Donc a est équivalent à, pour toute x dans R, f de x égale à 0. Sa négation, pour la négation de quelque soit x, c'est il existe un x, donc il y a au moins un x pour lequel c'est vrai, tel que f de x est différent de 0. Donc pour négation d'une affirmation du type quelque soit x quelque chose, c'est il existe un x, non ce quelque chose. Maintenant on passe à la deuxième question. L'équation f de x égale à 0 a une solution, donc a au moins une solution. Donc il existe un x appartenant à R tel que f de x égale à 0. Il y a une solution et c'est ce x. Il y a au moins un x tel que l'équation a une solution. La négation c'est pour toute x dans R, f de x est différent de 0. Donc il n'y a aucune solution. Pour toute x dans R, aucun x ne vérifie f de x égale à 0. L'équation f de x égale à 0 a exactement une solution. Donc ça veut dire qu'il y a unicité de la solution. Du coup on va utiliser le quantificateur il existe un unique avec un point d'exclamation. Il existe un unique x, un unique réel x tel que f de x égale à 0. La négation de ça c'est un peu plus compliqué que la négation de il existe un unique parce que quelque soit x il n'y a aucune solution. Mais il y a aussi le cas où il y a plusieurs solutions distinctes. Donc on fait ce cas. Plusieurs solutions distinctes ça veut dire quoi? Il existe xy dans R² tel que x est différent de y et f de x égale à f de y est égal à 0. Donc il y a deux solutions distinctes. Donc il n'y a pas unicité de la solution. L'unicité est bafouée. Là c'est l'existence qui est bafouée et là c'est l'unicité. Donc il y a deux choses à donner la négation. On passe à la question suivante. La fonction f s'annule au moins une fois sur R. Donc au moins une fois c'est il existe. Il existe x appartenant à R tel que f de x égale à 0. La négation c'est il existe quelque soit x dans R f de x différent de 0. Maintenant pour la question suivante. f est l'identité de R c'est à dire une fonction qui à chaque réel associe lui même cette fonction identité id de R. Donc f est l'identité de R. Donc ça veut dire que f égale à l'identité c'est équivalent à quelque soit x appartenant à R f de x est égal à x. Donc f est égal à l'identité de R. On aurait pu égale à id de x. Donc la négation c'est f est différente de l'identité de R c'est équivalent à il existe un x tel que f de x est différent de x. Toujours quelque soit il existe et on a la négation ici de ceci. Donc le graphe de f coupe la droite d'équation y égale à x. Il existe un x appartenant à R tel que f de x est égal à x. Ça veut dire qu'il y a au moins un x tel que f de x est égal à l'identité. Ça c'est la droite d'identité. Donc f de x c'est y. Le graphe de x c'est y égale f de x. Donc il existe au moins un x tel que f de x donc y égale x. La négation, on prend la négation de cette assertion. Quel que soit x appartenant à R, f de x est différent de x. f a au moins un point fixe. Un point fixe c'est quoi? C'est un x tel que f de x est égal à x. Ça veut dire que la fonction ne change pas ce point. Donc il existe un x appartenant à R tel que f de x est égal à x. La négation c'est toujours la même chose. Vous avez remarqué que les trois questions c'était toujours la même chose ici en quantificateur. Mais à chaque fois c'était avec différentes... Là c'est la même chose ici. Là c'est la même chose ici. Mais il y a deux façons de le faire. Le graphe de f coupe la droite d'équation y égale à x. Ou f a au moins un point fixe. Ça montre qu'il y a plusieurs façons de décrire la même chose. Mais avec des quantificateurs les options sont beaucoup plus réduites. La troisième question. f est croissante sur R. Donc c'est équivalent à... Quel que soit x ou y appartenant à R², f conserve l'ordre des nombres. Donc si x est supérieur à y, ça implique que f de x est supérieur à f de y. Donc si x est supérieur à y, ça implique que f de x est supérieur à f de y. La négation de cette assertion c'est il existe x ou y dans R². Donc pour l'instant rien de transcendant parce que c'est la négation d'un quelque soit. Donc on a un il existe. Et après on doit avoir la négation de ça. Donc la négation de x de a implique b, c'est a et non b. Donc c'est à la fois on a la chose de droite et on n'a pas la chose de gauche. Donc l'implication est fausse. D'ailleurs on remarque pourquoi c'est ça. Pourquoi pour prendre la négation d'une implication on prend a et non b. Parce qu'en fait une implication c'est équivalent d'un point de vue logique à a implique b c'est équivalent à non a ou b. Donc ça c'est à prendre par coeur, c'est à bien connaître. Et en fait ça permet de bien comprendre qu'est ce que c'est une implication. Par exemple si a est faux, cette assertion logique est vraie. Quel que soit même si b est faux. C'est pour ça qu'on dit que du faux on peut tout démontrer. A partir de quelque chose de faux on peut tout démontrer. Parce que cette assertion sera toujours vraie si a est faux. Et du coup la négation non a implique b c'est équivalent à a et non b. Donc c'est la négation de non a ou b. Donc c'est important de savoir que a implique b c'est égal à non a ou b d'un point de vue logique. Pour pouvoir simplement prendre sa négation. Parce que un ou se transforme en et quand on passe au complémentaire, à l'assertion négative. Donc f est monotone sur r. Donc f est monotone sur r ça veut dire quoi? Ça veut dire que f est croissante ou décroissante. Du coup elle est tout le temps croissante ou tout le temps décroissante. Donc il y a toujours deux cas. Donc c'est b c'est équivalent à quelque soit x appartenant à r². Quelque soit x ou y là c'est la négation de la croissance. Ou f est décroissante. Donc quelque soit x appartenant à r², x supérieur à y implique on change d'ordre f de x inférieur à f de y. Là c'est bien important de ne pas mettre le ou après le quantificateur quel que soit. Parce que soit elle est tout le temps croissante, soit elle est tout le temps décroissante. Parce que sinon si on avait mis le ou après ici et juste une fois le quantificateur quel que soit là ici. Et bien elle aurait été, quelque soit x appartenant à r², elle aurait été soit croissante pour certains x et y, soit décroissante. Donc elle peut être à la fois les deux. Donc là c'est bien pour toute x elle est décroissante ou pour toutes x elle est décroissante. Donc on va faire la négation. La négation c'est un ou. Donc on va d'abord prendre la négation de ça et la négation de ça. Donc la négation de la première assertion c'est quel que soit, donc c'est un il existe. Et après on prend la négation d'une implication donc c'est a et non b. Donc toujours comme pour la négation de la croissance. Et par rapport à un ou, pareil il existe. Et là c'est la négation de la décroissance, la négation de ça, une implication comme on a vu à la question précédente. Ok c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois.

Dans cette vidéo, on apprend comment traduire des assertions en français en des assertions logiques avec des quantificateurs, cet exercice se concentre sur des suites réelles UN définies sur N. Pour exprimer que l'assertion "la suite UN est majorée", il faut dire qu'il existe un nombre M appartenant à R tel que, pour tout N appartenant à N, UN est inférieur ou égal à M. En négatif, il faut dire que, quel que soit M appartenant à R, il y a au moins un rang N tel que UN est supérieur à M. Pour l'assertion "la suite UN est bornée", elle est équivalente à dire qu'il existe un petit M et un grand M appartenant à R² tels que, pour tout N appartenant à N, UN est compris entre petit M et grand M. En négatif, il faut dire soit qu'elle est non bornée car il existe un rang N tel que UN est strictement inférieur à petit M pour tout M appartenant à R, soit qu'elle est non bornée car il existe un rang N à partir duquel UN est strictement supérieur ou égal à tout M appartenant à R. Pour l'assertion "la suite UN est décroissante", il suffit de dire que, pour tout N appartenant à N, UN est inférieur à UN plus 1. En négatif, il faut dire qu'il existe un rang N tel que UN est supérieur à UN plus 1. Enfin, pour l'assertion "la suite UN est monotone", elle est soit croissante, soit décroissante, il faut donc utiliser le quantificateur "quel que soit" avec chaque affirmation.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur la logique et plus particulièrement comment traduire des assertions en français, en des assertions logiques avec des quantificateurs et cette fois-ci sur les suites. Donc on a dans cet exercice UN est une suite réelle définie sur N et il faut exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes puis en donner leurs négations. Donc la première question, la suite UN est majorée, donc être majoré ça veut dire quoi? Ça veut dire que il y a un nombre qui ne va pas dépasser. Donc c'est équivalent à il existe un M appartenant à R, donc ça c'est le fameux nombre qui ne va pas dépasser, tel que pour toute N appartenant à N, donc sur le domaine de définition de la suite, UN ne dépasse pas cet M. Donc UN est inférieur à M. Donc la négation c'est quelque soit M appartenant à R, donc la négation de il existe, il existe un N, donc il y a au moins un N, il y a au moins un N, tel que UN est supérieur à M. Donc quel que soit le M qu'on prend, qu'il soit arbitrairement grand ou pas, voilà, quel que soit, il y aura au moins un N, un rang N, tel que UN est supérieur à ce M, donc dépasse ce M. Donc la suite, elle monte, elle monte, elle monte, il y aura au moins un moment donné où elle va arriver aujourd'hui. Elle va arriver au-dessus de ce M, quel que soit le M qu'on prend. Maintenant la suite UN est bornée, donc bornée ça veut dire qu'elle est majorée et minorée. Il existe un petit M et un grand M appartenant à R², donc le petit M ça va être la minoration et M la majoration, tel que pour toute N appartenant à N, UN est compris entre M, petit M et grand M. Donc on décrit le fait qu'elle soit bornée, on le fait en une fois plutôt que de le faire bornée, minorée et majorée, c'est plus simple comme ça. Après pour la négation de cette assertion, en fait c'est un peu plus compliqué, parce qu'il va falloir faire en deux fois pour dire qu'elle est ni majorée ni minorée. Donc pour quel que soit M appartenant à R, il existe un rang N tel que UN est strictement inférieur à M, à petit M. Donc là c'est cette partie qu'on a pris la négation. Ou, parce qu'ici il y a un E caché, quand on dit M et M, et là on a deux assertions en l'une. Donc elle est soit non minorée, soit non majorée. Ou, quel que soit M appartenant à R, il existe un rang à partir duquel UN est strictement supérieur ou égale à M. Donc là c'est cette partie de l'assertion qu'on a bien pris la négative. Donc la question 2 c'est la suite UN est décroissante. Donc ça c'est très simple, c'est quoi la définition de la décroissance? Quel que soit N, pour tout rang N, UN est inférieur à UN plus 1. C'est plus simple que la définition de la décroissance pour les fonctions, parce que là on a des rangs discrets, du coup on peut définir la décroissance d'un rang à l'autre pour les suites. Et pour la négation, quel que soit, il existe un rang tel que UN est supérieur à UN plus 1. Donc il y a au moins un rang pour lequel la suite et l'ordre sont inversés. Pour la question suivante, la suite UN est monotone. Monotone ça veut dire qu'elle est soit croissante, soit décroissante. Donc on va avoir deux cas. Le cas, quel que soit N, quel que soit le rang N, UN plus 1 est supérieur ou égal à UN. Donc ça c'est le cas croissante. Où elle est décroissante, donc pour toute N, UN plus 1 est inférieur à UN. Et il faut bien veiller à mettre le quantificateur quelque soit à chaque fois. Parce que sinon si on mettait quelque soit au début et après, ici, le où, là, et on mettait ça ici, ça veut dire que, quel que soit N, elle est soit décroissante, soit croissante. Donc elle est croissante et décroissante à la fois sur différentes parties de son domaine de définition N. Alors que là, elle serait ni croissante ni décroissante. Alors que là, elle est soit que croissante, soit que décroissante. Donc c'est bien la monotonie. Voilà, c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Dans ce cours, Paul explique comment utiliser les implications et les équivalences en résolvant des problèmes logiques. Il donne trois exemples de problèmes et explique comment déterminer si l'équivalence ou l'implication est réciproque ou directe. Le premier problème concerne x appartenant à R tel que x² égale à 4, Paul parvient à prouver que l'implication est seulement dans le sens retour. Le deuxième problème concerne z qui est un complexe et si z est égal à son conjugué, est-ce que z appartient à R ? Paul parvient à prouver que l'équivalence est vraie. Le troisième problème concerne x appartenant à R tel que x égale à pi et e2i x égale à 1. Paul parvient à prouver que l'implication est seulement dans le sens direct.

Salut c'est Paul et bienvenue pour un nouvel exercice sur la logique pour apprendre à utiliser les implications et les équivalences. Donc, il faut compléter les points de kier par le cogniteur logique qui s'impose équivalent implication dans le sens réciproque ou implication dans le sens direct. Donc la question 1 x appartenant à R tel que pour x appartenant à R, x² égale à 4, je sais pas qu'est ce que c'est là ici, x égale à 2. Donc déjà pour commencer on a le sens retour parce que si on a x égale à 2 on a bien si on a un serre 2 on a bien 2² égale à 4 donc ça c'est bon mais moins 2² égale à 4 donc on n'a pas forcément, si x² égale à 4, on n'a pas forcément x égale à 2. Donc on n'a bien que le sens retour. Pour la deuxième question z est un complexe et si z est égal à son conjugué est-ce que z appartient à R? Mais si z est égal à son conjugué alors on va le noter a plus ib z a plus ib égale a moins ib ça implique que b égale à 0. Voilà donc que z appartient à R. Donc dans ce sens là si z appartient à R c'est bon. Et réciproquement si z appartient à R on a bien assez facilement que z est égal à son conjugué parce que il n'y a pas de partie imaginaire donc un nombre réel c'est égal à son conjugué. Donc on a l'équivalence dans ce cas là. Pour la troisième question x appartient à R donc x égale à pi et e2i x égale à 1. Si x égale à pi on a bien que e2i pi égale à 1. Mais par exemple e2i 3 pi égale à 1 aussi. Donc c'est pas parce que e2i x égale à 1 que x égale à pi. Donc on n'a que le sens direct. Ok c'est tout pour cet exercice et on se dit à la prochaine fois.

Dans cette vidéo, Paul démontre que si a et b sont deux entiers tels que a plus b racine de 2 égal à 0, alors a = b = 0. Il utilise la logique par l'absurde en supposant que a ou b est différent de 0 et montre que cela mène à une contradiction. Ensuite, il démontre que si m plus n racine de 2 égal à p plus q racine de 2 pour des entiers m, n, p et q, alors m = p et n = q. Il utilise le résultat de la première partie et arrive à cette conclusion en rassemblant les termes et en montrant que n moins p et n moins q sont égaux à 0. Cette vidéo est utile pour comprendre la logique impliquée dans les preuves mathématiques.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans une nouvelle vidéo pour un exercice sur la logique. Donc on rappelle du coup que racine de 2 est un nombre irrationnel, et démontrer que si a et b sont deux entiers relatifs tels que a plus b racine de 2 est égale à 0, alors a égale à b est égale à 0. Donc la première question, on va prendre a et b dans cette carré telle que a plus b racine de 2 est égale à 0, et après on raisonne par l'absurde. Donc quand on a des nombres rationnels et irrationnels et qu'on va jouer là dessus, souvent c'est par l'absurde, et on va montrer qu'un nombre irrationnel est rationnel, et donc que c'est absurde, et ainsi démontrer la chose qu'on veut démontrer. Donc si on suppose, on va supposer que a a différente de 0 ou b différente de 0, parce que là ici on a un e caché, parce que c'est a égale à 0 et b égale à 0. Donc pour démontrer ce qu'on veut démontrer, on doit supposer a différente de 0 ou b différente de 0. Donc si b est différente de 0, le cas b est différent de 0, alors là on peut dire que racine de 2 est égale à moins a sur b, et comme a et b sont des entiers relatifs, c'est un rationnel, sauf que racine de 2 est irrationnelle, donc c'est impossible. Sinon, b est égal à 0, donc a est égal à 0, parce que, vu qu'on a cette relation, sauf que c'est impossible, parce qu'on ne peut pas avoir à la fois b égale à 0 et a égale à 0, parce qu'on a a différente de 0 ou b différente de 0, donc au moins l'un des deux doit être différent de 0, donc c'est impossible aussi. Ainsi, on a couvert tous les cas, et ainsi cette proposition induit à quelque chose d'absurde, donc a égale à b est égal à 0. Donc on a prouvé la première question. Maintenant, la deuxième question, en déduire que si m, n et q sont des entiers relatifs, m plus n racine de 2 égale à p plus q racine de 2 est équivalent à m égale à p et n égale à q. Donc on va poser m, n, p, q des entiers relatifs, et on va prouver cette équivalence. Le sens reciprocal est immédiat, on ne le démontre pas, on dit que c'est automatique, parce que si m égale à p et n égale à q, on a automatiquement ça, ça se voit tout de suite, pas besoin de décrire quelque chose. Et pour le sens direct, on prend m, n, p, q appartenant à Z4, tel que m plus n racine de 2 égale à p plus q racine de 2. Et si on rassemble tout d'un côté, on a m moins p plus n moins q racine de 2 égale à 0. Or, n moins p et n moins q sont tous les deux des nombres entiers relatifs. Donc d'après la question 1, on a m égale à p et n égale à q, parce qu'on a que m moins p égale à 0 et n moins q égale à 0, d'après ce qu'on a démontré à la question 1. Ainsi, on a bien que si m, n, p, q sont des entiers relatifs, on a bien l'équivalence recherchée. OK, c'est la fin de ce Guitar 6 et on se dit à une prochaine fois!

Dans ce cours sur la démonstration par la contraposée, Paul explique comment démontrer une proposition en utilisant sa contraposée qui consiste à inverser la relation et les termes. Pour illustrer cela, il prend l'exemple de la proposition suivante: si n² est impair, alors n est impair. En utilisant la contraposée, il dit que si n est pair, alors n² est pair. Ensuite, il démontre cette contraposée en expliquant qu'un nombre pair peut être représenté comme 2p et donc n² sera égal à 2 facteurs de 2p², ce qui est pair. Il conclut en expliquant que quand la contraposée est plus facile à démontrer, on peut l'utiliser pour démontrer la proposition initiale.

Salut c'est Paul, on se retrouve pour un petit exercice sur la démonstration par la contraposée. Donc on a l'exercice soit n un entier et énoncer et démontrer la contraposée de la proposition suivante. Si n² est impair alors n est impair. Et est-ce qu'on a démontré la proposition initiale à la fin? Donc la contraposée de si A alors B c'est si non B alors non A. Donc pour un mnémotechnique j'aime penser qu'on inverse tout. Donc on inverse A et B ça devient non A et non B et on inverse l'ordre. Et ça c'est bien sûr à connaître par coeur. Donc on donne la contraposée de si n² est impair alors n est impair. C'est si n est impair, donc vous voyez le B ici il est passé en première position, donc si n est impair alors n² est impair. Donc on a inversé tout, c'est pas très compliqué. On doit démontrer ça maintenant. Donc soit n appartenant à n tel que n est impair. Donc il existe un p tel que n est égal à 2p. Et donc n² est égal à 2 facteurs de 2p². Or 2p² c'est un lentier naturel, parce que p est un lentier naturel. Donc n² est pair. Donc on a bien démontré la contraposée. Mais une proposition et sa contraposée sont équivalentes. Donc quand on démontre la contraposée on a démontré la proposition. Donc on a bien démontré que si n² est impair alors n est impair. Donc c'est une technique valable. Quand la contraposée semble plus facile à démontrer que la proposition initiale, on passe par la contraposée. C'est un outil encore à avoir. C'est la fin de cet exercice et on se dit à bientôt!

Paul explique comment travailler le raisonnement par récurrence en démontrant la propriété pn ≥ n² pour n appartenant à n. Pour prouver la récurrence, il utilise une implication qui montre que si pn est vraie, alors pn plus 1 est également vraie pour n supérieur ou égal à 3. Il démontre ensuite l'initialisation pour n égal à 3, qui se révèle fausse en testant la propriété. En testant les valeurs supérieures de n, il trouve que pour n égal à 5, la propriété est vraie. Ainsi, il conclut que la propriété est vraie pour tout n supérieur égal à 3, et que le rang cherché est 5.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans un exercice qui permet de travailler le raisonnement par récurrence. Ok c'est parti. Donc pour n appartenant à n, on considère la propriété suivante pn 2 puissance n strictement supérieure ou égale à n². Donc on doit montrer l'implication pn implique pn plus 1 donc est vrai pour n supérieur ou égal à 3. Donc et pour quelle valeur la propriété de n pn est vraie. Donc dans un premier temps on va prouver pn implique pn plus 1. Donc si on prend soit n supérieur ou égal à 3 tel que pn est vrai. Donc pn 2 puissance n supérieur strictement supérieur ou égal à n² ça implique que 2 puissance n plus 1 strictement supérieur ou égal à 2 n² donc on a multiplié par 2. Donc maintenant on résout 2 n² supérieur ou égal à n plus 1 au carré. Donc là on veut faire apparaître du n plus 1 au carré pour avoir du pn plus 1 mais on a du 2n² donc on doit on va essayer de voir dans quelles conditions ça c'est vrai pour pouvoir transférer ce 2n² en n plus 1 au carré. Donc on va résoudre ça voilà pour voir à partir de quel n c'est vrai et espérer que ce soit vrai pour n supérieur ou égal à 3. Donc n² moins c'est équivalent à n² moins 2n moins 1 supérieur ou égal à 0. Maintenant on a un polynome du coup on le résout. On a deux racines donc une négative et une positive comment je sais s'ils sont positives et négatives parce que je connais la valeur de racine 2 à peu près qui est égale à 1,41 donc c'est bien à connaître et voilà donc là vu que c'est un polynome à coefficient donc coefficient d'ordre 2 ici positif le polynome est positif à l'extérieur des racines donc ici comme on a une seule racine positive et bien c'est la solution c'est 2n² supérieur ou égal à n plus 1 au carré c'est équivalent à n supérieur à 1 plus racine de 2 donc supérieur à cette racine parce que n est positif et comme n est entier c'est équivalent à n supérieur ou égal à 3 et donc comme c'est bien le cas on a bien ça donc on a finalement que pn plus 1 est vrai ainsi qu'il que soit n supérieur ou égal à 3 pn implique bien pn plus 1 ok donc pour quelle valeur de n la propriété pn est-elle vraie? On serait tenté pour dire à partir de n égal à 3 ok sauf que non là pour utiliser le théorème de récurrence je rappelle qu'il faut bien l'initialisation mais ça vous devez déjà le savoir donc il faut initialiser donc on teste pour n égal à 3 par exemple donc là 2 puissance n égale à 8 et n au carré égal à 9 p3 est fausse, bah oui voilà, cette fois vous voyez qu'il y avait un piège donc pn implique pn plus 1 pour n donc il y a l'hérédité pour n supérieur ou égal à 3 mais l'initialisation à 3 est fausse donc voilà ça montre bien que par exemple p3 implique p4 voilà qui est égale à non p3 ou p4 voilà d'un point de vue logique vous voyez que là à aucun moment p3 enfin c'est même l'inverse en fait si p3 est fausse alors ça c'est vrai voilà ou alors p4 est vrai alors faut que p4 soit vrai mais donc où ça cette attraction est vraie indépendamment du fait que p3 soit fausse donc pour n égal à 4 2 puissance 4 égale à 16 donc n 2 puissance n n égale à 16 et n au carré égal à 16 sauf qu'on veut une inégalité stricte donc p4 est aussi fausse donc vous voyez que p3 implique p4 et à la fois p3 et p4 sont faux mais p3 implique p4 est bien vrai parce que p3 est fausse justement donc pour n égal à 5 là donc là on était quasiment on était quasiment on avait quasiment la bonne inégalité donc on va sûrement ça va sûrement marcher pour n égal à 5 et bingo parce que 2 puissance 5 égale à 32 et 5 au carré égal à 25 donc on a bien p5 est vrai donc comme p5 est vrai et quelque soit n supérieur égal à 3 pn implique pn plus 1 d'après le théorème de récurrence on a quelque soit n appartient à 5 plus l'infini donc entier pn est vrai donc le rang qu'on cherchait c'était bien 5 voilà ça conclut cet exercice et on se dit à la prochaine fois

Dans ce cours, Paul explique comment utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer une relation de récurrence forte. Il donne l'exemple d'une suite u1 définie par u1 = 3 et la somme des n premiers termes de la suite divisée par deux fois n pour toute n. On veut démontrer que pour toute n, u1 est égale à 3n. Paul définit une propriété pn (récurrence forte) pour montrer que tous les uk sont égaux à 3k et pas seulement u1 = 3n. Il effectue ensuite une initialisation (n = 1) et démontre l'hérédité pour n + 1 en deux cas: k appartient à 1 à n et k = n + 1. Lorsque k appartient à 1 à n, la propriété est prouvée car on sait que tous les uk sont égaux à 3k grâce à pn. Ensuite, en remplacant les ui par 3j, on obtient la somme des j allant de 0 à n, qui est égale à n(n+1)/2. Après avoir simplifié, on obtient 3n, ce qui prouve que pn + 1 est vrai. Ainsi, pn est vrai pour tout n et un est égal à 3n pour tout n.

Salut c'est Paul, et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur le raisonnement par récurrence, ici pour voir ce que c'est qu'une récurrence forte et dans quel cas l'utiliser avec cet exemple. Donc l'exercice commence par soit un, la suite définie par u1 égale à 3, et pour toute n, du coup un est la somme des n premiers termes de la suite divisé fois 2 sur n. Donc, et démontrer que pour toute n appartenant à n étoiles on a un égale à 3n. Donc ici vous l'aurez compris on a une relation de récurrence et on veut démontrer quelque chose pour toute n, et bien on va utiliser un raisonnement par récurrence. Donc on raisonne par récurrence, et donc on définit pn, donc la propriété pour toute n appartenant à n étoiles, donc le domaine sur lequel on veut démontrer, par pn égale quelque soit k appartenant à 1 de 1 à n, uk égale 3k. Alors pourquoi j'ai pas marqué directement un égale 3n et je me suis embêté avec ce quelque soit k appartenant à 1 à n? En fait c'est ça qu'on appelle la récurrence forte. Donc ça c'est une récurrence forte et c'est forte parce que dans la propriété on dit que ce qu'on veut montrer, donc un égale 3n, c'est vrai pour tous les n avant ce n, pour tous les k avant ce n, donc de 1 à n. Et pourquoi je vais en avoir besoin? En fait parce que dans l'hérédité je vais sûrement avoir besoin du fait que tous les uk sont égales à 3k et pas seulement un égale à 3n. Et pourquoi je pense ça? Parce que ici là, vous voyez, un plus un, la relation de récurrence, elle fait intervenir les uk ici de 1 à n. Donc c'est pour ça qu'on va en avoir besoin. Donc c'est parti, on fait l'initialisation. Donc pour n égale à 1, u1 égale à 3, égale à 3 fois 1 par définition grâce à l'énoncé, donc p1 est vrai. Voilà l'hérédité. On prend un n dans n étoiles tel que pn est vrai. On prend un k, donc on veut démontrer que quelque soit k appartenant à 1 à n quelque chose, donc on prend un k d'abord dans 1 n plus 1 parce qu'on veut démontrer pn plus 1, donc de 1 à n plus 1. Et là, deux cas. Soit k appartient à 1 à n, donc une récurrence forte, ça va toujours faire ça. L'hérédité d'une récurrence forte, tu as toujours deux cas de figure. Si k appartient à 1 à n, d'après pn, simplement, vu que pn est vrai, uk égale 3k. Tout simplement, mon a pn est vrai, donc on sait ça. Et là, on n'a plus qu'à traiter le k, où k égale n plus 1. Et là, uk est égal à un plus 1, du coup, est égal à 2 sur n la somme de j allant de 0 à n des uj. Donc là, je ne vous ai pas mis k parce qu'on a déjà utilisé k ici, donc j'ai remplacé le k de l'énoncé ici, le petit k, c'est une vraie muette, ce qu'on appelle, et en fait on peut la remplacer par une variable. Donc quand k est déjà pris, là, c'est une bonne idée de mettre j pour ne pas s'en mêler les pinceaux, pour être plus clair. Donc les variables, en général, qu'on met dans les sommes, c'est k, j ou l, ou i aussi, i quand il n'y a pas de complexe. Donc cette somme ici, là, les ui, on peut les remplacer par 3j, parce qu'on a pn qui est vrai, ainsi, là, on a la somme des j allant de 0 à n, qui est égale à n n plus 1 sur 2. Voilà, ça on doit le savoir absolument. Et on simplifie, ce qui nous donne 3n. Ainsi, pn plus 1 est vrai, et on conclut. Donc, quelque soit n appartenant à n étoiles, pn est vrai, et quelque soit n appartenant à n étoiles, on dit que cpn est vrai, un égale à 3n. Donc on a bien ce qu'on voulait montrer. Voilà, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois!

Dans cette vidéo, Paul explique le raisonnement par disjonction de cas avec pour exemple une équation à démontrer. Il montre comment enlever la valeur absolue de la variable x en divisant les cas en deux parties: si x est inférieur à 1 ou si x est supérieur ou égal à 1. Dans le premier cas, il développe la formule pour montrer que l'inégalité est vraie, et dans le deuxième cas, il montre que le polynôme est toujours positif, ce qui prouve également que l'inégalité est vraie. Finalement, il démontre que pour tout x réel, la valeur absolue de x-1 est inférieure ou égale à x²-x plus 1.

Salut c'est Paul et on se retourne dans une nouvelle vidéo où on va voir un cas de raisonnement par disjonction de cas. Ok, donc qu'est ce que c'est qu'une disjonction de cas? On va le voir avec cet exemple. Donc on va démontrer que pour toute x appartenant à R, la valeur absolue de x-1 est inférieure ou égale à x²-x plus 1. Ok, donc soyez que ça appartenant à R et là on va faire une disjonction de cas parce qu'en fait cette inéquation là elle est facile à résoudre dans si il n'y avait pas sa valeur absolue. Ses valeurs absolues en fait on peut les enlever en divisant deux cas. Si x est strictement inférieur à 1, et bien donc ça va être notre premier cas, et bien la valeur absolue de x-1 est égale à 1-x. Et ce qu'on veut démontrer ici, c'est équivalent à x² est supérieur à 0 si on remet tout du bon côté. Donc ça c'est toujours vrai, ainsi on a bien l'inégalité qu'on veut. Ainsi on a l'inégalité qu'on veut. Donc après on a le deuxième cas, si x est supérieur ou égal à 1, donc là on a bien couvert tous les cas, soit x est strictement inférieur à 1, soit x est supérieur ou égal à 1. Donc la valeur absolue de x-1 est égale à x-1, et on peut réécrire notre inéquation qui est équivalente à 0 et donc qui est équivalente à x²-2x plus 2 est supérieur ou égal à 0. Donc là on a un polynôme, on calcule son déterminant qui est égal à moins 4, donc il n'y a pas de solution. Or on voit que ce polynôme pointe vers le haut, donc ça veut dire que ce polynôme est toujours positif. Donc ça c'est bien vrai, donc on a l'inégalité qui est bien vraie, ainsi on a prouvé notre inégalité dans le deuxième cas. Donc, quel que soit x appartenant à R, la valeur absolue de x-1 est inférieure à x²-x plus 1. Voilà, on se dit à la prochaine fois!

Dans cette vidéo, Paul explique comment résoudre un exercice en utilisant un raisonnement d'analyse synthèse en SEO friendly. L'exercice consiste à déterminer les réels x tels que racine de 2-x est égale à x. Pour commencer, on fait une analyse en supposant qu'il existe un x tel que l'énoncé soit vrai. On trouve que x doit être supérieur à 0 et qu'il est égal à 1 si on résout le polynôme obtenu. Cela prouve l'unicité de x, mais pas son existence. Pour prouver son existence, on vérifie si la relation fonctionne pour x=1, ce qui est le cas. Ainsi, on trouve que x est égal à 1 et est l'unique réelle vérifiant la condition.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo où on va voir un exemple d'exercice qui est résolvable par un raisonnement d'analyse synthèse. Ok, c'est parti. L'énoncé de l'exercice dit déterminer les réels x tels que racine de 2-x est égale à x. D'abord, pour commencer un raisonnement d'analyse synthèse, on fait l'analyse. L'analyse, ça commence en supposant qu'il existe un x. On suppose qu'il existe un x tel que l'énoncé, tel que racine de 2-x est égale à x. Donc racine de 2-x est égale à x, ça implique que 2-x est égale à x² et aussi que x est supérieur à 0 parce que x est égale à une racine carrée. Donc la racine carrée est positive toujours. Ça implique aussi, du coup, on met tout du bon côté et on trouve les racines de ce polynôme ici. On a les deux racines qui sont –2 et 1, donc ça nous donne que x égale à 1 avec x positif, ça élimine x1. Là, ce qu'on a prouvé, c'est que si ce x existe, alors il est unique et il est égal à 1. Ce qu'on a prouvé, c'est l'unicité de ce x. Ça c'est bien important, c'est ce qu'on a prouvé. Mais sauf qu'on n'a pas prouvé l'existence. Maintenant, on va prouver son existence. La synthèse, c'est prouver l'existence de ce fameux x. On vérifie, on pose, on dit si on prenait cette relation, si on prenait 1 par exemple, ce qu'on a trouvé ici, ça marche bien. 1 vérifie bien la condition, donc ça prouve l'existence d'un x qu'on cherchait, parce que 1 correspond. On a l'existence et l'unicité, donc on a bien x égale à 1 et l'unique réelle vérifiant racine de 2x, racine de 2 moins x égale à x. On encadre et c'est la fin. On se dit à la prochaine fois.

Dans cette vidéo, Paul explique l'importance des quantificateurs en mathématiques en utilisant l'exemple d'une fonction f du plan dans lui-même. Il explique que le plan P est un ensemble au même titre que R et que cela ne change rien quant aux quantificateurs utilisés. Il traduit ensuite l'affirmation que f est l'identité du plan en utilisant des quantificateurs, et explique comment on peut également traduire la négation de cette affirmation. Enfin, il explique comment traduire l'affirmation que pour tout point M du plan P, M est sur un cercle C de centre oméga et de rayon R si et seulement si la distance de M à oméga est égale à R, en utilisant des quantificateurs.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une nouvelle vidéo sur la logique où on va voir encore une fois les relations entre phrases mathématiques en français et quantificateurs. Et pour voir à quel point les quantificateurs c'est important en maths. Dans cet exercice, f est une fonction du plan dans lui-même, et exprimée à l'aide de quantificateurs et des phrases suivantes, et puis donnée à leur négation. Donc f est l'identité du plan, f a au moins un invariant, et là il y a les histoires de cercles, de plans M et de distance. Tout ça ça fait un peu peur, c'est différent des fonctions de R dans R, mais en fait non, parce qu'il faut se rappeler que f c'est une fonction, donc ça ne change pas grand chose d'un point de vue des quantificateurs, ça ne change rien même. Le plan P c'est un ensemble au même titre que R, donc f c'est une fonction de P dans P comme ce serait une fonction de R dans R. Ça ne change quasiment rien, et M appartient à P comme un réel appartiendrait à X, X appartiendrait à R. Donc il faut vous dire que ça ne change quasiment rien, il ne faut pas paniquer. Et il ne faut pas aller chercher des choses de compliquées, il faut aller à l'essentiel. Donc pour la première question, f est l'identité du plan. Pour traduire ça, f est l'identité du plan, ça veut dire que pour tout plan, pour tout élément de P, donc pour tout point M dans P, f de M est égal à M. Donc là ça ne change rien, f ça pourrait être une fonction de R dans R, j'aurais marqué quel que soit X dans R, f de X est égal à X. J'aurais même marqué quel que soit M dans R, f de M est égal à M, et là ça aurait été une fonction de R dans R. Mais que la fonction soit l'identité du plan, d'un plan ou de R dans R, ça ne change rien d'un point de vue des quantificateurs quasiment, sauf l'ensemble ici. Donc voilà. Et la négation, c'est pareil, ça n'a pas changé, comme dans R dans R. Quand on a un « il existe » et après on prend la négation de cette assertion, qui est f de M est différent de M. Donc f a au moins un point invariant, là c'est pareil, c'est comme une fonction de R dans R quand elle a un point invariant, vous avez déjà écrit cette relation avec des quantificateurs, c'est pareil, on remplace X par M et R par P. Donc il existe un M dans P tel que f de M est égal à M, et pour prendre sa négation, quel que soit M dans P, donc négation de « il existe », f de M est différent de M. Tout simplement. Là il y a une chose un peu plus originale par rapport au plan, qu'on ne pourrait pas faire dans R. Pour tout point M du plan P, M est sur le cercle C de centre oméga et de rayon R, si et seulement si, la distance de M à oméga est égale à R. Là on va diviser ça en plusieurs parties. Pour tout point M du plan P, quel que soit M appartenant à P, M est sur le cercle de centre oméga, si et seulement si, la distance de M à oméga est égale à R. Donc là il y a une virgule, pour tout M du point P on a ça. On met virgule et des parenthèses pour bien dire que c'est pour tout M du point P. M est sur le cercle C de centre oméga et de rayon R. M appartient au cercle de centre oméga et de rayon R, c'est comme ça qu'on note avec le centre et le rayon. Un cercle est un ensemble de points, au même titre qu'un segment, qu'un triangle, ce genre de choses. Donc M appartient à un cercle et si et seulement si, donc équivalent, la distance de M à oméga est égale à R. Voilà, aussi simple que ça. J'ai été Yarsis et on se dit à la prochaine fois!

Paul explique dans cette vidéo un exercice de logique consistant à déterminer si une affirmation est vraie ou fausse. Pour cela, il faut savoir traduire les termes "suffit", "faux", "nécessaire" et "suffisant" en termes de quantificateurs implicatifs ou d'équivalences. Les exemples d'exercices montrent comment appliquer cette astuce pour déterminer la vérité des affirmations. En résumé, pour réussir ce type d'exercice, il est important de comprendre les relations entre les termes "il suffit", "il faut", "il est nécessaire" et de les traduire correctement en termes implicatifs ou équivalents.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur un exercice sur la logique. Ok, donc cet exercice c'est un cas classique de, dans chacun des cas suivants, dire que si l'affirmation proposée est vraie ou fausse. Donc là l'astuce c'est, là on voit, il suffit, il faut, il nécessaire, il est suffisant, il nécessaire, il est suffisant. Donc en fait l'astuce c'est de savoir traduire suffit, faux, nécessaire, suffisant, voilà, avec des quantificateurs impliquent, l'implication dans le bon sens ou des équivalences. Parce que pour que A il suffit que B, en fait, cette phrase elle est égale à, donc logiquement à B implique A. Et pour que A il est nécessaire que B, c'est égal à A implique B. Donc ça c'est bien à savoir. Et quand on a nécessaire plus suffisant, et bien on a A implique B et B implique A, donc on a A est équivalent à B. Donc avec ça on peut commencer l'exercice. Donc la première question, pour tout n supérieur égal à 3, pour que n soit premier, il suffit que n soit impair. Ça veut dire quoi? Ça veut dire que n impair implique n premier. En fait non, c'est faux, parce que regardez, faux, 9 est impair et 9 est donc premier, 9 égale 3 fois 3. Donc on passe à la deuxième question, pour tout n supérieur égal à 3, pour que n soit premier, il faut que n soit pair. Donc il faut, il est nécessaire que n soit pair. Donc si on traduit ça avec des implications, n premier implique n impair. Oui c'est vrai, parce que c'est vrai. Si ça implique n premier, n peut pas être pair, parce qu'il ne serait pas premier du coup, par définition de la parité. Donc 3, pour tout x appartenant à R, il faut que x² égale 4, il est nécessaire que x égale 2. Donc là, je traduis ce que veut dire la phrase, x² égale 4 implique x égale à 2. Donc cette partie là, c'est faux, bien sûr, parce que x ici peut être égale à moins 2. Donc cette implication est fausse. Donc pour que tout x appartenant à R, pour que x égale à 4, il est suffisant que x égale à 2. Donc on traduit, il est suffisant que x égale à 2, donc suffisant que l'implication est dans ce sens là, x égale à 2 implique que x² égale à 4. Est-ce que cette assertion est vraie? Ben oui, si x égale à 2, on remplace 2 au carré égale à 4, c'est bien le cas. Alors 5, pour x appartenant à R, il est nécessaire que x supérieur ou égal à 2 pour que x supérieur ou égal à 3. Donc ça, si on traduit cette partie, ça veut dire x supérieur ou égal à 3 implique x supérieur ou égal à 2. Ben oui, c'est vrai ça. Et la 6ème question finalement, pour tout x appartenant à R, pour que x supérieur ou égal à 3, il est suffisant que x supérieur ou égal à 2. On écrit ce que ça veut dire, ça veut dire x supérieur ou égal à 2 implique x supérieur ou égal à 3. Ben non, c'est faux ça. Donc en fait, vous avez bien vu, l'astuce c'est de bien comprendre les relations entre il suffit, il faut, il suffit et il est nécessaire. Et du coup, les relations entre traduire il suffit ou il est nécessaire avec des implications ou des équivalences. Ok, on se dit à la prochaine fois.

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