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Première

La première méthode classique pour résoudre ce problème est d'utiliser la mise en forme canonique. Cette méthode consiste à passer d'une forme développée à une forme canonique où il n'y a qu'un seul terme contenant du x. 

Pour ce faire, on repère d'abord les facteurs communs. Dans cet exemple, on peut factoriser par 4 et même par -4 pour simplifier les étapes suivantes. On obtient ainsi moins 4x², moins 2x et plus 3. 

Ensuite, on repère le début du développement d'un carré avec les deux termes contenant du x. Dans cet exemple, le terme x²-2x est quasiment équivalent à x²-2x plus 1, auquel on soustrait 1. Donc on doit ajouter et soustraire 1 pour maintenir l'équivalence.

On obtient ainsi la forme x²-2x plus 1, que l'on peut simplifier en (x-1)² moins 1. 

Pour réécrire la fonction f2x égale moins 4 fois x-1² moins 1, plus 3, on peut simplifier en moins 4 facteur de (x-1)² plus 2.

Pour résoudre l'équation f2x égale moins 8 en utilisant la forme canonique, on développe la formule f2x et on obtient moins 4 fois (x-1)² moins 4 fois 2 est égal à moins 8. 

En simplifiant, on obtient que moins 4 fois (x-1)² est égal à 0. Le facteur moins 4 peut être supprimé et on obtient que (x-1) doit être égal à 0, donc x égal à 1.

La première méthode très classique, c'est la mise en forme canonique. Donc ce qu'il faut faire, c'est passer d'une forme développée où il y a du x² et du x à une forme canonique où il n'y aura plus qu'un seul terme contenant du x. Premier réflexe à avoir quand on voit cette fonction, on repère 4, 8, 12, je peux factoriser par 4 et même par moins 4. Ça va me simplifier la détection des étapes suivantes. Je mets moins 4, facteur de x², moins 2x pour faire plus 8x, plus 3. La forme canonique, l'idée c'est de repérer le début du développement d'un carré avec les deux termes où il y a du x. Donc ici j'ai x²-2x et je reconnais que x²-2x, c'est quasiment x²-2x plus 1, auquel je fais moins 1. Donc je suis obligé de faire plus 1, moins 1, parce que si je ne fais pas moins 1, j'ai juste à rajouter un 1 qui sort de nulle part. Donc plus 1, moins 1, ça fait 0, ça a l'air de servir à rien, mais l'idée c'est qu'ensuite on a ici x²-2x plus 1. Et donc je me rends compte que tout ça, ça fait x²-2x plus 1, x-1², moins 1. Et donc je peux écrire f2x égale moins 4 fois x-1², moins 1, plus 3. Et tout ça fait bien sûr, moins 4 facteur de x-1² plus 2, voilà. Alors, à l'aide de la forme canonique résoudre f2x égale moins 8, on va écrire ma petite 2, f2x égale moins 8, si et seulement si, moins 4 fois x-1², donc je prends la formule de f2x et puis je vais la développer. Je vais développer le moins 4 qui est ici sur le premier terme et le second. Ça fait moins 4 fois x-1², moins 4 fois 2, 8 égale moins 8. L'exercice est bien fait, on fait exprès de vous demander moins 8, c'est pour qu'en fait ça dégage ici et qu'on obtienne, si et seulement si, moins 4 fois x-1² égale 0. Le moins 4 peut disparaître. La seule chose qui va rester, c'est le fait que x-1 doit être égal à 0, x égale à 1, voilà.

Ce cours traite du sens de variation d'une fonction polynôme, en fonction du signe de son coefficient principal 'a'. Lorsque 'a' est positif, la fonction avance en décroissant puis en croissant (fonction qui sourit), alors que lorsque 'a' est négatif, la fonction avance en croissant puis en décroissant (fonction qui fait la tête). En appliquant une formule pour trouver le minimum et le maximum de la fonction, liés aux valeurs de 'a', on peut facilement déterminer le sens de variation de n'importe quelle fonction polynôme. En appliquant cette méthode à des exemples concrets, l'auteur démontre que la formule n'est pas très compliquée une fois qu'on la comprend.

Deuxième type de petite méthode très classique qui en fait reprend un point de cours très basique, le sens de variation d'une fonction polynome. Alors je vous ai fait un petit résumé de cours, l'idée du résumé de cours tient en un petit tableau. Quand vous avez une fonction f polynome qui s'écrit de la forme ax² plus bx plus c, selon le signe de a, vous aurez une fonction qui d'abord décroit puis croit, moi j'appelle ça les fonctions qui sourient quand a est positif, puis il y a les fonctions polynome qui font la tête quand a est négatif et qui sont comme ça, qui vont d'abord croître puis décroître. L'important c'est de connaître le petit tableau qui va avec, donc décroissance, croissance, croissance, décroissance, en fonction à chaque fois de la valeur de a, et systématiquement, que ce soit croissant décroissant ou décroissant croissant, vous avez le minimum ici et le maximum dans le cas en dessous qui est atteint pour la valeur de x égale moins b sur 2a, x égale moins b sur 2a qu'on va retrouver ici à chaque fois. Une fois que vous avez ça, l'exercice est facile, on vous dit f est défini sur r par f2x égale x² moins x plus 2, première chose à faire repérer que c'est x² fois 1, donc un a positif, on sait déjà que celle ci va décroître puis croître, alors que le petit b on a moins 4x2, on sait qu'elle va croître puis décroître. Alors a, on a dit f2x égale x2 moins x plus 2, je peux déjà, sachant que c'est un a positif, en fait aller copier-coller ce tableau, tout ce que j'ai à faire c'est détecter quelles sont les valeurs de a, de b et de c ici 1 sur 2 et donc je peux répondre comme ceci. C'est une fonction qui sourit parce que c'est une fois x² donc ça décroît puis ça croît tout de suite si vous voulez je peux dessiner le tableau, je sais que c'est ça vu que j'ai détecté le a, première chose, ensuite je remplis le tableau avec un petit moins b sur 2 1. Pour cette seconde fonction je repère tout de suite que a égale moins 4 donc je sais que c'est dans le cas du cours qui est celui ci, tout ce que j'ai à faire c'est recopier le bon tableau, celui avec une fonction qui croît puis décroît et ensuite tout ce qu'il me reste à faire c'est appliquer la bonne valeur de moins b sur 2 1. Je peux dire moins b sur 2 1 moins 16 sur 2 fois moins 4 ça fait moins 16 sur moins 8 tout ça ça fait 2 et j'ai rempli mon tableau. Voilà deux exemples avec ces deux exemples on a couvert un peu tout ce qui est possible c'est pas très compliqué faut juste rappeler de la petite formule moins b sur 2 1.

Dans ce cours, nous avons vu différentes méthodes pour trouver des racines de fonctions polynomiales. Pour le premier exemple, on peut calculer le delta ou utiliser la forme canonique de la fonction. Pour le deuxième exemple, on peut repérer une densité remarquable ou utiliser une racine évidente pour trouver les autres racines. Pour le troisième exemple, il est possible de factoriser la fonction et repérer des racines évidentes. En somme, il est utile de connaître certaines formules et de tester différentes valeurs pour trouver les racines.

Quelques petits exemples pour trouver des racines de fonctions polynomies. Premier exemple, f2x égale moins x2 plus 2x moins 3. Donc il y a deux manières de faire, soit vous calculez directement le delta, vous pouvez dire delta égale moins 2 au carré moins 4 fois a fois c, donc fois 1 fois 3 ici. Vous remarquez que j'ai mis le moins en facteur, en général je mets souvent le a en facteur par réflexe. Et là on trouve que ça fait donc 4 moins 4 fois 4. Ça c'est négatif, il n'y a donc aucune racine. Donc c'est très bien de faire le delta, ça marche. Quand des fois il apparaît que la fonction a une forme canonique assez évidente, vous pouvez aussi repartir sur un calcul de forme canonique. C'est pas nécessaire de le refaire à chaque fois, puisqu'on a démontré qu'on pouvait utiliser le delta, on pouvait aller vite comme ça, mais x2 moins 2x, j'ai envie de l'écrire x moins 1 au carré, moins 1 plus 3 plus 2. Et là tout ce qu'on peut dire c'est que cette chose étant positive ou nulle, cette chose étant strictement positive, le tout est strictement négatif. Si f2x est tout le temps, quel que soit x, strictement négatif, ça veut dire qu'il est impossible qu'elle soit égale à 0, il n'y a donc aucune racine. Donc il n'y a aucune racine d'après le delta négatif, également par cette méthode là. Alors, petit b, on vous dit g2x égale x2 plus x plus 1 quart. Là tout de suite, ce qu'il faut repérer, c'est une densité remarquable, c'est à dire 1 carré parfait. Il n'est peut-être pas évident à voir, mais soit vous calculez le delta, puis vous allez retrouver que ça fait 1 au carré moins 4 fois 1 fois 1 quart égale 0. Donc au cas où vous n'avez pas repéré le carré parfait, le calcul du delta qui va être nul va vous le dévoiler. Moi je préfère vous encourager à toujours un peu tester dans votre tête ce genre de trucs. Se dire attendez, x carré c'est 1 carré parfait, 1 quart c'est 1 demi au carré. Est-ce que ça ne serait pas une formule au carré en vérifiant que ça, ça marche bien? Que ces deux carrés, a carré plus b carré, se complètent bien d'un 2ab si vous voulez, en utilisant une densité remarquable. En faisant ça, on reconnaît tout de suite que c'est le développement de x plus 1 demi au carré. Donc on peut dire que l'ensemble des racines, c'est pas vraiment les solutions, G a une unique racine qui est moins 1 demi. Le delta va vous aider à voir ça, mais je pense que vous pouvez le détecter vous-même. c h2x égale x carré fois 2, donc je vais mettre 2 en facteur, x carré par réflexe comme d'hab, plus x, moins 6. Je vous conseille d'apprendre par cœur une liste de certains polynômes un peu classiques. C'est à dire qu'il y a beaucoup de polynômes qui vont avoir plus de racines, qui sont utilisés par les profs de maths en premier terminal, où les racines de ces polynômes sont souvent 1, 2, 3, moins 1, moins 2, moins 3. Ça fait un certain nombre de polynômes quand on mélange ceux qui ont une racine 1 et 2, ceux qui ont une racine 1 et 3, moins 1 et 2, moins 1, moins 2, moins 1, moins 3, il y en a un certain paquet, mais il y a quand même, je vois ça avec le recul, il y a quand même un certain nombre qu'on voit tout le temps. Ça peut être pratique de s'en souvenir. Sinon ici vous pouvez utiliser la méthode de la... Si vous ne connaissez pas par cœur, la méthode un peu moins rapide mais toujours très rapide, c'est repérer une racine évidente. Pour repérer une racine évidente, il faut mettre une valeur de x assez simple dans H et voir si ça fait 0. Par exemple, le premier à essayer tout le temps, c'est 1. H de 1, ça fait quoi? Ça fait 2 fois 1 plus 1, 2, moins 6, moins 4. C'est mort. On peut essayer 2 ensuite. 2 au carré, 4, plus 2, 6, moins 6, 0. Parfait. On a H de 2 égale 2 fois 2 au carré plus 2, moins 6, égale 0. Donc 2 est racine de H. Et quand vous avez trouvé une racine évidente, comme on les appelle, vous pouvez utiliser ce que vous savez sur les relations entre coefficients et racines, c'est-à-dire le fait qu'on a le produit des deux racines qui est égal à C, et la somme des deux racines qui est égale à moins B. Si vous faites ça, vous allez pouvoir trouver la deuxième racine tout simplement. Or, le produit des deux racines vaut moins 6, donc 2 fois quoi également 6? Moins 3, et racine également. Voilà. C'est une méthode qui utilise un peu ce qu'on peut connaître sur les racines. C'est un peu plus avancé que de faire le delta, le delta on pourrait le faire aussi. Sinon, on peut calculer delta égale 1 au carré, moins 4 fois 1, fois moins 6, égale 1 moins 24, 25, égale 5 au carré. C'est positif, donc il y a deux racines. On a donc les racines x1 égale moins B, moins 1, moins racine de delta, moins 5, sur 2 fois A. Tandis que je considère ce polynome, c'est donc 2. x2 égale moins 1, plus 5, sur 2. On trouve ici, moins 1 moins 5 ça fait moins 6, dit à part 2, moins 3. Moins 1 plus 5 ça fait 4. On va mettre la barre comme ça, ça fait 2. On retrouve 2 et moins 3 de manière classique. Mais je vous encourage à utiliser ce genre de méthode. Ça ira plus vite, et ce sera un peu plus facile. Il y a trois autres ici. Je vous laisse les faire en bonus. Il suffit de factoriser quand c'est possible. Par exemple, ici on peut repérer que ça se factorise par 3. Regardez si à chaque fois il n'y a pas de racines évidentes. Et sinon, appliquez le delta. Voilà, ça fait pas mal d'exemples et j'espère que c'était assez clair.

Dans ce cours de mathématiques, nous avons vu plusieurs exemples de facteurisation de trinômes. Pour le premier, nous avons utilisé une astuce pour factoriser f2x = -0,5x² + 5x - 12,5 en utilisant -0,5 comme facteur commun. Pour le deuxième, nous avons cherché une racine évidente en remarquant que les coefficients semblaient s'approcher de zéro pour x = 1. Nous avons ainsi trouvé que g² = 4x² + 4x - 8 = (x-1)(x+2). Pour le troisième exemple, nous avons utilisé la méthode du delta pour trouver que h²x = 3x² - 2x + 2,4 n'était pas factorisable. Nous avons également montré qu'il était possible d'obtenir la forme canonique x² - (2/3)x + 1/9 en faisant un petit calcul. En somme, nous avons vu différentes méthodes pour factoriser des trinômes et comment les utiliser en fonction de la situation.

Quelques exemples en plus de formes factorisées pour certains trinomes Je vous les fais, je pense qu'ils sont assez intéressants f2x égale moins un demi de x² plus 5x moins 12,5 Là c'est un peu spécial mais j'ai envie de mettre moins un demi en facteur moins un demi ça fait moins un demi fois x² pour retrouver 5 il faut que je fasse moins 10 parce que si vous faites moins un demi fois moins 10 ça fait bien 5 donc moins 10x ça fera plus, qu'est ce qui divisé par 2 fait 12,5? 25 et là j'ai de la chance parce que dès que je vois ça identité remarquable, je reconnais, une forme factorisée parfaite c'est le carré de x moins 5 x moins 5 au carré, en effet j'ai x2, le a² plus b² moins 2ab ici donc dès que j'ai ça, c'est fait pas besoin de s'embêter à faire le delta vous faites beaucoup d'exercices, beaucoup de méthodes que je vous montre des fois c'est bien de faire le delta et c'est pratique et ça fonctionne à 100% des cas mais il y a des fois où à force d'habitude et de regard à force de concentration et d'observation vous pouvez repérer des résultats plus simples plus rapides si vous voulez et c'est une bonne habitude que j'ai bien envie de vous faire entraîner donc j'essaie de vous montrer un peu à chaque fois que c'est possible donc là je factorise comme réflexe usuel x² plus x moins 2 là tout de suite je me dis attention je sens qu'il y a peut-être de la racine évidente, pourquoi je me dis ça? parce que je vois que les coefficients ont l'air de s'approcher de 0 pour la valeur x égale 1 parce que si je mets un 1 ici, je vois que ça fait un genre de 1 plus 1 moins 2 je l'ai, ça va marcher mais des fois il faut le sentir aussi comme ça des fois c'est peut-être 2² plus 2 moins 2 etc mais toujours un peu avoir dans le bas de votre tête dans le coin de votre tête quelque part, avoir le fait de tester des petites racines évidentes ici la racine évidente que je vais tester tout de suite c'est 1 et ça va être payant parce qu'on trouve que g² égale 4 fois 1² plus 1 moins 2 égale 0 donc c'est la combinaison des coefficients qui me fait tenter j'aurais eu x² plus 37x moins 2 mais j'aurais même pas essayé une racine évidente même pas j'essaie de mettre un ou deux là-dedans parce que le 37 fera exploser le résultat, ça sera beaucoup trop gros ici quand j'ai 1, 1, 2, ça se tente donc je trouve g² égale 0, c'est parfait j'applique le fait que le produit des racines égale à moins 2 ici vous avez appris que le produit des racines vaut c sur a et donc pour cette forme du polynôme a égale 1 donc c'est 1x² et c vaut moins 2 je sais que les deux racines x1 fois x2 est égale à moins 2 donc comme x1 c'est égal à 1 x1 c'est 1 x2 est égal à moins 2 et donc je peux écrire tout de suite g²x égale 4 fois et je remplace celui-là par x-1 x--2 qui fait x plus 2 c'est fait, avec le delta encore une fois ça marcherait aussi la dernière h²x égale 3x² moins 2x plus 2,4 on va essayer de gérer ça donc h²x égale 3x² moins 2x plus 2,4 alors 2,4 c'est un peu spécial mais bon écoutez pourquoi pas bon je vais mettre 3 en facteur si je mets 3 en facteur ça fait 3 facteur de x² moins 2 tiers de x plus 0,8 bon c'est pas idéal je pense qu'en faisant ça ce que j'espérais c'est que l'exercice soit fait pour faire apparaître une racine je pense que je vais reculer un peu et pas faire ça parce que si je quand je vois ça je suis pas du tout motivé pour mettre des 1 des 2 pour tenter de trouver une racine évidente et je vois pas vraiment non plus je vois pas non plus de carré évident ce que je vois dans x² moins 2 tiers de x c'est qu'à la limite je pourrais faire la forme canonique à la main ça je peux faire mais je pense qu'autrement ce que je ferais donc là je vais le faire pour aller au bout ce que je ferais c'est repartir d'ici et faire le delta mais x² moins 2 tiers de x ça me donne envie d'écrire x moins 1 tiers le tout au carré qui quand je développe fait bien x² moins 2 tiers de x plus 1 tiers au carré donc qui fait 1 neuvième qui est tiré pour bien être dans l'égalité si vous voulez donc là j'ai le moins 1 neuvième qui vient faire en sorte qu'on ait bien cette forme canonique qui se forme sans rajouter de terme qui a rien à faire là quoi plus 0,8, bon 0,8 je vais le mettre en 8 dixième c'est à dire en 4 cinquième on va essayer de gérer ça or 4 cinquième moins 1 neuvième égale en fait est positif strict et donc je vais écrire comme ça si vous voulez vu que c'est positif strict hop, d'un côté j'ai ça qui est positif ou nul j'ai ça qui est positif strict, j'ai même pas besoin de faire le calcul de fraction ou mettre mon dénominateur et ça conclut que le tout est positif strict positif strict, il n'a donc pas de racine il n'est pas factorisable, il n'a pas de forme factorisée question réglée ou bien ça ça marche, ou bien méthode du delta delta égale en l'occurrence ici j'ai triboté l'équation j'ai été voir ce que je pouvais faire c'était pas mal c'est toujours bien d'essayer, c'est ce que je vais encourager mais c'est vrai que le delta aurait été beaucoup plus rapide donc je vous montre le 2, moins 4 fois 3 fois 2,4 4 fois 3, 12 c'est déjà beaucoup plus grand que 2 au carré, tout ça est négatif pas de solution voilà, donc c'était 3 petits exemples un qui se fait en détectant tout de suite le carré parfait un qui se fait avec une racine évidente un où ayant ces méthodes en tête, j'ai tenté de les faire apparaître j'ai pas vu, donc j'ai réagi on fait une forme canonique, ou on fait le delta on trouve que c'est pas factorisé ça vous donne un petit aperçu de différentes méthodes et la manière dont quand vous êtes à l'aise il faut savoir les utiliser j'espère que c'était assez clair et que ça donnait pas mal d'illustrations, je vous dis à la prochaine!

Dans ce cours, on parle de la notion de racine évidente dans les fonctions ax² plus bx plus c. Si le discriminant est positif et qu'il existe deux racines, on a des relations entre les racines et les coefficients comme le produit des deux racines égal à c sur a et la somme des deux racines égale à moins b sur a. Tester des racines évidentes peut être utile dans les cas où les coefficients semblent pouvoir se combiner facilement pour faire 0. L'exercice consiste à trouver toutes les solutions de la fonction f²x égal à 5x² moins 4x moins 1. En trouvant que moins 1 est racine évidente, on peut trouver que l'autre racine est moins 1 cinquième. L'objectif de cet exercice est d'entraîner l'esprit à développer des réflexes pour détecter des choses rapidement afin d'aller plus vite dans des exercices plus complexes en première ou en terminale.

Un court exercice autour de la notion de racine évidente. Petit rappel, vous avez dans le cours une propriété qui vous dit quand vous avez une fonction ax² plus bx plus c, pour peu qu'il existe deux racines, ce que j'ai écrit pour les cas où delta le discriminant est positif, on a une relation entre les racines et les coefficients. Les relations sont les suivantes, le produit des deux racines est égal à c sur a, donc le coefficient ici divisé par celui-ci, la somme des deux racines est égale à moins b sur a. À quoi ça sert? Dans le cas où vous avez une seule des deux racines, vous trouvez très facilement la deuxième. Donc dans l'exercice ici, si vous avez une fonction f²x égale à 5x² moins 4x moins 1, c'est un de ces exemples où, en effet, il est intéressant de tester des racines évidentes. Pourquoi? Parce que vous voyez des coefficients du genre 5 moins 4 moins 1 qui ont l'air de pouvoir se combiner facilement pour faire 0. Si vous aviez une fonction du genre x² plus 3371x moins 28, je n'irais pas tenter de mettre des valeurs de x pour voir quand est-ce que ça fait 0. Mais 5x² moins 4x moins 1, d'ailleurs, tester l'idée que 5 moins 4 moins 1 fait 0, ça vous fait repérer que, ici dans cet exercice, f²x égale 5x² moins 4x moins 1, moins 1 égale 0. 1 est racine. On trouve tout de suite la racine évidente, 1. Ensuite on vous dit, trouvez toutes les solutions. Très bien. Comme on sait que, or, x1 fois x2, le produit des deux racines, égale à c sur a, ici c sur a c'est donc moins 1 divisé par 5. Ça combiné au fait que, on va appeler x1 égale 1, tout bêtement on trouve que x2 égale moins 1 cinquième. C'est fini. Le but de ce genre d'exo, c'est surtout d'entraîner votre esprit à avoir des bons réflexes et à détecter des choses en vous concentrant un peu. Vous regardez les coefficients, est-ce que c'est faisable? Quand vous arriverez, soit en première un peu difficile avec des exercices de fin de déesse ou en terminale, vous aurez des fois des longs déesses, des longs problèmes, où la partie polynôme va intervenir uniquement dans la question du genre 2c. Il ne faudra pas perdre de temps sur cette question, et vous serez favorisé en tant qu'élève, si vous savez faire ce genre de petites astuces parfaitement rapidement. Et vous irez beaucoup plus vite que quelqu'un qui fait tout le delta et toute la procédure visuelle. C'est pour ça qu'on vous entraîne. J'espère que c'était clair, je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Ce cours traite de la résolution d'inéquations avec des polynômes de degré 2. Pour comprendre le comportement des fonctions polynômes en fonction de A, B et C, on peut se référer à leur forme en sourire ou en tête, déterminée par la valeur de A. Lorsque delta est négatif, la fonction ne croise jamais l'axe des x et est toujours positive stricte. Si delta est égal à 0, la fonction est nulle en un seul point mais toujours positive. Enfin, si delta est positif, la fonction est un peu plus basse que les précédentes et croise deux fois l'axe des x. Il suffit ensuite de tout mettre du même côté d'une équation pour avoir quelque chose plus grand ou plus petit que 0. Ensuite, on peut factoriser et calculer delta pour trouver les racines de la fonction. Ensuite, on peut tracer un tableau de signes pour déterminer la solution de l'inéquation.

Exercice sur une méthode assez classique également, mais un petit peu plus complexe déjà, résoudre des inéquations avec des polynomes de degré 2. Donc premier truc à savoir, bilan de cours, comment se comportent les fonctions polynomes de degré 2 en fonction des différents paramètres, les paramètres étant A, B et C. Pour les fonctions qui sourient, j'appelle les fonctions qui sourient celles qui ont un A positif, parce qu'elles ont une tête de sourire. Quand le delta est négatif, c'est-à-dire quand il n'y a aucune racine, alors la fonction ne croise jamais la x et y, elle est toujours au-dessus, on peut dire que la fonction est toujours positive stricte. Quand delta est égal à 0, la fonction est toujours positive mais elle est nulle en un seul point, le point (-v sur 2a en l'occurrence). Quand delta est positive, c'est-à-dire quand la fonction polynomiale a deux racines, elle est un peu plus basse que les précédentes et elle croise donc deux fois l'axe des x. Quand on vous demande le signe de cette fonction, on repère très vite qu'entre les deux racines, elle passe sous l'axe, elle est donc négative, mais au-delà des deux racines, avant x1, après x2, elle est positive. C'est le même comportement pour les fonctions qui font la tête, celles où a est négative. Soit, quand delta est négative stricte, elle ne touche jamais l'axe, elles sont donc en dessous parfaitement. Quand on avait ici une fonction qui était complètement positive stricte, ici on a une fonction complètement négative stricte. Ici la fonction quand delta est égal à 0 est négative ou nulle en ce point. Et ici quand il y a deux racines possibles, quand delta est positive, on voit que la fonction est au-dessus de l'axe aux x, entre les deux racines, et en dessous de l'axe aux x, au-delà des racines. C'est assez simple de s'en rappeler avec des petits dessins. Une fois que vous avez ça, on peut l'appliquer dans un exemple concret. Première étape pour un exemple concret, tout mettre du même côté d'une équation, pour faire en sorte d'avoir quelque chose plus grand ou plus petit que 0. Donc là ce que je vais faire, c'est prendre tout ça et le mettre ici, avec le 2. Ça me donne 0 plus petit ou égal à 6x², moins 15x, plus 4, plus 2, plus 6. Ça je vois tout de suite que je peux le factoriser. Or 6x² plus, pardon, moins 15x, plus 6, je peux factoriser par 3. C'est 3 fois 2x² moins 5x, plus 2. Et donc j'aurais ça qui est plus petit que 2, en gros. Si seulement 6x est positif, en fait c'est la même chose que si cette chose là est positive. Je vais poser ça comme une h2x, si vous voulez. h2x égale 2x² moins 5x, plus 2. On ne se prend pas vraiment la tête. On s'occupe du calcul delta égale b² 25, moins 4ac, 4 fois 2 fois 2. Ça fait 4x4 16, c'est 25 moins 16 égale 9. Ça c'est 3². J'obtiens donc x1 égale, moins b donc 5, moins racine de delta 3, divisée par 2 à 4, et x2 égale 5, plus la racine de delta, donc 3 sur 4. Si on simplifie, x1 égale 1 demi, x2 égale 8 sur 4, 2. Je peux tracer tout de suite un petit tableau de signes, si vous voulez. Je sais que, entre les deux racines, ma fonction va être négative. C'est une fonction qui sourit. Donc ici j'ai un h2x avec un 2 ici. Entre les deux racines, pour les deux racines ça va être nul. Entre les deux racines c'est négatif. Au-delà des deux racines c'est positif. Voilà, moi je sais que j'ai la solution de mon inéquation. Si et seulement si h est positive, ça veut dire qu'on est dans cette zone ou cette zone-là. Je peux donc conclure et écrire, grand s égale, moins l'infini, 1 demi. Je ferme la parenthèse parce qu'on a dit, plus grand ou égal à 0, plus petit ou égal à 2. Ça serait strict, j'ouvrirais le crochet. Union, 2, plus l'infini. Ça c'est tout l'espace en dehors des racines. C'est ma solution. Et un deuxième exemple, je vous laisse le faire vous-même s'il y a besoin. S'il y a des questions, n'hésitez pas. Dites-moi si vous avez soit un problème sur le rappel de cours, soit sur la petite méthode ici. Donc première étape, je rappelle, mettre tout du même côté, puis détecter une fonction et l'analyser, en appuyant juste le cours. Voilà, j'espère que c'était assez concis et assez précis. Et je vous dis à une prochaine.

Dans cette leçon de mathématiques, nous avons pour objectif de trouver les coefficients d'une fonction polynomiale inconnue, à partir de trois indices, à savoir l'existence d'un extremum atteint en -1, d'un autre extremum en 2, et l'annulation de la fonction en 1. Pour cela, nous déterminons la forme canonique de la fonction f(x) en fonction des coefficients a, alpha et beta, en faisant appel aux indices donnés. Ainsi, nous trouvons que alpha est égale à -1 et que beta est égale à 2. Ensuite, nous utilisons le troisième indice pour trouver le coefficient a, et finalement nous obtenons la fonction f(x) = -1/2(x+1)²+2. En résumé, en utilisant les indices donnés et en faisant appel à la forme canonique de la fonction, nous avons pu trouver les coefficients et donc l'expression de la fonction polynomiale inconnue.

Un exercice assez classique où on vous demande de trouver les paramètres d'une fonction polynome inconnue. Ici on vous donne ax2 plus bx plus c et on va essayer de trouver les différents coefficients. On vous donne plusieurs indices pour ça. Donc il y a l'indice on admet un extrémum 2, cet extrémum est atteint en moins 1. On vous dit dernier indice f s'annule en 1. Donc ces trois indices sont trois sources d'informations sur les trois équations qui vont s'écrire qui correspondent à trois inconnues. Donc c'est parfait le système à l'air complet on va pouvoir tout résoudre. Déterminer la forme canonique de f, ça quand je vois la forme canonique de f ça m'encourage tout de suite à écrire f, inconnue, sous la forme canonique. Donc je vais l'écrire plutôt comme ça. f2x égale a fois x moins alpha le tout au carré plus beta. Ça c'est le premier réflexe à avoir parce que l'énoncé me dit forme canonique. Ce sera beaucoup plus facile apparemment de résoudre comme ça. Donc si je traduis le reste. Je sais que l'extrémum, donc maximum et minimum est atteint en moins 1. Donc l'indice ça, ça veut dire que alpha égale moins 1. Je peux en déduire que f2x égale a fois x plus 1 au carré plus beta. Le fait ensuite que l'extrémum vaut 2, ça veut dire qu'en fait f2 moins 1 vaut 2. Mais quand je prends f2 moins 1 avec l'expression qu'on a trouvé, f2 moins 1 c'est beta. Parce que moins 1 plus 1 au carré ça fait 0 au carré, ça fait donc beta. f2 moins 1 égale 2, j'ai donc beta égale 2. Là je commence à m'en sortir parce que j'ai trouvé f2x égale a fois x plus 1 au carré plus 2. Incroyable. Tout ce qu'il me manque à trouver c'est le facteur a qui est ici. Or on m'a dit f s'annule en 1. La traduction de ce troisième indice c'est f de 1 égale 0. Ça si je traduis avec l'expression qui est ici, f de 1 ça donne, or f de 1 égale a fois 1 plus 1 donc 2 au carré plus 2 égale 4a plus 2. De ces deux conditions, f de 1 égale 0 et f de 1 égale 4a plus 2, j'en déduis que 4a plus 2 égale 0. Ça se résout vite, ça fait a égale moins 2 sur 4 moins 1 sur 2. C'est fini, je peux conclure. f de x était donc égal à moins 1 sur 2 facteur de x plus 1 le tout au carré plus 2. C'est réglé. J'étais un petit peu vite mais je voulais être assez systématique. On vous dit des choses, repérez qu'il y a trois indices, je pense que c'est ça, il faut bien ranger dans votre tête ce qu'on vous dit, pas se laisser complètement dépasser par le flux d'informations. Un indice, deux indices, trois indices. On me dit déterminer la fonction x, ça guide mon départ de réflexion. Je pose le problème de cette manière là plutôt. Ensuite j'applique, alpha égale moins 1 c'est ça. Beta est le maximum, ça veut dire que beta égale 2. f de 1 égale 0 permet de conclure. J'espère que c'était clair, j'essaie de faire ça de manière assez concise. Posez moi des questions si besoin et je vous dis à la prochaine.

Introduction to solving inequalities with polynomial terms, including second-degree polynomials in the numerator or denominator. A table of signs is necessary, taking into account the signs of both the numerator and denominator. An example is worked through, calculating the sign of a fraction with a second-degree polynomial numerator and a first-degree polynomial denominator, using a function analysis and a sign table. Another example is provided, where an identity is factored in, simplifying the analysis of the function. The importance of not overlooking values, such as the value of x where the denominator equals zero, is highlighted.

Un autre exercice assez classique, des inéquations un peu plus compliquées, cette fois-ci avec des fractions comprenant pour le dénominateur ou le numérateur des polynômes du second degré. Donc on va regarder ça. Le piège c'est que vous ne pouvez pas juste vous débarrasser de 2x plus 1 comme ça. Donc ça serait un peu le truc rapide, genre on pourrait faire 2x plus 1, on enlève de chaque côté. Le piège avec ça c'est que si vous vous débarrassez, enfin vous avez vu ça en secondes, de 2x plus 1, potentiellement 2x plus 1, si x vaut par exemple moins 7, c'est négatif. Donc si vous multipliez par 2x plus 1 de chaque côté pour vous en débarrasser, ici il faudrait changer le signe. Donc en gros on est obligé de prendre en compte et le dénominateur et le numérateur. Donc quand on vous donne ça, vous votre but en fait c'est de faire un tableau de signes. Vous allez avoir un tableau de signes. Alors assez simple, pour le côté 2x plus 1 on sait que lui ça va changer en moins 1 demi. Vous avez 2x plus 1 qui vaut 0 en moins 1 demi. Quand x vaut genre 10, 20, 30, quand il est au-dessus de moins 1 demi, 2x plus 1 est positif. Et en dessous c'est négatif. Et ensuite on a 3x2 moins 4x plus 7. Alors je vais mettre en parenthèse qu'on va l'étudier, mais ça il faudrait trouver son signe, etc. Donc vous faites une analyse de fonction, donc on pose f2x égale 3x2 moins 4x plus 7. Et on va voir ce que ça donne. 3x2 moins 4x plus 7, son signe va dépendre du nombre de racines, de la valeur de a, ici a est positif, c'est donc une parabole qui sourit. Et on va étudier ça rapidement, donc on va calculer le delta. Et on va faire un tableau de signes un peu plus complet que juste celui d'un plus simple 2x2, parce qu'on y ajoute le 2x plus 1. Donc delta égale moins 4 au carré moins 4 fois 3 fois 7 égale 16 moins 4 fois 3 fois 7, voilà c'est 12 fois 7. Pas besoin de compter combien ça fait, c'est négatif. Donc vu que j'ai un delta qui est négatif strict, il n'y a pas de racines. Etant donné que a est positif strict, c'est une fonction qui sourit et qui est complètement positive. Et donc à ce niveau là je peux compléter mon tableau et dire que cette fonction est toujours positive quelle que soit la valeur de x. F2x, oui donc j'ai cette fraction que je vais appeler la fonction, la fraction je vais donner un petit nom, je vais l'appeler h2x la fraction qui est là-bas. Et je vais dire h2x, a pour signe, et on va faire le produit des signes des deux termes. Parce que c'est comme pour ce que vous avez déjà vu en seconde, le signe d'une fraction c'est exactement le même que le signe du produit du dénominateur et du numérateur. Et donc je vais faire le produit des signes et dire moins fois plus ça fait moins, plus fois plus ça fait plus. Petite nuance, ici je ne vais pas mettre 0 parce que c'est un 0 uniquement pour 2x plus 1 et pour la fonction h2x, cette fonction fraction la valeur moins 1,5 quand 2x plus 1 vaut 0 est interdite, donc il faut mettre une double barre, ça c'est le code qu'on utilise en fait. Double barre, et voilà c'est les deux signes en gros. Donc on a moins, donc h2x qui est négative avant moins 1,5 positive après moins 1,5. Petit exemple numéro 2, exemple B. Lui c'est assez rapide, on va regarder 25x moins 25x carré plus 1 et repérer tout de suite une identité remarquable c'est 5x moins 1 au carré. Je vais vite mais c'est ça qu'il faut repérer direct. Donc c'est moins 5x moins 1 au carré je vais appeler g2x toute cette fonction. J'ai donc g2x honnêtement c'est égal à x moins 5 je fais x moins 1 mais je mets le moins 1 en haut sur 5x moins 1 au carré. Ça va être assez simple, vu que 5x moins 1 est strictement positif enfin il est positif ou nul bon ben les valeurs problématiques ça va être 1 5ème j'ai 1 5ème qui va causer des problèmes j'ai 5 qui va être intéressant pour x moins 5 donc c'est positif partout x moins 5 est négatif avant 5 positif au delà g2x lui va être négatif, négatif, positif avec une valeur interdite au niveau de 1 5ème et un 0 ici. Voilà, très simple. Celui-là je l'ai fait un peu vite. Le principal ici c'est de ne pas se tromper, pas oublier les valeurs et de ne pas se tromper au niveau de x moins 1 le principal ici c'est de ne pas se tromper, pas oublier comme dans l'exemple précédent la valeur interdite qui est ici, 1 5ème et ensuite, une fois que vous avez repéré ce truc là c'est assez rapide. J'espère que la méthode était bien comprise posez des questions si vous en avez besoin On se retrouve la prochaine!

Ce cours traite de la résolution d'équations de bicarré avec uniquement des puissances de 2 en x² et x4. On pose un grand x, résolvons l'équation de manière basique avec le cours du polynomial de second degré et en gardant à l'esprit que x est positif. Si x n'est pas positif, il ne convient pas. Nous pouvons également repérer une racine évidente pour faciliter la résolution. Le résultat final est un ensemble de solutions qui est soit x égal à -2, soit x égal à 2, et il est important de se rappeler que x doit être positif.

Imaginez qu'on vous propose de résoudre une équation du degré 4 un peu comme celle-ci x4-3x3-5x2-7x-9x0 Ça devrait vous laisser pantois. On ne sait pas résoudre ça. En moyenne, pour une équation quelconque du degré 4, il n'y a pas de méthode typique qui marche systématiquement. C'est embêtant. Mais ce qui se passe, c'est que si on a un certain cadre d'équation où le terme en x3 et le terme en x n'existent pas, sont nuls, alors, on appelle ça une équation bicarrée, on pourra résoudre. Ce qu'on va faire, c'est que quand on a une équation de ce type-là, avec du degré 4 en effet, mais uniquement les puissances paires, 4 et 2, on peut regarder l'équation, non pas comme une équation de degré 4, mais une certaine équation de degré 2, pour la variable x². Parce qu'en fait, ici, vous remarquez qu'il y a le bloc x², et il est aussi ici en x²o². Donc ça va être la méthode. Le but pour vous, c'est que c'est un peu un exercice plus avancé, mais un exercice plus difficile, qui tombe souvent que les profs aiment bien. Je vous conseille de bien le repérer. Le repérer, c'est quand ce n'est pas écrit « équation bicarrée », c'est le nom qu'on donne à ces équations, il faut repérer vraiment cette méthode-là. On a x4-2x2-8 égale 0. Si et seulement si. J'ai envie de l'écrire un peu plus lisiblement. x²o²-2x²-8 égale 0. Donc là, si on pose, on va faire ça à chaque fois dans ce genre d'équation, soit X égale x2, on remarque que X est donc positif ou nul, par définition de X, X étant égal à un carré parfait, il est positif ou nul. On a x²-2x²-8 égale 0 à résoudre, sachant que X est positif ou nul. Et ça, comme équation, on sait faire. C'est très facile. C'est une équation du degré 2, ça se tente, vous pouvez tester plusieurs trucs. Ce qui est intéressant à essayer, c'est une racine évidente. Vous pouvez faire avec le delta, ça marchera très bien. On peut voir une petite racine évidente. Par exemple, si j'écris (-2²-2x-2-8 égale 4, plus 4, moins 8, égale 0). Je repère tout de suite la racine évidente, (-2). Et donc, si (-2 est racine), je vais appeler cette équation... (-2 est solution de cette équation, de l'étoile), par les propriétés qu'on connaît sur le fait que (-8 est égal au produit des deux racines), je peux en déduire que 4 est l'autre racine du polynôme. Avec le delta, ça marchera très bien. Je le fais un peu en accéléré, en vous mettant la méthode où on repère une racine évidente. C'est toujours bien d'essayer de les repérer. Là, ce n'est pas la plus simple. D'habitude, il faut tester 1, –1, 2. –2 serait peut-être la dernière à essayer. Mais je vous montre un exemple comme ça, où ça fonctionne. Donc, qu'est-ce qu'on a? On a deux racines possibles, ici, pour cette équation étoile. Mais on a une contrainte en plus. C'est qu'on a posé un x, c'est une écriture, mais le x n'est pas n'importe quoi, c'est x². Donc on a un x qui est positive strict. Ça veut dire que –2 ne sera pas un bon candidat. On obtient... Pourquoi ce n'est pas un bon candidat? x égale x² égale –2, ou x égale x² égale 4. Ici, on peut barrer tout de suite. Impossible. Il n'y a pas de solution à x² égale –2. On obtient donc en conclusion, à partir de ça, l'ensemble des solutions de l'équation, qui est égal à... Les solutions de x² égale –4, c'est –2 ou 2. Voilà comment on résout une équation de bicarré. Ce n'est pas trop compliqué, mais la méthode est toujours la même. Il faut repérer qu'il n'y a que des puissances de 2 en x² et x4. On pose un grand x, on résout l'équation de manière très basique avec le cours du polynomial de second degré, en gardant en tête la contrainte que x est positif. Si vous oubliez que x, grand x, est positif par définition, vous allez garder des solutions qui sont absurdes. Normalement, en écrivant petit x² égale –2, vous allez vous en rendre compte, et ça va vous rappeler qu'il faut s'en débarrasser, et qu'il ne faut pas la considérer, parce qu'il n'y a pas de solution ici. L'idée, c'est ça. Vous résolvez ce système, ça fait que vous n'avez plus qu'une seule solution. Pour peu qu'elle soit positive, alors vous trouvez des solutions pour petit x. x² égale 4, c'est soit x égale –2, soit x égale 2. C'est l'ensemble des solutions qu'on cherche. J'espère que c'était clair. Posez des questions si vous en avez besoin. À la prochaine.

Dans cet exercice mathématique, on cherche deux entiers dont la somme est 51 et le produit est 308. Pour résoudre cette équation, on utilise le polynôme de second degré en se basant sur le théorème selon lequel, dans un polynôme AX2 plus BX plus C, les racines ont une somme de -B/A et un produit de C/A. En remplaçant les valeurs données dans le polynôme, on trouve les racines uniques de l'équation en calculant le delta. On peut également utiliser une méthode arithmétique pour décomposer 308 en facteurs premiers et chercher deux nombres dont la somme est égale à 51. Le professeur encourage les étudiants à poser des questions et explique que les identités remarquables peuvent aider à effectuer des calculs mentaux plus rapidement.

Un exercice grand classique de ce qu'on peut faire avec des polynômes, tout exercice qui vous dit, trouvez deux inconnus, deux entiers ici, dont la somme fait quelque chose et le produit fait quelque chose, 51,308. On vous donne la valeur de la somme, la valeur du produit, quand vous voyez ça, il faut penser au polynôme de second degré, tout de suite. Pourquoi? Parce que vous, vous avez cette théorème qui vous dit, dans un polynôme AX2 plus BX plus C, s'il y a des racines, alors, leur somme fait moins B sur A et leur produit fait C sur A. Ce qu'on a déjà vu dans une vidéo précédente. Là, quand vous avez ça, donc soit N et P, c'est les entiers, il faut penser, vu que j'ai N plus P égale 51, N fois P égale 308, en fait, ils sont racines, c'est deux entiers, ils sont les racines de F2X égale, X carré moins la somme des racines, donc moins N plus P fois X plus N fois P. Et ça, quand vous vous remplacez, ça fait X carré moins 51X plus 3008. Et donc, quand vous avez ça, l'idée c'est de faire le delta et de résoudre le polynôme. Parce que vous savez que N et P sont les racines, donc ce sont les deux racines uniques du polynôme, on est parti sur un delta. Alors c'est un peu compliqué, ça fait 51 au carré moins 4 fois 308, soit vous avez une calculette, si vous allez vite, soit vous le faites un peu à la main. Donc là, en brouillon, 51 au carré, moi comment je fais, c'est 50 plus 1 au carré, hop, petite notité remarquable pratique, ça sert à quelque chose, donc c'est 2500 plus 1, donc A2 plus B2 plus 2 fois 50 fois 1, ça fait 2601. Donc ça, vous faites un calcul rapidement, donc 2601 moins 4 fois 308. 4 fois 308, c'est 4 fois 300, 1200, plus 4 fois 8, 32, donc moins 1232. Égal, vous enlevez 1200 à 2601, ça fait 1401 moins 32, et ça vous fait, moins 30, ça fait 1371, donc ça fait 1369. Vous connaissez votre table des carrés par cœur, là je me fous un peu de vous, ça, il se trouve que c'est 37 au carré. Il faut le savoir, ça fonctionne, c'est bien. Vous avez delta égal 37 au carré, magnifique. On trouve donc les deux solutions au polynôme F. Les racines de F sont n égales, moins B plus racine de delta, donc 51 plus 37 sur 2, et P, ce sera le second, moins B, donc 51, moins 37 sur 2. Là je vais vous faire un exemple un peu marrant, enfin marrant, un peu compliqué, parce que le delta n'est pas si simple, mais c'est pour vous montrer que le calcul mental ça se fait, notamment grâce aux identités remarquables, qui sont donc utiles dans la vraie vie, dans les exercices de maths en tout cas. Ça fait 88 sur 2, 44, et P égal, 51 moins 37, ça fait quoi, ça fait 21 moins 7, 14, 7, voilà les deux solutions. Une autre manière de faire, si vous voulez, sans passer par les polynômes, ça serait d'essayer de voir comment décomposer 308. Ça serait une méthode alternative, je ne vais peut-être pas passer trop de temps dessus, mais méthode 2, sans polynômes pour le coup, juste de l'arithmétique, c'est écrire une décomposition en facteur premier de 308. Vous écrivez 308 égal, donc ça c'est facile à diviser par 2, ça fait 154 fois 2, 154 divisé par 2 ça fait 77 fois 4. L'idée c'est de se dire, attends, là j'ai un produit de SQ, c'est de nom, quand je fais la somme, ce ne serait pas N et P, si c'est N et P, c'est-à-dire que la somme doit faire 51, comme je l'ai dit, N plus P doit faire 51. Là si je prends N et P, ça fait 156. Nul, ça ne marche pas. 77 plus 4, 81, ça ne marche pas. Mais est-ce que je ne peux pas trouver, quand j'écris la décomposition totale en facteur premier, une autre manière d'écrire 308 comme facteur de 2 nombres, mais dont la somme ferait 51? J'ai écrit 77 fois 4, je peux faire 7 fois 4, 28 fois 11, je peux aussi faire 4 fois 11, 44 fois 7. Et dire, une fois que j'ai écrit toutes ces décompositions-là, dire, ben attends, 28 plus 11, ça fait 39, ça ne marche pas, 44 fois 7, ça marche, la somme de 2 fait bien 51. C'est une manière purement arithmétique de trouver les N et P. Ça fonctionne aussi, c'est moins intéressant dans ce chapitre, parce qu'on voulait plutôt travailler sur les polynomes, mais voilà, c'est le genre de méthode. Soit vous êtes un peu à droit en arithmétique, vous essayez de faire ça un peu rapidement, le prof sera un peu déçu, parce que je pense qu'il voulait vous voir faire un petit delta, soit vous faites le polynome. J'espère que ça vous a aidé, posez des questions aussi si vous avez, et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

L'exercice de mathématiques consiste à explorer une famille d'équations de la forme x²+mx-2m=0 en fonction du paramètre m. Pour m=2, l'équation devient 0x²=0 et la solution unique est x=1/4. Si m est différent de 2, l'équation est un polynome de degré 2 et le discriminant delta est -4(m-2), qui détermine le signe de delta et donc le nombre de solutions de l'équation. Si m est plus petit que 0 ou plus grand que 10, il n'y a pas de solution réelle. Si m est égal à 0 ou 10, il y a une solution unique et si m est compris entre 0 et 10, il y a deux solutions réelles. Les solutions sont explicitement calculées pour chaque cas.

Un exercice pas facile pour aller beaucoup plus loin. Alors ça c'est un type d'exercice, j'appelle ça vers le supérieur parce que c'est le genre de de raisonnement qu'on vous fait refaire quand vous faites des maths un peu poussées. C'est un exercice qu'on appelle A paramètre. On va explorer quelque chose que vous connaissez, c'est à dire ici les fonctions x², donc vous avez x², du x, etc. Mais avec un paramètre en plus, c'est à dire une valeur réelle, m ici, qui va varier, qui va évoluer et qui va faire qu'en fait, au lieu d'étudier uniquement une équation, en fait on va être en train d'étudier un peu une famille d'équations. Parce que par exemple si je prends m égale 4 ici, 4-2 j'aurais du 2x². Donc j'aurais une fonction qui sourit. Si on me dit qu'il y a un m quelconque, je lui dis mais attendez, mais m peut être égal aussi à je sais pas, à moins 5. Donc si c'est moins 5, j'aurais du moins 5 moins 2, du moins 7x². Donc si m égale moins 5, mon équation devient ça. Ce qu'on attend de vous, c'est que vous débloquez un peu les différents cas. Donc là spontanément, quand vous voyez ça, ne vous faites pas paniquer. Il faut juste dire stop, regardons un peu ce m là, quand est-ce qu'il se passe des trucs un peu bizarres? Si m vaut ça, alors voilà ce qu'il se passe. On va faire ça plusieurs fois pour différents cas. Le premier truc qu'il faut remarquer au brouillon ici, c'est que si m égale 2, on se dit que m égale 2 est quand même particulier, parce que quand je dis m égale 2, tout ça, ça dégage, il ne reste plus de x². Donc premier truc à faire, vu qu'on nous dit discuter selon les valeurs de m, on va discuter, c'est-à-dire qu'on va dire voilà ce qui se passe pour telle valeur, et puis on va voir un peu ce qui se passe pour le reste. On commence par le truc qui saute aux yeux. D'être proactif, de regarder tout de suite s'il n'y a pas une valeur assez particulière. Ici je prends 2 parce que c'est celle qui nous fait dégager le x². J'ai appelé ça l'équation E, j'ai mis un petit nom ici. L'équation E devient 0x² égale 0. Si et seulement si, là c'est 8x, 2 fois 4 c'est 8, donc 8x égale 2. Si et seulement si, x égale 1 quart. Dans le cas où m égale 2, égale 1 quart. Solution unique. Maintenant je vais prendre m différente de 2. J'ai un peu mis de côté ce cas-là, on va regarder m différente de 2, qu'est-ce qui se passe. Si m différente de 2, j'ai un polynome du second degré. Alors si m moins 2 est positif, c'est un polynome qui sourit, si m moins 2 est négatif, c'est un polynome qui fait la tête. Mais pour l'instant je m'en fiche, moi j'ai m différente de 2, tout ce que je fais avec un polynome c'est calculer le delta. Donc moins 4 fois m moins 2, c'est 2m moins 2, donc c'est 2 fois m moins 1. Ok, donc ça je développe en utilisant une petite identité remarquable pour m plus 2 au carré. Donc le moins 2 devient 4. Moins 4 fois 2, donc 8, facteur 2, m moins 2 fois m moins 1, donc ça ça fait m carré moins 2m moins m, donc moins 3m, moins 2 fois moins 1 plus 2. Vous avez ce truc-là, maintenant on peut le simplifier, dire combien il y a de m carré là-dedans, il y a 4m carré moins 8m carré, ça fait moins 4m carré, donc j'accélère un peu les calculs, 4 fois 4, 16m ici, moins 8 fois moins 3, ça fait plus 24m, donc 16m plus 24m plus 40m, et enfin vous avez 4 fois 4, 16, moins 8 fois 2, 16. Je m'arrête là, il n'y a pas de constante. Je m'arrête pas là parce que j'ai envie de simplifier quand même, donc je peux mettre moins 4 en facteur. Là c'est parfait, parce que je suis en train de me rendre compte que j'ai un delta, qui en fait est une petite fonction de m. Selon la valeur de m, j'ai calculé en gros tous les deltas possibles. Moi je sais qu'il y aura des solutions à l'équation, que si le delta est positif. Donc je peux me dire, là je comprends, le signe de mon delta va dépendre de m. Qu'est-ce qu'on fait? On fait un tableau de signes. Pour delta, moins 4m s'annule en 0, m moins 10 s'annule en 10, en mettant mes signes. Donc moins 4m, vu que c'est moins 4m, quand m est négatif, c'est positif. Négatif, négatif, ça vaut 0 ici. m moins 10, ça vaut 0 ici. Et donc c'est négatif, négatif, positif. Le produit des deux sera négatif, nul, positif ici, nul, négatif. Et donc qu'est-ce que je peux dire? Si m est plus petit que 0, ou m plus grand que 10, delta m, strictement négatif, pas de solution. Donc là ma discussion évolue. Parce que j'avais déjà dit, si m égale 2, une solution unique. Si m différente de 2, apparemment si les différentes 2 sont plus petits que 0 ou plus grands que 10, il n'y a pas de solution. Mais si m égale 0 ou m égale 10, une solution, delta m égale 0, unique solution. m égale 0, ça donne quoi là-haut? On a moins 2x2, moins 4x, moins 2. Ça quand je divise par moins 2, ça fait x2 plus 2x, plus 1 égale 0. Bon ben la solution de ça, s ou m égale 0, c'est juste moins 1. Parce que là je reconnais x plus 1 au carré. Si m égale 10, alors là ça va un petit peu changer, 8x2, moins 24x, 18, égale 0. Je fais un facteur 2, ça fait 2 fois 4x2, moins 12x, plus 9, égale 0. Et je reconnais 2x moins 3, au carré égale 0. Je peux dire s de m égale 10, égale x égale 3 de 8. Enfin, le dernier cas, j'avais m égale 0 ou m égale 10, ça c'était le cas qui était ici. Maintenant j'ai le cas m entre 0 et 10 exactement. Cette fois-ci je n'ai pas delta m égale 0, j'ai delta m positive strict. Je vais pouvoir dire que x1 égale moins b plus racine de delta divisé par 2a, alors moins b ça fera 2 fois m plus 2. Racine de, ben c'est moins 4m, m moins 10. Donc il y a un moins ici, mais c'est pas un problème parce qu'on sait que la quantité, quand m est contre 0 et 10, m moins 10 va être négative. Donc en fait si vous voulez, vous pouvez même écrire 4m fois 10 moins m. C'est plus clair comme ça, vu que m est positif, 4m est positif, 10 moins m est positif également puisque m est plus petit que 10. Aucun problème. Le tout divisé par 2 fois m moins 2. Et x2, c'est exactement la même chose, avec un signe moins. On a donc fini notre discussion. On avait trouvé, pour m égale 2, cas trivial, on n'a pas de x carré, x carré c'est juste une fonction degré 1. Donc on trouvait 1 quart. Pour m plus grand que 10 ou plus petit que 0, pas de solution parce que le delta était complètement négatif. Pour m égale 0, unique solution. Soit moins 1 pour m égale 0, soit 3.5 pour m égale 10. Et enfin, pour m compris entre 0 et 10, on avait delta m positif et on trouvait ces deux solutions-là. J'espère que ça vous a aidé. Posez des questions si nécessaire et je vous dis à la prochaine.

Cet exercice consiste à trouver X pour minimiser la somme X-a² + X-b² + X-c² + X-d², donnée avec les constantes ABCD (nombres réels quelconques). On peut considérer ABCD comme des constantes et développer la somme pour obtenir un polynôme S du second degré. Comme le a de S est positif, il admet un minimum pour x égal à moins b sur 2a. Ainsi, la valeur de X minimale est a plus b plus c plus d sur 4, qui est une moyenne de ABCD. Il s'agit d'un exercice avancé, mais qui peut être résolu facilement en appliquant les concepts de cours.

Voici un exercice bien problématique, un exercice avancé en niveau, mais qui a beaucoup plus l'air difficile que ce qu'il est vraiment. On va voir comment décrypter tout ça. Il fait peur parce qu'on vous dit dès le début, on vous donne 4 nombres ABCD. Ça fait un peu 4 variables, on ne sait pas trop, donc c'est 4 réels. Voyons ce qu'il en est. Déterminez X de sorte que cette somme X-a² plus X-b² plus X-c² plus X-d² soit minimale. Alors en fait, on veut trouver le X, donc X c'est notre inconnu, telle que cette somme-là soit minimale. En fait, on ne doit pas vraiment chercher ABCD. On donne des nombres réels à ABCD, donc ça veut dire des nombres quelconques, on peut les considérer comme constants. C'est comme si on avait dit, tenez, voici 3, 4, 8 et racine de pi. On a ABCD, ce n'est pas vraiment un problème. Donc en fait, il faut voir au-delà du stress que ça peut engendrer. Je sais que là, quand on voit ça, on se dit, oh là là, qu'est-ce que c'est que ce truc? Mais en fait, ce sont des constantes fournies par l'énoncé qui vous dit, ben, c'est des réels quelconques, eux, ils ne vérifient pas. Par contre, débrouillez-vous pour me dire, une fois qu'on a ces réels-là, quand est-ce que x est minimal? Pour quelle valeur de x est-ce que cette chose est minimale? Donc là, pas de panique. Qu'est-ce que c'est cette somme-là? Cette somme, je vais l'appeler grand S. Grand S égale ça. Cette somme, en fait, c'est une somme de carrés. x moins a au carré, x moins b au carré, ça, c'est des carrés. Donc je peux écrire grand S. Première étape, j'y vais doucement et tranquille. Je développe chacun des carrés avec une densité remarquable bien connue. x carré moins 2ax plus a2, plus, je le mets en colonne pour qu'on voit tous les termes, x carré moins 2bx plus b2, vous avez compris, plus x2 moins 2cx plus c carré, plus x carré moins 2dx plus d carré, égale, je vais mettre tout ça ensemble, ensuite tout ça ensemble, et puis tout ça ensemble. Ça me donne quoi? 4x carré moins 2x fois a plus b plus c plus d, plus a2 plus b2 plus c2 plus d2. Voilà, vous voyez qu'il n'y a plus trop de problèmes, parce qu'en fait, c'est bizarre, mais on me demande quand est-ce que S est minimal? Pour quel x? S, en fait, c'est quoi? C'est un polynôme du second degré qui sourit. En effet, le a du S est positif. C'est un 4x2, donc en fait, S est comme ça. Ce n'est pas un S comme ça. Donc je suis content de vérifier qu'en effet, cette quantité S est un polynôme de ce type-là. Ça veut dire qu'il y a bien un minimum. S est un polynôme de degré 2. Bon, Paul, c'est pour polynôme, degré 2. Il admet un minimum. Donc il y a une valeur minimum en x égale. Et on connaît le cours, c'est moins b sur 2a. Je le fais au bruit, c'est pas ça qu'il faut mettre sur votre copie, faites gaffe, mais c'est moins b sur 2a. Moins b sur 2a, ça veut dire quoi? b, conceptuellement, c'est le truc devant le x. Parfait, égal, moins, devant le x j'ai quoi? Ben, moins 2 fois a plus b plus c plus d. Divisé par 2a, ben c'est le a, c'est le truc qu'il y a devant x², ben c'est 2 fois 4. Magnifique, moins moins ça fait plus, 2 sur 2 ça dégage, il reste a plus b plus c plus d sur 4. Regarde-ci, c'est résolu. La valeur de x pour laquelle tout ce truc-là est minimal, c'est x égale a plus b plus c plus d sur 4, qui est une moyenne de abcd. Un exercice un peu flippant quand on le voit, mais en fait quand vous respirez et que vous allez doucement, ça se résout, vous appliquez juste votre concept de cours, on trouve une solution plutôt élégante.

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