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Seconde

Dans cet exercice, nous allons apprendre à calculer le prix hors taxe d'un produit en utilisant un taux de TVA de 20%. Pour trouver le prix TTC, nous multiplions le prix hors taxe par 1,20 sur 100. Pour trouver le prix hors taxe à partir du prix TTC, nous divisons le prix TTC par 1,20. Par exemple, si le prix affiché au magasin est de 642€ TTC, le prix hors taxe est de 535€ en divisant par 1,2.

Salut! Dans cet exercice on va voir comment faire pour calculer le prix hors taxe d'un prix affiché dans un magasin. Donc on nous dit que la TVA, donc les taxes, s'élève à 20%. Donc ça veut dire que quand on a un prix hors taxe, la TVA, le prix TTC, donc c'est toutes taxes confondues, le prix TTC c'est une augmentation de 20% par rapport au prix hors taxe. Donc petit rappel sur l'augmentation. Donc pour déterminer une augmentation de x% on multiplie par 1 plus x sur 100, donc ça veut dire 1,x si x est plus petit que 100. Donc ce qu'on sait c'est que quand on a le prix hors taxe, pour trouver le prix TTC, on va multiplier par 1,20 sur 100, ça fait 1,2. Mais nous ce qu'on cherche c'est faire le raisonnement inverse. Ça veut dire qu'on a le prix TTC et on veut trouver le prix hors taxe. Bon bah si dans un sens on multiplie par 1,2, bah dans l'autre sens on va tout simplement diviser par 1,2. Donc si le prix affiché au magasin c'est 642€, bah le prix hors taxe c'est 642 divisé par 1,2 ça fait 535€.

L'exercice consiste à écrire √263250 sous la forme a√b. Pour ce faire, il faut d'abord décomposer 236250 en facteurs premiers, en partant des plus petits jusqu'à obtenir 1. On compte ensuite le nombre de fois que chaque nombre premier apparaît, ce qui donne 2^1 x 5^4 x 3^3 x 7^1. Les propriétés des racines carrées et des puissances sont ensuite rappelées, notamment la propriété disant que la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées de chaque facteur. En utilisant cette propriété et en faisant apparaître les carrés, on obtient √263250 = 75√42.

Alors dans cet exercice, on veut écrire sous la forme a√b le nombre √263250. Donc le premier réflexe à avoir quand on veut faire ça, c'est de faire la décomposition en facteur premier du nombre qui est sous la racine. Donc là, c'est ce qu'on va faire, on va diviser 236250 par des nombres premiers, alors on va aller de plus petit au plus grand, jusqu'à ce qu'on obtienne 1. Donc c'est parti, 236250, c'est divisible par 2 parce que ça se termine par un 0, donc c'est 2 x 118125. Alors là, petite alerte, ça se termine par un 5, donc on sait que c'est divisible par 5. Donc c'est 5 x 23625, pareil, ça se termine par un 5, donc on continue, ça fait 5 x 4725, encore une fois ça se termine par un 5, donc 5 x 945, toujours pareil, ça fait 5 x 189, là c'est plus divisible par 5. Donc celui qu'on avait oublié, on s'est précipité sur le 5 parce que c'était assez facile, mais celui qu'on oubliait, c'était 3, on a oublié de voir que c'était divisible par 3, donc on revient sur 3, donc 189, est-ce que c'est divisible par 3? Donc on rappelle, pour savoir si c'est divisible par 3, on fait la somme des chiffres qui composent notre nombre, si cette somme est divisible par 3, le nombre de base est divisible par 3. Donc là, on a 1 plus 8, ça fait 9, plus 9, ça fait 18, 3 x 6, 18, donc divisible par 3, et donc 189 est divisible par 3. Donc on écrit que c'est 3 x 63, alors 63, soit on connaît l'étape de multiplication, soit on refait le test, 63, 6 plus 3, ça fait 9, donc divisible par 3, donc on écrit que c'est 3 x 21. Alors 21, pareil, c'est 3 x 7, là celui-là on devrait le connaître, et 7, 7 c'est un nombre premier, donc on l'écrit comme 7 x 1, et on est retombé sur 1, donc on a terminé. Deuxième étape, c'est de compter chaque nombre premier qui apparaît, donc là il y a 2, il y a 5, il y a 3, il y a 7, on va compter combien de fois il apparaît, donc 2, il apparaît une fois, 5, il apparaît 4 fois, 3, il apparaît 3 fois, et 7, il apparaît une fois. Donc maintenant qu'on a ça, on va écrire 236 250 sous forme de sa décomposition au facteur premier, ce qui nous fait 2 x 5 puissance 4 x 3 puissance 3 x 7. Avant de continuer, on a besoin de faire des rappels de cours, donc rappels sur toutes les propriétés des racines carrées. Là on a deux propriétés qui sont très importantes, c'est que la racine carrée d'un produit, c'est égale au produit des racines carrées. Alors attention, cette propriété est vraie que si A et B sont positifs ou nuls, parce que sinon on se retrouverait avec des nombres négatifs, par exemple si on a racine carrée de moins 1 x moins 1, donc ça, ça fait racine carrée de 1, parce qu'à l'intérieur ça fait moins 1, mais ça nous ferait racine carrée de moins 1 x racine carrée de moins 1, et ça, c'est pas possible, parce que la racine carrée, on la prend que pour les nombres positifs. Donc on a cette propriété-là qu'on va utiliser, et on a cette propriété-là en fait qui est racine carrée de A au carré, alors ça va dépendre de A, si A est positif, racine carrée de A au carré, ça fait rien, par contre si A est négatif, ça change le signe. Donc par exemple, à l'oral vite fait, racine carrée de moins 3 au carré, ça nous fait 3, d'accord? En fait, racine carrée de A au carré, en réalité c'est la valeur absolue, mais on va pas s'attarder là-dessus, on va juste utiliser la première, parce qu'en fait nous on va ne manipuler que des nombres positifs, donc en fait il y a juste la première ligne qui nous intéresse. Alors attention, je vous mets en garde un truc qu'il ne faut surtout pas écrire, c'est racine carrée de A plus B égale racine carrée de A plus racine carrée de B. Ça c'est absolument faux, d'ailleurs, moi je l'ai écrit, c'est différent, mais c'est quasiment jamais le cas. Cette propriété qui marche bien, c'est valable qu'avec le produit, bon ça marche aussi avec la division, mais là on va pas s'attarder dessus parce qu'on va pas l'utiliser. Donc attention, attention à ne jamais écrire cette propriété-là. OK, donc une autre propriété dont on va avoir besoin, c'est une propriété des puissances, qui est que A puissance M plus N, c'est A puissance M fois A puissance N. Donc en fait la propriété nous dit que quand dans les puissances on a une somme, on peut séparer ça en produit et à chaque fois on met ce qu'il y avait dans la somme. Donc ça, ça va nous être très utile, parce qu'en fait la technique va être de faire apparaître des carrés, pour qu'en fait quand on est ça, on fasse sauter la racine carré, pour qu'à la fin on ait la forme qu'on souhaite. Donc on va écrire cette décomposition en facteur premier, en faisant apparaître les carrés. Donc là en fait, on voit que 5 puissance 4, c'est 5 au carré fois 5 au carré, parce qu'en fait si on utilise cette propriété, 5 au carré fois 5 au carré, ça fait 5 puissance 2 plus 2, et donc 5 puissance 4, donc en fait là on l'a fait dans l'autre sens, et donc pareil, 3 puissance 3, c'est 3 au carré fois 3, parce que 3 c'est 3 puissance 1, donc 3 au carré fois 3, ça nous fait 3 puissance 3. Et ensuite, bon bah 2 et 7, ils sont un peu tout seuls, là on va pas faire grand chose avec ça. Donc, histoire d'y voir plus clair, on va regrouper les facteurs qui sont mis au carré, on va les regrouper un peu devant, et on va remettre la racine carré. Donc là, voilà, on voit que la racine carré du nombre qui nous intéresse, c'est la racine carré du coup de tout ça. Et donc là, on va utiliser cette propriété-là pour séparer chacun des termes et voir ce que ça donne. Donc après séparation, on voit qu'on a racine carré du coup de 5 au carré, fois racine carré de 5 au carré, fois racine carré de 3 au carré, alors c'est fait pour, que ça marche bien, et fois racine carré de 2 fois 3 fois 7. Donc ceux-là, on les a laissés ensemble parce qu'on n'allait pas en faire grand chose. Donc maintenant, on va simplifier en utilisant cette propriété-là, et on est dans le cas où A est positif, parce que ce qu'il y a sous la racine, c'est 5, 5, 3. Donc ça nous donne 5 fois 5 fois 3, fois racine carré de 2 fois 3 fois 7. Donc là, on fait la calcul, on simplifie, et ça nous fait 75 racine carré de 42. Donc voilà pour l'écriture de racine carré de 236 250 sous la forme A racine carré de B.

Dans cet exercice mathématique, nous avons 4 points à partir desquels nous devons déterminer la nature du quadrilatère qu'ils forment. Pour ce faire, il est conseillé de dessiner un petit schéma pour se faire une idée et ensuite de calculer la longueur des côtés du quadrilatère. La formule des distances est utilisée pour calculer les longueurs des côtés. Une fois les longueurs des quatre côtés calculées, on peut voir que toutes les longueurs sont égales, donc il s'agit d'un losange. Pour vérifier s'il s'agit d'un carré, il faut voir s'il y a un angle droit. Nous utilisons le théorème de Pythagore pour vérifier cela sur le triangle ABC, et découvrons que le triangle n'est pas rectangle en A, donc il ne s'agit pas d'un carré. En résumé, les quatre points forment un quadrilatère qui est un losange.

Salut! Dans cet exercice, on nous donne 4 points, et le but va être de déterminer la nature du quadrilatère qu'il forme. Alors, premier réflexe, quand on nous demande ce genre de questions, c'est de faire un petit schéma sur le brouillon, pas forcément précis, pour placer les points à peu près, pour savoir à quoi s'attendre. Donc là, quand on fait ça, on a à peu près une figure qui ressemble à ça, et on pourrait avoir l'intuition que ça ressemble un peu à un parallélogramme, et peut-être même un losange. Alors pour rappel, un losange, c'est un quadrilatère qui a les 4 côtés de même longueur, et un parallélogramme, c'est un quadrilatère qui a les côtés opposés de même longueur. Dans tous les cas, on sent qu'on va être obligé de calculer un peu la longueur des côtés du quadrilatère. Donc, petit rappel pour la formule des longueurs, quand on a des points. Donc, la formule, voilà, on l'a déjà utilisée, hein, c'est √xb-xa², plus yb-ya², et encore une fois, il faut faire attention à ne pas oublier les parenthèses de la formule, et petit dernier rappel, l'ordre de ce qui est à chaque fois dans les parenthèses qui est mis au carré, n'est pas important. Ça veut dire l'ordre entre xb-xa ou yb-ya, ce n'est pas important parce que c'est mis au carré. Donc voilà, on va utiliser cette formule tout simplement pour calculer la longueur de chaque côté du quadrilatère. Donc, on commence avec AB, on applique la formule, on trouve que c'est √50, pour l'instant on ne simplifie pas la √, on va voir si on en a besoin, on fait la même chose pour AC, on trouve que ça nous fait √50, c'est plutôt bien parti, pour CD, √50, et pour TB, pareil, ça nous donne √50. Donc déjà, les quatre côtés sont de même longueur, on sait que c'est un losange. Petit truc à vérifier, histoire de ne pas passer à côté de quelque chose, on veut voir est-ce que c'est un carré, parce que, petit rappel, quand un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, c'est un losange, c'est ce qu'on disait, mais de plus, s'il a un seul angle droit, ça suffit, c'est un carré. Donc c'est ça qu'on va vérifier. Pour voir si le quadrilatère a un angle droit, on a les mesures des longueurs, on veut voir tout simplement, avec le théorème de Pythagore, si, en prenant par exemple ce triangle-là, on veut voir est-ce que c'est un triangle rectangle. Donc là, sur la figure que j'ai faite plus ou moins à main levée, ça se voit que ce n'est pas un triangle rectangle, mais on va quand même le vérifier, parce qu'un graphique, ce n'est jamais une preuve, il faut toujours vérifier avec des calculs. Donc là, on va voir ce qu'il nous manque, on a BA, on a AC, et on va calculer BC, donc on va regarder le triangle ABC, tout simplement. Donc on va calculer la longueur de BC avec la même formule, la formule des distances, ce qui nous fait √160, BC², du coup, ça nous fait 160, AB² plus AC², ça nous fait 100, et donc, la réciproque du théorème de Pythagore nous dit que le triangle ABC n'est pas rectangle en A, ce qui fait que là, on n'a pas d'angle droit à cet endroit-là, donc ce n'est pas un carré. Et étant donné que ce n'est pas un carré, mais il y a les quatre côtés de même longueur, c'est tout simplement un losange.

Dans cet exercice, nous apprenons à trouver l'équation cartésienne d'une droite connaissant un point et son vecteur directeur. L'équation cartésienne est de la forme ax + by + c = 0, et le vecteur directeur d'une droite peut être obtenu en prenant les coefficients devant x et y en ordre inverse et en les mettant dans un vecteur. Si nous avons un point sur la droite, nous pouvons utiliser ses coordonnées pour trouver la valeur de c en substituant dans l'équation cartésienne et résolvant pour c. En utilisant cette méthode, nous avons trouvé que l'équation cartésienne de la droite qui passe par le point (-2,5) et avec un vecteur directeur de (3,-7) est 7x + 3y -1 = 0.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer l'équation cartésienne d'une droite sachant qu'on sait qu'elle passe par un point et on connaît un vecteur directeur de cette droite. Alors, petit rappel, une équation cartésienne, déjà, c'est une équation de type ax plus by plus c est égale à 0, et ce qu'on sait, c'est qu'immédiatement, un vecteur directeur de D, quand on a cette équation cartésienne-là, c'est moins ba. Donc en gros, on prend le coefficient qui est devant le y, on met un moins devant, ça donne notre première coordonnée du vecteur directeur, et le coefficient qui est devant x, on le met en deuxième coordonnée de notre vecteur directeur et ça nous fait un vecteur directeur tout trouvé. Alors ça va dans les deux sens, ça veut dire que si on a l'équation cartésienne, on peut trouver très rapidement un vecteur directeur, et si on a un vecteur directeur comme ça, on peut construire l'équation cartésienne qui est associée à ce vecteur directeur. Et bien en fait c'est ce qu'on va faire, parce qu'on a un vecteur directeur, on nous le donne, c'est 3 et moins 7 ici, donc on va l'utiliser pour trouver l'équation cartésienne de la droite. Donc ça, ça va être la première étape. Ensuite, ce qu'on sait, c'est qu'on a un point qui appartient à la droite. Alors, deuxième rappel, et plutôt une méthode, si on sait qu'un point A, donc le coordonnée x, a, y, a, appartient à la droite D, on va s'en servir pour trouver la valeur du coefficient c. Parce qu'en fait, le vecteur directeur nous permet de trouver A et B, et ensuite, une fois qu'on a A et B, on remplace les coordonnées de A dans l'équation, donc ça veut dire qu'on va avoir cette égalité-là, et donc il ne restera que le coefficient c, donc le nombre c à trouver, et ce sera une résolution d'équation à une inconnue, donc c'est ce qu'on va faire. Alors c'est parti, on commence. Donc ici, l'équation de D, donc c'est ax plus by plus c est égal à 0, donc elle a pour vecteur directeur, on a dit, 3 et moins 7. Alors, donc ça, ça veut dire que notre B, ce sera moins 3, et notre A, ce sera moins 7. Alors là, en fait, ce qu'on va faire, donc on pourrait dire que B, c'est moins 3, et A, c'est moins 7, sauf que, ben, ça fait du moins et du moins, c'est pas vraiment ce qu'on va utiliser en réalité. Parce qu'en fait, là, ce qu'on va utiliser, c'est tout simplement qu'on va prendre le vecteur opposé, donc le vecteur moins 3, 7, et en fait, on va se servir de celui-ci comme vecteur directeur, parce que bien sûr, tous les vecteurs directeurs d'une droite sont collinéaires ensemble, et dans l'autre sens, si deux vecteurs sont collinéaires, et que l'un est d'un vecteur directeur d'une droite, l'autre l'est aussi. Donc là, en fait, on va utiliser le vecteur plutôt qui va être moins 3, 7, comme vecteur directeur, comme ça, en fait, notre A et notre B seront des nombres positifs, parce qu'on préfère travailler avec des nombres positifs. Donc ici, D a pour équation cartésienne, du coup, 7x plus 3y plus c est égal à 0, d'accord? Parce que ça, on a utilisé, du coup, comme je disais, le vecteur moins 3, 7, donc le 3 correspond à moins moins 3, et le 7 correspond à 7, du coup. Donc là, on a notre A, notre B, il reste à trouver C, et donc pour trouver C, on va utiliser cette méthode, donc ça veut dire, on sait que le point A de coordonnées moins de 5 appartient à la droite, donc en fait, on va remplacer x et y par les coordonnées de A, et ça va nous faire une équation, une inconnue, et l'inconnue sera C. Donc, ben c'est parti. On sait que A appartient à D, donc comme A appartient à D, on a 7xxA plus 3yA plus c est égal à 0, bon ben on remplace par les vraies coordonnées de A, qui sont moins 2 et 5, donc ensuite, on fait les calculs, donc ça nous fait moins 14 plus 15 plus c est égal à 0, donc ça nous fait 1 plus c est égal à 0, donc rapidement, C est égal à moins 1. Bon ben là, on a tout ce qu'il faut, il faut juste remettre un peu tout ça dans l'ordre, et D, donc pour l'équation cartésienne, 7x plus 3y moins 1 est égal à 0. Donc voilà comment trouver l'équation cartésienne d'une droite connaissant un vecteur directeur et un point par lequel elle passe.

Dans cet exercice, on apprend à déterminer la position relative de deux courbes en étudiant le signe de la différence f(x) - g(x). En factorisant cette expression, on peut facilement déterminer son signe à partir d'un tableau de signes. Pour cela, on détermine d'abord le signe de racine de x - 1, qui est positif pour x>1 et négatif pour x<1. Ensuite, on peut construire le tableau de signes de f(x) - g(x) et déterminer quelle courbe est au-dessus de l'autre selon le signe obtenu.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer la position relative de deux courbes. Alors pour rappel, quand on cherche à déterminer la position relative de deux courbes, en fait, ça veut dire qu'on cherche à savoir quelle courbe va être au-dessus de l'autre. Et donc la méthode pour déterminer la position relative de deux courbes de fonction, donc f et g, c'est d'étudier le signe de la différence f de x moins g de x. Si cette différence est positive, c'est la courbe de f qui sera au-dessus, et si cette différence est négative, c'est la courbe de g qui sera au-dessus. Donc voilà, on va étudier en fait le signe de f de x moins g de x. Et donc, autre méthode pour étudier le signe d'une expression, eh bien on factorise l'expression et on fait son tableau de signes, tout simplement. Donc ici, on a f de x qui vaut x et g de x qui vaut racine de x, parce qu'ici, les courbes qu'on cherche, c'est les courbes de ces expressions-là. Donc voilà, on a f de x qui vaut x, g de x qui vaut racine de x, donc en fait, on va faire f de x moins g de x, donc ça nous fait x moins racine de x. Eh bien là, l'étape d'après, c'est de factoriser. Alors, il n'y a pas de facteur commun, sauf si on fait apparaître quelque chose. Donc là, il y a une astuce qu'il va falloir savoir faire, c'est de décrire x comme racine de x fois racine de x. Donc si on écrit x comme racine de x fois racine de x, en fait, on va pouvoir factoriser, parce que x moins racine de x, ça devient racine de x fois racine de x moins racine de x, d'accord? x, je l'ai juste remplacé par ça. Et donc maintenant, on a un facteur commun qui apparaît. On a racine de x, racine de x. Donc je factorise par racine de x, et donc ça nous fait racine de x fois racine de x moins 1. Alors maintenant, on a notre expression factorisée, on va en déterminer le signe. Donc on sait que dans notre tableau de signes, on va avoir une ligne pour racine de x, ça c'est toujours positif, donc voilà, on n'aura pas grand chose à faire, et on aura une ligne pour racine de x moins 1. Alors ça, racine de x moins 1, ce n'est pas une expression affine comme on a l'habitude de voir, donc là, on va essayer de déterminer son signe avant de le mettre dans notre tableau de signes. Donc ce qu'on va faire, c'est on va déterminer le signe de racine de x moins 1. Donc on va voir quand est-ce que c'est positif. Donc on résout l'équation tout simplement, racine de x moins 1, positif, donc ça nous fait racine de x supérieur ou égal à 1, et donc racine de x supérieur ou égal à 1, c'est x supérieur ou égal à 1. D'accord? Pour passer de là à là, on applique la fonction x², qui est croissante sur les nombres positifs, donc ça ne change pas le sens de l'inégalité. Donc racine de x moins 1 et supérieur ou égal à 0, donc est positif quand x est plus grand que 1, et donc on fait la même chose pour négatif, c'est négatif du coup quand x est plus petit que 1. Bon ben on a toutes les infos, on peut maintenant faire le tableau de signes de f de x moins g de x, et donc on a les bornes de l'ensemble de définition 0 plus infini, d'accord? Parce qu'on a de la racine de x, la fonction g c'est racine de x, donc c'est forcément défini sur les nombres positifs, donc 0 plus l'infini, les bornes de mon ensemble de définition, une ligne pour racine de x qui s'annule en 0, donc là bon ben on n'a pas besoin de faire grand chose, et une ligne pour racine de x moins 1 qui s'annule en 1, et ensuite le signe, donc on a dit racine de x c'est toujours positif, donc on met plus plus, et racine de x moins 1, donc ça on l'a déterminé juste avant, donc ça va être négatif ici quand x est plus petit que 1, donc plus petit que 1 ça veut dire entre 0 et 1 on est négatif, et quand x est plus grand que 1 on est positif, donc quand x est plus grand que 1 on est positif, et ensuite la dernière ligne c'est le produit des deux, on fait la règle des signes, plus fois moins ça fait moins, et plus fois plus ça fait plus. Donc on a maintenant le signe de f2x moins g2x, et on se rappelle quand f2x moins g2x est positif c'est la courbe de f qui est au-dessus, et quand f2x moins g2x est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus. Donc on met ça en place, donc ça veut dire sur 0,1, c2 est au-dessus de c1, donc là c'est négatif, c2 c'était la courbe de g, donc vu que c'est négatif c'est la courbe de g qui est au-dessus de la courbe de f, donc c2 est au-dessus de c1, et ici c'est positif, donc la courbe de f est au-dessus de la courbe de g, donc c2 est en dessous de c1.

Pour trouver la valeur d'un angle dans un triangle rectangle lorsque deux côtés sont connus, la trigonométrie est utilisée. En utilisant le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA, les formules trigonométriques sont rappelées pour déterminer la valeur de l'angle souhaité. Dans l'exemple donné avec un triangle rectangle en C, avec AB égal à 8 et AC égal à 4, l'angle ABC est l'angle qui nous intéresse et est appelé alpha. Le côté opposé, AC, est utilisé avec l'hypoténuse, AB, pour utiliser la formule du sinus. Le sinus alpha est donc égal à AC sur AB, soit 4 sur 8, après simplification 1,5. Pour trouver la valeur de alpha, on utilise la fonction réciproque du sinus, l'arcsinus, et on tape arcsinus de 1,5 sur la calculatrice pour trouver la valeur de 30° pour l'angle ABC.

Salut! Dans cet exo, on va voir comment trouver la valeur d'un angle dans un triangle rectangle quand on connaît deux côtés. Alors déjà, le premier réflexe à avoir, quand on vous demande de déterminer la valeur d'un angle et qu'on est dans un triangle rectangle, ça doit immédiatement faire tilt dans votre tête, on va utiliser la trigonométrie. Pour rappel, les formules de trigo, on va les réécrire. Dans un triangle rectangle, puisque la trigonométrie c'est que dans un triangle rectangle, quand on considère un angle α, on a le moyen mnémotechnique suivant qui est SOH CAH TOA. Alors ce que ça veut dire c'est que le sinus c'est l'opposé sur l'hypoténuse, l'opposé sur l'hypoténuse, cosinus c'est adjacent sur l'hypoténuse, et la tangente c'est l'opposé sur l'adjacent. Alors opposé, adjacent, hypoténuse, ce que ça veut dire c'est que, en fait opposé, c'est le côté opposé à l'angle α qui nous intéresse, et adjacent, c'est le côté qui est adjacent entre l'angle α et l'angle droit. Et l'hypoténuse, c'est l'hypoténuse du triangle rectangle. Donc si on fait un schéma du triangle qui nous intéresse, on nous dit que c'est un triangle rectangle en C, avec AB qui vaut 8 et AC qui vaut 4. Donc voilà, il ressemble à peu près à ça, même si ce n'est pas précis, ce n'est pas très grave. Et l'angle qui nous intéresse, c'est l'angle ABC. Donc on va l'appeler α, histoire de respecter un peu les notations du rappel. Et donc là, ce qu'on va vouloir utiliser en fait, c'est ces côtés-là, parce que si on a besoin d'utiliser le côté BC pour notre formule, on est un peu bloqué parce qu'on ne le connaît pas. Alors on pourrait faire le théorème de Pythagore, tout ça, mais ce serait beaucoup trop long, et là, il y a beaucoup plus rapide. Donc là en fait, on veut utiliser le côté AC et le côté AB, mais pour ça, il faut essayer de savoir à quoi ça correspond. Donc tout simplement, le côté AC, c'est le côté opposé à mon angle α, parce qu'il est en face. Le côté AB, c'est l'hypoténuse. Si jamais j'avais eu besoin d'utiliser le côté BC, ce serait le côté adjacent, parce que c'est le côté qui se situe entre l'angle qui m'intéresse et l'angle droit. Donc c'est le côté adjacent à α. Là, ce n'est pas le cas, on n'a pas besoin de l'utiliser, mais je le dis au cas où. Donc là, on a besoin d'utiliser le côté opposé, l'hypoténuse, et bien le sinus est tout désigné pour ça. Donc on applique la formule, on sait que le sinus de α, ça va être l'opposé sur l'hypoténuse, donc ça veut dire AC sur AB. On remplace par les valeurs qu'on nous donne, donc ça fait 4 sur 8, donc 1,5 après simplification. Et donc maintenant, on sait que le sinus de α fait 1,5. Alors ce n'est pas fini, parce que ce qui nous intéresse, nous, c'est α. On s'en fout un peu de savoir que son sinus fait 1,5. On veut savoir combien fait α. Et bien là, en fait, la méthode, quand on sait que sinus de α fait 1,5, on va tout simplement prendre arcsinus de chaque côté de l'égalité pour trouver la valeur de α, parce que arcsinus, c'est la fonction réciproque de sinus. Ce que ça veut dire, c'est que si je fais arcsinus de sinus de α, ça me fait α, et donc je vais avoir arcsinus de 1,5 à droite, ce qui nous fait que α, c'est arcsinus de 1,5. C'est comme ça qu'on trouve la valeur des angles quand on connaît le sinus. Pareil, si on avait le cosinus, on prendrait arccosinus, si on avait la tangente, on prendrait arctangente. Ça marche exactement pareil. Et donc là, pour le coup, il ne faut pas les connaître, il faut juste savoir le taper sur la calculatrice. Donc on tape arcsinus de 1,5 sur la calculatrice, en faisant attention que c'est bien en degré et non en radian. Et donc, une fois qu'on a bien fait ça, ça nous donne 30°, et donc l'angle ABC fait 30°.

Dans cet exercice, on part d'une fonction f(x) = (x+2)² - 9, et on cherche à la décomposer en forme développée et en forme factorisée. On utilise ensuite ces formes pour calculer f(3), f(√3 - 2), résoudre f(x) = 0 et trouver les antécédents de -5 par f. Pour cela, on utilise principalement la forme canonique et la forme factorisée, et on factorise en identité remarquable. Les antécédents de -5 par f sont 0 et -4.

Salut, bienvenue dans cet exercice. Dans cet exercice, on nous donne une fonction qu'on définit par f de x égale x plus 2 au carré moins 9. Le but va être d'en donner une forme développée, une forme factorisée, afin de répondre le mieux aux questions. On a un calcul à faire, une équation à résoudre, et chercher un antécédent de moins 5 par f. Déjà, on va commencer par donner la forme développée et la forme factorisée, et après on verra quelle forme on utilise pour répondre à chaque question. Donc, la forme développée, c'est la plus simple à faire, on développe. En développant à l'aide de l'identité remarquable, x plus 2 au carré, ça nous fait x carré plus 4x plus 4 moins 9, on recopie, on simplifie un peu le 4 moins 9, ça nous fait moins 5. Donc la forme développée, c'est f de x égale x carré plus 4x moins 5. Ensuite, pour la forme factorisée, il y a généralement deux méthodes pour factoriser quelque chose. Facteur commun et identité remarquable. Là, il faut trouver un facteur commun dans x plus 2 au carré et dans 9. Il n'y en a pas, clairement, parce que les seuls facteurs de 9, c'est 3, enfin, c'est 3 tout seul, parce que c'est 3 fois 3, donc il n'y a que 3. Mais il n'apparaît pas dans x plus 2 au carré. Donc, on va se pencher sur les identités remarquables. Petit rappel d'identité remarquable, on a les trois identités remarquables, donc a plus b au carré, a moins b au carré et a moins b fois a plus b, qui sont les formes factorisées, et les formes développées sont celles-ci. Je ne vais pas les rappeler, elles sont sous les yeux. Le but va être de savoir qu'est-ce qu'on utilise, enfin, quelle forme on utilise pour après l'appliquer. Donc ici, on veut factoriser x plus 2 au carré moins 9. Donc là, il faut essayer de reconnaître une identité remarquable parmi les formes développées qui sont ici. Donc, ce qu'on observe, c'est qu'on a deux termes. Deux termes, c'est l'identité remarquable numéro 3. Parce que là, on a un, deux, trois termes. Un, deux, trois termes et un, deux termes. Donc si on peut factoriser à l'aide d'une identité remarquable, ce sera forcément la numéro 3. Donc, on utilise la numéro 3, donc on va identifier chacun de nos termes, comme a carré et b carré. Donc, on part sur la numéro 3, ça veut dire que x plus 2 au carré, ce sera notre a carré, et 9, ce sera notre b carré. Donc, pas nécessairement, si a carré, c'est x plus 2 au carré, a, c'est x plus 2, si b carré, c'est 9, b, c'est 3. Alors, on pourrait prendre b comme étant moins 3, ça ne change rien dans le résultat final, c'est juste que ça inverse la position des facteurs qu'on trouvera après. Ensuite, on applique ça. Donc, on a identifié notre a et notre b, on a juste à écrire a moins b, facteur de a plus b, et on aura la factorisation. Donc maintenant, on écrit f de x, c'est a moins b, facteur de a plus b. Donc voilà, on a écrit, il n'y a plus qu'à simplifier. x plus 2 moins 3, ça fait x moins 1. x plus 2 plus 3, ça fait x plus 5. Donc maintenant, on a la forme factorisée, tout simplement. Petit rappel pour les avoir sous les yeux, la forme canonique, on ne nous le disait pas que c'était la forme canonique, donc je le précise, mais ce qu'on nous donne dès le début, c'est la forme canonique, x plus 2 au carré moins 9, la forme développée, x carré plus 4x moins 5, et la forme factorisée, x moins 1, facteur de x plus 5. Donc voilà pour les trois formes de la fonction, maintenant on va voir en fonction de ce qu'on nous demande, qu'est-ce qu'on utilise. La première question, c'est calculer f de 3 et f de racine carré de 3 moins 2. Alors, si on veut calculer f de 3, ce qu'on va utiliser, donc là, en réalité, on pourrait un peu toutes les utiliser, mais personnellement, je préfère utiliser la forme canonique, parce que quand on utilise la forme canonique, en fait, on a juste une addition à faire, 3 plus 2, et ensuite un carré, 5 au carré, ce n'est pas très compliqué. Si on utilise cette forme-là, ça veut dire que si on remplace x par 3 là-dedans, il y aura un petit peu plus de calcul à faire, encore une fois, ça irait très vite, il y aurait un peu plus de calcul à faire, et ici, ça irait vite aussi, bon, généralement, calculez l'image d'un nombre, toutes les formes sont adaptées. Je trouve que là, la forme canonique allait assez vite, donc j'ai préféré faire le choix d'utiliser la forme canonique, on aurait pu utiliser, encore une fois, n'importe laquelle, ce serait assez rapide à faire, éventuellement la forme développée un peu plus long que les autres, mais forme canonique et forme factorisée, ce serait à peu près le même temps de calcul. Donc voilà pour f de 3, ça nous fait 16. Ensuite, il faut calculer f de racine carrée de 3, moins 2. Donc là, quand on voit ça, on oublie la forme développée, très clairement, parce que si on remplace là-dedans, ça ne va pas du tout se simplifier, on aura tendance à dire, oui, quand il y a de la racine carrée, ça va être au carré, ça simplifie, alors ça c'est vrai si on voulait calculer juste f de racine de 3, en mettant au carré, ça aurait fait juste 3. Là c'est racine de 3 moins 2, donc si on veut mettre ça au carré, on a une identité remarquable, et du coup on ne se débarrasse pas des racines carrées. Donc là, ce qu'il fallait observer pour celui-ci, c'est que le moins 2, après la racine carrée, il n'est pas choisi au hasard, le moins 2 il est choisi, parce qu'ici on a plus 2. Le fait d'avoir moins 2, plus 2, ça va compenser, en fait, et on aura justement que la racine carrée à avoir au carré, et donc ça va bien se simplifier. Donc c'est ce qu'on fait, f de racine carrée de 3 moins 2, donc racine carrée de 3 moins 2, enfin on remplace x par racine carrée de 3 moins 2 dans la parenthèse, et donc ça nous fait racine carrée de 3 moins 2 plus 2, comme je disais, ça va se simplifier, il ne va rester que racine de 3, au carré, ça nous fait 3, attention, il ne faut pas se mélanger entre 3 au carré et racine de 3 au carré, et donc ça nous fait 3 moins 9, et ça fait moins 6. Et ensuite, résoudre f de x égale 0. Donc ça, pour le coup, f de x égale 0, on passe par la forme factorisée, parce que f de x égale 0 en passant par la forme factorisée, ça nous ramène à un produit de facteur nul, produit de facteur nul, maintenant on sait faire, c'est soit le premier facteur vaut 0, soit le deuxième facteur vaut 0, soit le premier vaut 0, donc ça veut dire x est égal à 1, on résout très rapidement ces équations-là, soit x plus 5 égale 0, encore une fois on résout très rapidement, ça fait x égale moins 5. On a résolu très rapidement grâce à la forme factorisée, l'équation f de x égale 0, et pour terminer, on nous demande de déterminer les antécédents de moins 5 par f. Pour déterminer les antécédents d'un nombre par une fonction, je vais faire un petit rappel, pour trouver les antécédents de k par une fonction f, il faut résoudre l'équation f de x égale k. Ce qu'on a fait juste avant sans qu'on nous le demande, c'est de trouver les antécédents de 0 par f, qui étaient 1 et moins 5. Là, on cherche les antécédents de moins 5, donc il faut résoudre l'équation f de x égale moins 5. Pour résoudre ça, ce qu'on va utiliser c'est la forme développée, parce qu'on a moins 5 ici, encore une fois, le f de x égale moins 5, le moins 5 n'est pas là pour rien, c'est parce qu'il correspond à ça et que ça va bien se simplifier, et qu'on va se retrouver avec ça égale 0 qu'on pourra factoriser. Donc, comme je disais, les moins 5 se simplifient à gauche et à droite, à gauche il reste x carré plus 4x, à droite, il reste 0. Et donc, on a une expression avec du x égale à 0, le réflexe qu'il faut avoir, si on a juste une expression affine, ça veut dire que la plus grande puissance de x est 1, on isole le x, là il y a du x carré. Donc le réflexe à avoir c'est de factoriser, et on se ramène à un produit nul. Donc là, on factorise avec un facteur commun, parce qu'on voit que x est un facteur commun à x carré et à 4x, donc on factorise par x et on se retrouve avec x facteur de x plus 4 est égal à 0, encore une fois, équation produit nul, soit le premier est égal à 0, donc le premier c'est juste x, soit le deuxième, x plus 4 est égal à 0, donc là ça nous fait x égale moins 4. Petite phrase de conclusion. Donc les antécédents de moins 5 par f sont 0 et moins 4, et ça conclut cet exercice.

Dans cet exercice, nous avons vu comment résoudre un système d'équation en utilisant la méthode par substitution. Cette méthode consiste à isoler une variable en fonction de l'autre pour se ramener à une équation et une inconnue. Contrairement à la méthode par combinaison, qui nécessite de gros calculs pour obtenir le même nombre de variables dans chaque ligne. Nous avons résolu le système 3x-2y=9 et 7x+11y=-3, en isolant y en fonction de x dans la première ligne, puis en le remplaçant dans la deuxième. Nous avons ensuite résolu une équation à une inconnue pour trouver x, puis nous avons utilisé l'expression trouvée pour y dans la première étape pour trouver y. Au final, la solution du système est le couple (93/47, -72/47).

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment résoudre un système d'équation en utilisant la méthode par substitution. Alors, pour rappel, ce qu'il faut savoir par cœur, c'est que pour résoudre un système, on a deux méthodes. On a la méthode par substitution, donc celle qu'on va voir dans cet exercice, et la méthode par combinaison qu'on a déjà vue dans un autre exercice. Alors la méthode par substitution, c'est exprimer une variable en fonction d'une autre pour se ramener à une équation et à une inconnue. Et la méthode par combinaison, c'est faire des combinaisons linéaires entre les lignes pour supprimer une variable et encore se ramener à une équation et à une inconnue. Donc allez, c'est parti! Donc notre système, c'est 3x-2y égale 9, et 7x plus 11y est égal à moins 3. Donc, si on veut partir par combinaison, il faudrait avoir le même nombre de x dans la première et la deuxième ligne. Donc là, on voit que 3 et 7, leur PPCM, ce sera 21. Bon, ça fait faire des gros calculs. Et pareil, entre 2 et 11, ça ne se passerait pas super bien. Il faudrait multiplier par 11 et par 2, etc. Bon, voilà. On va mettre la méthode par combinaison de côté. On va s'intéresser à la méthode par substitution. Alors, quand on fait la méthode par substitution, généralement, on essaye de voir dans les deux lignes, quelle variable a le coefficient le plus petit. Et ce sera cette variable qu'on va isoler, qu'on va exprimer en fonction de l'autre. Donc là, le plus petit, c'est lui, c'est le gagnant. Donc on va isoler ce y là pour l'exprimer en fonction de x. Donc ça, on le passe de l'autre côté, ça nous fait 2y, ici. Et le 9, on le passe à gauche pour nous faire moins 9. Donc on a 3x moins 9 égale 2y. Et la deuxième ligne n'a pas bougé. Donc là, on va isoler y. Bon, on repasse à gauche, mais ça ne change rien. On a juste inversé l'égalité. Donc ça nous fait y est égal à 3x moins 9 sur 2. Bon, ce n'est pas forcément quelque chose qui nous plaît, mais on va utiliser ça à défaut d'avoir mieux. Donc là, la deuxième ligne n'a toujours pas bougé. Mais maintenant, en fait, la deuxième ligne va bouger parce qu'on va fixer la première ligne, on n'y touchera plus. Ce sera y exprimé en fonction de x. Et on va se servir de cette première ligne dans la deuxième, justement, avec cette expression qu'on a pour y. Donc là, on remplace y par ça, d'accord? Ce y là, on l'a remplacé par ça. Ce qui nous fait la deuxième ligne, 7x plus 11 fois 3x moins 9 sur 2. Au lieu de mettre y, on met 3x moins 9 sur 2. Est égal à moins 3. Donc ça, c'est ce qui est resté. Et bien, en fait, maintenant, on va se concentrer juste sur cette ligne parce qu'en fait, ça, c'est une équation à une inconnue. Alors certes, elle n'est pas très jolie, mais on peut très bien la résoudre. Une équation à une inconnue, on sait faire. Donc c'est parti, on met un petit numéro 1 pour dire qu'on va se concentrer sur cette ligne-là. Donc on va résoudre, du coup, l'équation 7x plus 33 sur 2x, d'accord? 33 sur 2, c'est 11 fois 3,5 de x. Moins 99 sur 2, donc là, c'est 11 fois 9 fois moins 9 sur 2. Donc ce qui nous fait moins 99 sur 2. Est égal à moins 3. Donc là, ce qu'on va faire, c'est qu'on va se débarrasser du dénominateur plutôt que se trimballer et mettre tout sur le même dénominateur. On va multiplier chaque côté de mon égalité par 2, ce qui va nous donner 14x plus 33x est égal à moins 6 plus 99. Alors là, j'ai fait une pierre deux coups. C'est vrai que j'ai tout multiplié par 2, donc le moins 3 est devenu moins 6. Le 7x est devenu 14x. Alors, ces deux-là, Oups! Ces deux-là, ils ont juste perdu leur dénominateur parce que c'était sur 2, donc en multipliant par 2, ça saute. Et le moins 99, on l'a passé aussi de l'autre côté en même temps. Pour aller un peu plus vite, ça nous fait plus 99. Donc là, maintenant, on regroupe les x ensemble et le terme constant qui est de l'autre côté. Donc ça nous fait 47x est égal à 93. Et donc, x est égal à 93 sur 47. Donc maintenant qu'on a trouvé x, il ne nous reste plus qu'à trouver y. Donc pour ça, on revient sur l'écriture qu'on avait de notre système. Et maintenant qu'on connaît x, on va se servir de cette égalité, en fait, pour trouver y, tout simplement. Donc, on a que y est égal à 3x moins 9 sur 2. x est égal à 93 sur 47. Bon, ben là, ça fait un calcul pas très joli, mais c'est ce calcul-là qu'il faut faire. On a tout simplement remplacé x ici par 93 sur 47. Et donc, après simplification, on trouve que y est égal à moins 72 sur 47 et x est égal à 93 sur 47. Donc, petite phrase de conclusion, le système qu'on avait au départ a pour solution le couple 93 sur 47 et moins 72 sur 47.

Dans cet exercice, on montre la transitivité de la divisibilité. Si un nombre divise un autre, mais est divisible par un autre nombre, que se passe-t-il pour les nombres des extrémités? On utilise le rappel selon lequel quand on a deux entiers A et B, A divise B s'il existe un K tel que B soit égal à K fois A. En utilisant cela, on traduit les informations données sous forme algébrique. On remplace D dans l'expression N = K x D par l'expression D = K' x D'. En substituant D par K' x D', on trouve que N est équal à K x K' x D'. On introduit un nouveau nombre positif ou négatif L, égal à K x K', montrant clairement que N est égal à L fois D', ce qui signifie, par la définition de la divisibilité, que D' divise N.

Dans cet exercice, on va montrer la transitivité de la divisibilité. Ça veut dire que si un nombre divise un autre, mais qu'il est divisible par un autre nombre, qu'en est-il des nombres des extrémités? On va voir ça. Dans cet énoncé, on nous donne deux informations. La première, on nous dit que D est un diviseur de N, et ensuite on nous dit que D' est un diviseur de D. On va essayer de traduire ça sous forme mathématique, mais pour ça, on a besoin d'un rappel de ce que ça veut dire qu'un nombre est diviseur d'un autre. On utilise le rappel suivant, qui nous dit que quand on a deux entiers A et B, dire que A divise B, ça équivaut à dire qu'il existe un K tel que B égale K fois A. On va utiliser ce rappel pour traduire l'information numéro 1 et numéro 2 qu'on nous donne sous forme algébrique. La première, on nous dit que D est un diviseur de N, donc il existe un K tel que N est égal à K fois D. La deuxième, D' est un diviseur de D. Il existe un K tel que D égale K fois D'. Alors attention, j'ai mis un prime ici parce que ce n'est pas le même cas. A priori, rien ne nous dit que c'est le même cas, qui fait que on a N égale K fois D, et qu'on aurait D égale K fois D'. Ce n'est pas le même cas. On met un petit prime, on aurait pu changer de lettre, ce qui compte c'est que ce ne soit pas le même. La suite de la méthode, ça va être de remplacer D dans cette écriture par l'expression qui est juste en dessous. Donc ça veut dire K' fois D'. Donc on écrit et on voit ce que ça donne. Donc N, c'est K fois D, d'accord? Ça c'est l'information 1 qui nous le dit. Et donc en remplaçant D par K' fois D', c'est-à-dire l'information numéro 2, on trouve que N, c'est K fois K' fois D'. Donc là, on a quasiment fini, il reste juste à mettre un peu de forme pour faire apparaître la notion de divisibilité. Donc là, K fois K', on sait que ça appartient à Z, donc ça veut dire que c'est un nombre entier, positif ou négatif. Donc on va poser L, notre nouveau nombre, qui en fait vaut K fois K'. Et donc en faisant ça, on fait clairement apparaître que N, c'est égal à L fois D'. Et donc, par la définition de la divisibilité qu'on a eue dans le rappel, vu que N, c'est égal à L fois D', alors D' divise N.

Dans cette transcription d'une vidéo, on apprend comment résoudre une équation du second degré en factorisant avec un facteur commun ou une identité remarquable. On montre comment identifier les termes a², 2ab et b² pour utiliser l'identité remarquable numéro 2. On vérifie que la factorisation obtenue est correcte et on résout l'équation obtenue en isolant x. La solution trouvée est x égale à 5 demi.

Salut! Dans cet exercice, on va résoudre une équation du second degré. Alors pour rappel, le second degré, c'est quand le x apparaît à la puissance 2. Alors en première, on aura une méthode un peu toute faite pour résoudre ce genre d'équation, mais pour l'instant, pour résoudre une équation du second degré, on va factoriser à l'aide d'un facteur commun ou d'une identité remarquable. Sauf qu'ici, quand on regarde assez rapidement, on voit que 25, ça va s'écrire comme 5 x 5, donc les potentiels facteurs communs, ce serait seulement 5, mais 5, il n'apparaît pas là, donc en fait, on ne va pas pouvoir factoriser avec un facteur commun. Donc ça, voilà, avec l'habitude, on arrive à le voir assez rapidement. Donc ici, on n'a pas de facteur commun, donc on va partir sur la piste des identités remarquables. Alors un petit rappel des trois identités remarquables, on a la première, la deuxième, la troisième, donc on les a déjà vues. Donc maintenant, ce qu'on veut faire, c'est factoriser du coup 4 x² moins 20 x plus 25, on veut factoriser ça. Donc le premier truc à regarder, c'est qu'on a trois termes. Donc on rappelle, ici on a 1, 2, 3 termes, ici on a 1, 2, 3 termes, et ici on a 1, 2 termes. Donc 3 termes, ça veut dire que c'est soit la numéro 1, soit la numéro 2 qu'on va utiliser, et la différence entre la numéro 1 et la numéro 2, c'est ici que ça se joue. Il y en a une qui a un signe plus, et l'autre qui a un signe moins. Et ici, nous, ce qu'on a, c'est un signe moins, donc le signe moins fait qu'on va utiliser la numéro 2, donc c'est parti. Maintenant, ce qu'on va faire, c'est on va identifier chacun de nos termes comme a², 2ab, et b². Donc là, il n'y a pas forcément de suspense, parce que ça, ça va être a², ça, le signe moins, c'est toujours là où il y a moins 2ab, et l'autre, c'est b². Alors attention, s'ils ne sont pas rangés dans le même ordre, a² et b², on dit qu'ils sont symétriques, parce qu'on aurait très bien pu dire que lui c'est a² et lui c'est b², à la fin, on trouverait le même résultat. Donc du coup, vu que a², c'est 4x², ça veut dire que a, c'est 2x, et vu que b², c'est 25, ça veut dire que b, c'est 5. Alors maintenant, ce n'est pas tout à fait fini, parce qu'il pourrait y avoir des pièges, des fois. Ce qu'on va vérifier, c'est que moins 2ab, avec le a et le b qu'on a ici, on va vérifier que moins 2ab, c'est bien égal à moins 20x. Donc on vérifie, moins 2ab, ça nous fait moins 2 fois 2x fois 5, et ça, ça nous fait bien moins 20x, donc c'est bon, on va pouvoir factoriser. Maintenant qu'on a trouvé comment on va factoriser, on dit que l'équation de départ à résoudre, ça revient à 2x-5² égale à 0, parce qu'on a factorisé tout simplement le 4x² moins 20x plus 25. Et donc là, un petit rappel, quand on a un nombre au carré égal à 0, c'est équivalent à dire que le nombre est égal à 0, parce qu'en fait, il n'y a que 0² qui vaut 0, donc si on a un carré égal à 0, forcément le nombre qu'on a mis au carré, c'est 0. Donc en fait, ce truc-là, ça va revenir à résoudre que 2x-5 est égal à 0, et ça, c'est une équation du premier degré, on sait faire. Donc 2x-5 est égal à 0, on passe le moins 5 de l'autre côté, ça nous fait 2x égale à 5, ensuite on divise par 2, ça nous fait x égale 5 demi. Donc on a trouvé la solution, et la solution de l'équation de départ, c'est-à-dire 4x² moins 20x plus 25 égale à 0, la seule solution, c'est x égale 5 demi.

Dans cet exercice, on apprend à trouver les coordonnées des milieux des segments et à calculer les longueurs des segments AC et BD. Pour trouver les coordonnées des milieux, on utilise la formule qui dit que si i est le milieu du segment AB, alors sa coordonnée en x est la moyenne des x de A et B, et pareil pour l'ordonnée. On applique cette formule pour trouver les coordonnées des points i et j. Pour calculer les longueurs des segments, on utilise la formule qui donne la distance entre deux points, c'est-à-dire la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. On applique cette formule pour trouver les longueurs AC et BD. Il est important de ne pas oublier les parenthèses dans la formule et de faire attention aux nombres négatifs. À la fin de l'exercice, on obtient les valeurs des longueurs AC et BD : racine carrée de 40 et racine carrée de 18, respectivement.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment faire pour trouver les coordonnées des milieux et calculer des longueurs. Pour commencer, la question 1 nous demande de calculer les coordonnées de milieux. Là, on va faire un petit rappel. C'est la formule du milieu à connaître par cœur. Si i, c'est le milieu du segment AB, l'abscisse de i, c'est la moyenne des abscisses entre A et B, et pareil pour son ordonnée. Si on reprend le contexte de l'exo, on nous dit que i, c'est le milieu de AC. En fait, on écrit, étant donné que c'est le milieu de AC, on va réadapter la formule, cette fois-ci, pas avec A et B, mais avec A et C. Donc, ça veut dire que x i, c'est x A plus x C sur 2. On remplace par les valeurs qu'on nous donne dans l'énoncé. On trouve que c'est égal à 2. On fait pareil pour y i, et on trouve que c'est égal à 0. Et donc, voilà, si on fait un petit résumé, les coordonnées du point i, ce sera 2 0. Donc, on va faire exactement pareil pour j. Donc, j, c'est le milieu de BD. Donc, on adapte la formule avec les points B et D, cette fois-ci. Donc, ça veut dire que x j, c'est x B plus x D sur 2. Donc, après calcul, ça nous fait moins 5 sur 2. Et pareil, y j, ça nous donne 1 demi. Et donc, le point j a pour coordonnées moins 5 demi, 1 demi. Donc, voilà comment on calcule assez rapidement les coordonnées d'un milieu. Donc, cette formule, il faut vraiment la connaître par cœur parce que c'est la méthode la plus rapide et la plus simple pour trouver les coordonnées du milieu. Alors ensuite, on nous demande de calculer les longueurs AC et BD. Donc, là, pareil, on va faire un rappel d'une formule qu'il faut connaître par cœur, qui est que la distance entre A et B, donc c'est racine carrée de x B moins x A au carré plus y B moins y A au carré. Et alors, je vous mets en garde parce que c'est une erreur que je vois tout le temps, ne pas oublier les parenthèses dans la formule. Là, c'est vraiment la différence entre x B et x A qui est mise au carré. L'erreur qui arrive souvent, c'est tout simplement de faire x B moins x A, d'oublier les parenthèses et de laisser un moins qui traîne. Ça, ça peut souvent amener à des racines carrées de nombre négatif. Donc vraiment, il ne faut pas oublier de mettre les parenthèses. Autre chose, étant donné qu'on met au carré x B moins x A et y B moins y A, l'ordre dans lequel vous mettez les lettres, ce n'est pas important du tout. Donc là, il faut juste penser à ce que ce soit la différence des abscisses au carré plus la différence des ordonnées au carré. L'ordre, ce n'est pas grave. Et ensuite, on prend la racine carrée de tout ça et on a la distance entre A et B. Donc, on va appliquer cette formule, tout simplement. Nous, ce qui nous intéresse, c'est la longueur AC. Donc, on va mettre cette formule en application. Ça veut dire que c'est racine carrée de x C moins x A au carré plus y C moins y A au carré. On remplace par les valeurs qu'on me donne dans l'énoncé. Donc, ça fait 3 moins 1 au carré. Et ensuite, 3 moins moins 3. Donc, ça aussi, il faut faire très attention. Quand il y a un nombre négatif, il faut bien penser à faire le moins moins, qui va devenir un plus. Et donc, on fait les calculs. Ça nous fait racine carrée de 2 au carré plus 6 au carré. Et donc, AC vaut racine carrée de 40. Alors, on verra si on a besoin de simplifier l'écriture de cette fraction. Pour l'instant, on laisse comme ça. On va voir ce qu'il en est. On calcule de même BD. Donc là, pareil, on écrit la formule en adaptant AB et D. Donc, ça veut dire xD moins xB, yD moins yB. On les met au carré, on additionne, on prend la racine. Et en remplaçant, on trouve moins 1, moins moins 4 encore une fois. Attention au double moins. Et 2 moins moins 1. Donc, pareil, attention au double moins. On met ça au carré. Et donc, après calcul, ça nous fait racine carrée de 3 au carré plus 3 au carré. Et donc, ce qui nous fait que BD est égal à racine carrée de 18. Donc voilà pour cet exemple.

Dans cet exercice, nous apprenons à déterminer le minimum d'une fonction sur R. Pour ce faire, nous devons remarquer que la forme développée de f(x) est équivalente à sa forme canonique x-4²-13. Ensuite, il faut minorer f en trouvant le plus grand k tel que f(x) est supérieur ou égal à k. Nous savons que x-4² est positif, donc f(x) est supérieur ou égal à -13. Cependant, le plus grand des minorants est le minimum de f, qui est égal à -13 et atteint pour x égal à 4.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer le minimum d'une fonction sur R. Alors pour commencer, on nous demande de remarquer que f de x, on peut l'écrire comme x-4²-13. Donc petit rappel, cette écriture-là, c'est la forme canonique. Alors là, on voit que f, c'est une forme développée. On veut montrer que c'est égal à ça. En fait, la méthode est assez simple. Il faut développer la nouvelle écriture, donc x-4²-13, et on retombera sur cette écriture-là. Si c'est la même chose, on nous demande de montrer que c'est la même chose, donc forcément, on retombera là-dessus. Donc c'est parti! x-4²-13, on fait l'identité remarquable pour développer x-4². Ça nous fait x²-8x±16, et ensuite, x-4²-13. Donc on regroupe les deux ensemble, ça nous fait x²-8x±3, et on reconnaît l'écriture de f de x. Donc clairement, f de x est bien égal à x-4²-13. Alors maintenant, on nous demande de déterminer le minimum de f sur R. La méthode pour faire ça, c'est de minorer f. Ça veut dire qu'il faut trouver le plus grand k, qui vérifie que f de x est supérieur ou égal à k. Donc là, on va raisonner avec des inégalités successives en partant de quelque chose qu'on sait. Donc là, on sait que x-4² est positif. C'est un carré, c'est positif. Donc, on veut faire apparaître f de x. Bon, bah, f de x, c'est x-4²-13, bon bah ça, c'est plus grand que –13. Et bah là, on a, du coup, que f de x est supérieur ou égal à –13. Mais ça ne veut pas forcément dire que c'est le minimum. Donc, on dit là que –13, c'est un minorant. Donc là, c'est vraiment les termes mathématiques. –13, c'est un minorant, parce que c'est quelque chose qui va être plus petit que n'importe quelle valeur de f de x. Mais nous, ce qu'on veut, c'est ce qu'on va appeler le plus grand des minorants. Donc le minimum, c'est le plus grand des minorants. C'est, en gros, le plus grand nombre qu'on peut mettre ici, qui va être plus petit que toutes les valeurs de f. Sauf que, bah, on sait que f de 4, c'est 4-4²-13, ça fait –13. Donc, étant donné que –13 est atteint, ça veut dire qu'il y a une valeur de f de x qui est égale à –13. En fait, on ne pourra pas en prendre de plus grand, parce que sinon, en 4, par exemple, on ne sera pas bon. Donc, on sait, du coup, que –13, c'est le minimum de f, et il est atteint pour x égale 4.

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