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Ce cours vidéo explique la méthode de démonstration par récurrence, souvent utilisée dans le cadre des suites. Pour comprendre cette méthode, l'exemple classique de la somme des n premiers entiers consécutifs est utilisé.

Dans cette vidéo, je vais vous introduire le principe de la méthode de démonstration par récurrence. Le premier point c'est que la méthode de démonstration par récurrence s'applique uniquement à des propriétés qui dépendent de n. C'est pour ça qu'en général on arrange cette méthode dans le chapitre des suites. J'ai vu au cours des années les étudiants souvent réussir à l'appliquer sans trop de problèmes, parce qu'en fait c'est pas trop compliqué à appliquer, mais souvent j'ai l'impression que ça leur échappe un peu la raison fondamentale de pourquoi ça marche, pourquoi est-ce que c'est valide comme méthode de démonstration. Je vais essayer de vous démontrer ça, en tout cas de vous l'expliquer avec intuition, basé sur un exemple. J'ai pris un exemple assez classique qui est la formule de la somme des n entiers consécutifs. C'est à dire 1, 2, 3, 4, jusqu'à plus n quelconque de votre choix. En fait il se trouve qu'il y a une formule compacte pour ça. La formule compacte c'est le dernier entier que vous voulez mettre dans votre somme, multiplié par le prochain n plus 1 divisé par 2. Ce qu'il faut savoir sur la démonstration par récurrence, c'est qu'elle ne va pas vous sortir de nulle part une formule. C'est plutôt une méthode qui va vous permettre de démontrer une formule dont vous avez déjà senti une intuition. C'est à dire que vous êtes capable d'écrire la formule, vous dites bon je sens que c'est ça, je sens que c'est n plus 1 sur 2 et ça a l'air de marcher, je vais essayer de démontrer que c'est vrai après. Donc en gros il faudra souvent, soit on vous dira dans les exos, démontrer cette propriété de n par récurrence, là vous n'avez pas trop creusé la tête, soit il faudra astucieusement faire des calculs de la propriété, par exemple pour n égale 0, n égale 1, n égale 2, et en voyant quelques termes se dire à coup sûr c'est ça, à coup sûr ça dépend de n de cette manière là, maintenant que j'ai l'intuition je vais le démontrer par récurrence. Donc le problème c'est que, en fait j'ai pas le temps quand je vais montrer une propriété pour tous les n, je peux pas le faire pour tous les n à la main. Je pourrais essayer avec n égale 2, ça fait 1 plus 2, est-ce que 1 plus 2 c'est bien égal à 2 fois celui d'après, 2 fois 3 divisé par 2, ça fait 2 fois 3, 6 divisé par 2, 3, ça fait bien 3, ça marche. Je pourrais réessayer pour 1 plus 2 plus 3, on voit que ça fonctionne, mais je vais pas démontrer l'ensemble parce que ben il y en a une infinité et donc j'ai pas le temps. Donc l'idée c'est, on va se demander, est-ce que ça serait pas possible de démontrer que quand j'ai la propriété qui est vraie à un certain instant, alors ça implique qu'elle soit vraie à l'instant d'après. Ça serait super, ça veut dire que si j'arrive à démontrer ça, si je montre qu'elle est vraie à l'instant 3, pour n égale 3, si vous voulez pour l'entier 3, alors ça implique que boum elle est vraie pour 4. Donc si j'ai cette espèce d'hérédité, de transmission de la propriété d'un rang à l'autre, ben en fait je peux m'arrêter là, une fois que je l'ai pour 4, 4 c'est vrai, ça va donc être vrai pour 5. Donc en fait je vais continuer comme ça, ça va être vrai pour 3, ça va impliquer pour 4, donc pour 4 ça implique pour 5, pour 5 implique pour 6, à l'infini, vous avez compris. L'idée c'est qu'en fait si j'ai cette propriété de transmission, j'ai pas à me prendre la tête à tous les faire à part, c'est bon. Le petit truc qui manque, et que des fois les élèves comprennent pas trop je crois, c'est qu'il faut en fait une pitch net. C'est un peu, on dit souvent, un effet domino la récurrence, c'est à dire que je l'ai quelque part et ça implique blop blop blop, la propriété sur tous, le meilleur bruitage de l'année, ça implique la propriété partout, mais il faut quand même qu'il y ait une pitch net initiale. C'est à dire qu'en fait si c'est jamais vrai, ça marche pas. Il faut qu'il y ait un moment, une petite pitch net, il faut que ça a été vrai par exemple à n égale 0, et que pouf ça implique pour 1, 2, 3, 4. Si c'est vrai nulle part mais que je démonte théoriquement que ça pourrait se transmettre, j'ai rien, c'est à dire que j'ai juste des dominos posés mais ils sont jamais écroulés quoi. Donc ça va être un petit peu une dénuance, et ça va être pour ça que souvent les profs vont un peu vous dire n'oublie pas l'initialisation, on va appeler initialisation la pitch net, et héréditer la transmission des dominos, il faudra surtout pas l'oublier et c'est pour cette raison là. Il faut vraiment imaginer que vous avez compris le principe de ça se transmet, mais il faut quand même transmettre quelque chose, il faut transmettre une vérité. C'est pour ça qu'on insistera beaucoup là dessus. Donc petit bilan, on aura trois points de cours, en fait deux gros points de cours principaux à connaître dans ce chapitre. Le principe général c'est donc l'initialisation et l'hérédité, savoir que c'est ça le principe général de la récurrence et savoir le rédiger proprement. On verra, il faudra s'adapter un peu à ce que veulent vos profs, mais il y aura une rédaction type à respecter sinon on perdra des points bêtes. Le deuxième point c'est un peu une note en fait, c'est l'initialisation, la première pitch net n'est pas nécessairement pour n égale 0, il ne faudra pas être stressé ou perturbé par le fait qu'on puisse commencer la pitch net à n égale 3 ou 4. Enfin le troisième point de cours c'est une inégalité classique qui s'appelle l'inégalité de Bernoulli, et il faudra savoir la démontrer et la démonstration sera par récurrence. En termes de méthode il y en aura trois également, des trucs qui tombent souvent en fait c'est un l'application aux suites, des fois vous avez des suites et si vous voulez démontrer qu'elles ont un signe constant par exemple, qu'elles sont croissantes, décroissantes, la récurrence pourrait être une bonne méthode. Le deuxième exemple très classique, la méthode un peu classique qu'il faut connaître, c'est un peu dans le domaine de ce que j'ai expliqué pour 1, 2, 3 jusqu'à n, pour démontrer une formule générale souvent les exercices de terminale vous demanderont ayez l'intuition de la formule avec quelques termes, ensuite démontrez-la par récurrence, on fera un exemple concret de ça. Et enfin petit 3 c'est plus lié à des galères que j'ai remarqué, je les élève à moi, des fois en fait la manière de montrer la transmission peut être faite, enfin il peut y avoir plusieurs manières de faire et il y a peut-être moyen que vous hésitiez un peu, il y aura de la pratique à avoir mais j'ai envie que vous ayez à peu près 2 visions, enfin une vision un peu globale de différentes manières de faire pour démontrer cette hérédité, cette transmission. Voilà c'est tout pour cette intro, à tout de suite dans la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, le professeur explique l'importance de la rédaction, de l'initialisation et des erreurs à ne pas faire lorsqu'on démontre une propriété par récurrence. Le principe général consiste à montrer que si une propriété est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier suivant. Pour cela, on utilise une initialisation et une transmission de la propriété. Il est crucial de conclure la démonstration. Dans 90% des exercices, la propriété sera vraie pour n=0, mais dans 10% des cas, elle sera vraie pour un autre entier. Le professeur donne l'exemple d'une suite définie de manière récurrente. Enfin, il montre un exemple de démonstration de propriété pour illustrer la rédaction attendue.

Pour cette première vidéo de cours sur la récurrence, j'ai envie d'insister un petit peu sur la rédaction, l'importance de l'initialisation et les erreurs à ne pas faire. Donc on va commencer le rappel de concept. On démontre une propriété par récurrence en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un entier et deuxième propriété que si elle est vraie quelque part, alors elle est vraie juste après. Si elle est vraie pour 7, elle est vraie pour 8. Si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n plus 1. La combinaison de cette pichenette initiale et de cette transmission nous donne une vérité de la propriété pour tous les entiers. C'est un peu ce que j'ai mis ici avec cet exemple de domino encore. Le principe général, donc traduit en mathématiques, c'est quand on a une propriété qu'on appelle P comme propriété de n, si on sait qu'elle est vraie quelque part, donc dans 90% des exos, c'est ça que je dis ici, dans 90% des exos, ce sera le cas, si elle est vraie pour n égale 0 et qu'ensuite on a la propriété de transmission qui est la propriété numéro 2 ici, propriété numéro 2, c'est-à-dire si c'est vrai en n, c'est vrai en n plus 1, alors pour tout entier, P de n sera vraie. Alors ça, c'est incroyable. C'est une des sources de perte de points les plus absolues que je vois tout le temps avec mes élèves. Il faut conclure. Il faut cette phrase, alors je l'ai mis en rose là, il faut absolument que vous le mettiez. Si vous ne mettez pas cette phrase de conclusion, le prof, alors selon son degré de sévérité, soit il vous mettra des points de pitié parce que vous avez bien fait le tout, il se dit quand même, ils ont tout fait, l'effort, je n'ai pas tout enlevé, soit il est juste très très strict, il dit, il n'y a pas de conclusion, ça ne vaut rien, il vous met 0 à l'exo. Ça fout les glandes, honnêtement. Donc essayez de faire gaffe. Le principe c'est, une fois que vous avez démontré l'hérédité, le fait que si on a P2N, ça implique P2N plus 1, il faut donner un peu une vision d'ensemble. Dire ok, j'ai montré la petite flamèche, la petite pigeonnette initiale, j'ai montré la transmission, concluons. Donc c'est vrai pour tout entier. On l'attend, c'est important, si vous ne le mettez pas, vous perdez les points, donc c'est comme ça. Dans cette vidéo, je voulais vous montrer surtout le fait que dans 10% des exos, donc attendez, on ne voit pas mon petit 10% là, dans 10% des exos, à peu près, mais après c'est des chiffres que je fais comme ça, c'est dans mon expérience, peut-être que c'est 12% des exercices. Dans 10% des exos, vous aurez exactement le même process, sauf que ça commence par N0. C'est-à-dire que vous aurez la propriété qui sera vraie, par exemple, pour 3 ou 4 ou 5, et non pas en 0. Et ça, il ne faut pas que ça vous fasse déjanter, genre je ne sais plus quoi faire. C'est en fait le même principe. Je vous fais un exemple, juste pour voir un exemple assez simple. Imaginez, on vous donne une suite UN, donc N plus grand régal à 2. Le premier truc qu'il faut remarquer, c'est ça. La définition même de la suite ne commence pas à 0. Ça a l'air louche, mais pourquoi pas. La définition de UN n'est pas explicite. On me donne un premier terme, puis une relation entre UN plus 1 et UN. On appelle ça une définition récurrente. Donc vous voyez pourquoi ce mot, tant à démonstration par récurrence, définition d'une suite de manière récurrente, ce mot est le même, parce qu'en fait, il y a l'idée de transmission d'un rang à l'autre. C'est pour ça qu'on retrouve un peu le même champ lexical. Donc ça, c'est un truc qu'on a vu en première. On vous dit, quel que soit N plus grand égal à 3, donc pour 2, on a ça, et pour 3 et plus, on a ça. UN plus 1 égal le terme d'avant, plus 1 sur N moins 2. Alors ça ressemble vachement à une suite arithmétique. C'est-à-dire le terme d'avant plus quelque chose. Ça serait une suite arithmétique, si on avait quelque chose de constant. Ici, c'est pas constant, ça dépend de N. Donc bon, c'est une suite bizarre, il va falloir qu'on voit ce qu'on peut faire. Je vous ai rajouté la petite erreur type. Donc on nous demande dans l'exo, montrer que, quel que soit N plus grand égal à 2, UN plus grand égal à 1. Alors j'ai pas pris la question du siècle, on va essayer de faire ça vite fait, mais c'est pour vous montrer la rédaction qu'on attend de vous. La magie du montage, je l'ai écrite à l'avance. On va avoir plusieurs étapes. On écrit soit N plus grand égal à 2, on définit la propriété P2N. P2N c'est U2N plus grand égal à 1. Très bien. Première étape, on fait l'initialisation. On écrit pour N égal 2, moi j'ai une définition qui m'a donné U2. U2 égal 1, C plus grand égal à 1. C'est bon, j'ai mon initialisation. Encore une fois, vérifiez bien que la rédaction suit ce que votre prof veut. Moi je vous fais une rédaction rapide qui prend les étapes, une par une. Je mets tout ce qu'il faut de minimal pour que ça soit bien. Mais adaptez-vous. S'il vous dit qu'il faut ce vocabulaire, ce mot-là, sinon c'est zéro, suivez-le, ne rentrez pas dans une révolution, ça ne sert à rien. Vous voulez une bonne note, un bon dossier, encore une fois, ne suivez que ce que dit le prof. Je vous fais juste un exemple rapide. Héréditez ensuite pour N plus grand égal à 3. On a déjà N égal 2 ici. Montrons que si PN est vrai, Oups, j'ai trop zoomé. Si PN est vrai, alors PN plus 1 est vrai. On a par hypothèse de récurrence. HR, encore une fois, c'est moi qui l'utilise comme petit raccourci. Si le prof ne le fait pas, attention. Il faut toujours s'adapter. UN plus grand égal à 1. Par définition, par hypothèse de récurrence, j'ai ça. Par définition, je sais que UN plus 1, c'est UN plus 1 sur N moins 2. Et donc, qu'est-ce que j'ai? UN plus grand égal à 1, je remplace ici. Le tout est plus grand que 1 plus 1 sur N moins 2. Le tout est donc plus grand que 1. Parce que 1 sur N moins 2, ça, c'est plus grand que zéro. Donc, PN plus 1 est vrai. Et là, on pourrait s'arrêter là et dire, c'est bon, c'est fini. Mais non. Petite étape numéro 3, la conclusion en rose. C'est moi qui ai mis du rose dans cette vidéo. On a donc démontré que pour N plus grand égal à 2, P de N est vrai. C'est tout. Si vous n'êtes pas sûr de quelque chose que j'ai fait, un exemple qui n'était pas très clair, ou que vous voulez une clarté supplémentaire sur un élément, n'hésitez pas à aller dans la FAQ, taper votre petit message, voir déjà s'il n'y a pas quelqu'un qui a posé la question, si quelqu'un n'y a pas déjà répondu. Et oui, on reviendra vers vous, comme d'hab. S'il y a une question qui est vachement vachement demandée, je ferai même une petite vidéo pour vous répondre. À la prochaine!

Dans ce cours, l'importance de la pitch net initiale est mise en avant, et un exemple est donné pour illustrer cela. Il est expliqué que certaines propriétés peuvent se transmettre même si elles sont fausses, comme l'exemple de P2N, qui n'est pas divisible par 3 mais qui peut être transmis d'un anti à l'autre dans une boucle. Cependant, pour trouver une initialisation pour cette propriété, il faut être complet et s'embêter à la faire à chaque fois, car il n'y aura jamais d'initialisation pour cette propriété. En somme, l'initialisation est importante et ne doit pas être négligée.

Dernière chose que je voulais vous montrer c'est un petit exemple, hop, ici, donc un exemple pour l'importance de la pitch net initiale. Si vous me dites, en fait, l'hérédité c'est le truc le plus important, l'initialisation on s'en fiche, ça prend une seconde, on peut l'oublier. Oui, c'est un peu ce que j'avais en tête à l'époque à votre âge, je me disais, ben... l'initialisation c'est gonflant, on met ça au début et on se prend un peu la tête, qu'est ce qu'on s'embête. C'est pas faux, mais en fait s'il existe, c'est l'exemple que je vais vous donner, il se trouve qu'il va exister des propriétés qui peuvent se transmettre alors qu'elles sont jamais vraies. Pour vous convaincre de ça, j'en ai trouvé une, qui est assez simple. C'est la propriété, donc ça c'est P2N. P2N ça va être ce truc là, laissez-moi le mettre droit. P2N c'est ça, c'est le fait que 2 puissance N divise par 3. Normalement vous avez saisi que 2 puissance N c'est pas divisible par 3, 2 puissance N c'est que 2 x 2 x 2 x 2, il n'y a pas de 3 là-dedans. Donc 3 ne divise clairement pas 2 puissance N. Par contre ça va être transmissible. C'est-à-dire que si on se met dans un monde, juste on prend la transmission, on ne cherche pas à voir si c'est vrai ou pas, on dit juste imaginons que c'est vrai un instant N, est-ce que c'est vrai après? On va dire si 2 puissance N est divisible Je ne sais plus écrire, divisible par 3 il existe P appartient à N tel que 2 puissance N égale 3P. Très bien. Alors 2 puissance N plus 1 égale, ça c'est 2 x 2 puissance N, je ne suis pas en train d'inventer la roue, égale, j'applique le fait que c'est vrai, j'applique le fait que 3 divise 2 puissance N et je remplace 2 x 3P égale, si j'en réorganise les termes, 3 x 2P. 3 divise 2 puissance N plus 1. Donc je vais finir la vidéo là-dessus. En gros je vous ai montré, il y a une propriété complètement fausse mais qui a cette propriété de transmission. Il y a transmission d'un anti à l'autre. Si c'est vrai pour 2 puissance N, c'est vrai pour 2 puissance N plus 1. En fait ça, ça va être vrai tout le temps, pour peu que j'ai trouvé une pitch net et une vérité initiale. Et c'est là que ça bloque. Là ça va bloquer, vous n'aurez jamais d'initialisation pour cette propriété, c'est pour ça qu'il faut bien être complet et s'embêter à faire une initialisation à chaque fois. Voilà, petite vidéo très courte pour vous montrer qu'il y a l'injonction un peu des profs de vous dire ne pas oublier de faire l'initialisation etc. Mais en fait c'est pas juste pour vous embêter, c'est parce que derrière il y a ça qui est possible. C'était une petite vidéo bonus, n'hésitez pas à me poser des questions, si vous avez des réactions etc. La FAQ en dessous est toujours disponible. Je vous dis à la prochaine!

Dans cette vidéo, l'inégalité de Bernoulli est expliquée visuellement. L'inégalité énonce que pour tout réel A positif et entier N, 1 + A^N est supérieur ou égal à 1 + NA. Cette inégalité est étudiée dans le contexte de la récurrence, car la démonstration par récurrence est simple. L'objectif de cette vidéo est de fournir une intuition graphique plutôt qu'une simple mémorisation de la formule. Les deux éléments de l'inégalité sont considérés comme des fonctions, la gauche étant une exponentielle et la droite une affine. En utilisant un graphique interactif, on peut observer la relation entre les deux fonctions pour différentes valeurs de A. On constate que l'exponentielle monte beaucoup plus rapidement que la fonction affine, ce qui explique l'inégalité de Bernoulli. Les points de la suite définie par F à partir de G sont également tracés, montrant que la suite F est toujours supérieure à la suite G pour les entiers positifs. La vidéo se termine en expliquant que la compréhension de cette inégalité de Bernoulli est essentielle pour les démonstrations et qu'elle est basée sur une intuition graphique facilement accessible.

Pour cette première vidéo, j'ai envie de vous montrer graphiquement à quoi correspond cette inégalité de Bernoulli qu'on a écrite ici et qui vous dit que pour toute A strictement positive, donc tout réel A, et pour toute antinaturel N, on a l'inégalité suivante qui est 1 plus A puissance N, plus grand ou égal que 1 plus N A. On l'étudie dans le chapitre de la récurrence parce que la démonstration de récurrence est très simple quand on utilise le principe de récurrence. L'idée c'est que je voulais vous donner une intuition graphique de cette formule qui peut être apprise par coeur, il n'y a pas de problème, mais souvent, encore une fois j'ai remarqué que mes propres étudiants, peut être un peu mal comprise ou c'est pas toujours évident de savoir un peu à quoi ça réfère. Si on analyse les deux différents éléments, il y a la partie de gauche en puissance N, la partie de droite en N fois A. Voyons les un peu comme des fonctions. Je vais remplacer un peu pour un petit temps le N par X dans ma tête et me rendre compte qu'en fait j'ai du 1 plus A. Si je fixe A, A est une constante. J'ai 1 plus A puissance X à gauche et ça me rappelle en première l'exponential, et 1 plus A fois X à droite. Ça me rappelle la troisième, les fonctions affines. Et donc l'idée, je vais me dire peut-être que ça traduit juste le fait qu'une fonction exponentielle en moyenne monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine et donc est plus grande. Et c'est exactement ça. Donc c'est juste cette idée qui est derrière cette inégalité. Je vais vous le montrer sur une petite simulation, pour un tracé. Ici je peux bouger un petit peu plusieurs paramètres. Vous voyez que j'ai introduit deux fonctions. La fonction F en bleu qui est 1 plus A puissance X et la fonction G en vert qui est 1 plus A X. Mon petit paramètre A, je peux le changer. J'ai mis des valeurs possibles entre 0 et 5, bon il n'y a pas de problème. Si vous déplacez comme ça la valeur de A, vous voyez que les fonctions évoluent. Ce sont différentes fonctions. Donc quand A vaut 2 par exemple, ma fonction G de X est 1 plus 3 X. Vous voyez qu'elle a une pente 3. Alors que ma fonction puissance sera 1 plus 2, 3 puissance X. 3 puissance X n'est pas très loin de la vraie exponentielle. E puissance X, rappelez-vous, le E c'est 2,718 quelque chose. Donc c'est 2,7 puissance X. F de X c'est un genre d'exponentiel un petit peu décalé, c'est un 3 au lieu d'un 2,7 si vous voulez. Et donc si je change un petit peu, je peux afficher différentes duos, différentes paires de fonctions F et G selon la valeur de A. C'est vrai que ça veut dire dans les lignalités de Bernoulli avoir plusieurs valeurs de A, c'est vrai pour toute A positive, ça veut dire pour toute paire de fonctions. Mais alors si on s'approche un petit peu de certaines valeurs ici, on commencera à le voir mieux pour A égal 3 par exemple. Si je viens zoomer un petit peu sur ce qui se passe, ici, plus proche, entre 0 et 1. Je suis embêté parce que moi si là je commençais à partir sur des fonctions, c'est peut-être pour me dire que la fonction F sera toujours au-dessus de la fonction verte. Et malheureusement entre 0 et 1, ça semble assez systématique. La fonction verte est au-dessus. Parce que vous savez l'exponentiale, c'est vrai qu'elle monte doucement au début, et là hop, elle se fait dépasser par la fonction affine et après elle démarre et elle ne se peut plus jamais dépasser. Est-ce que c'est un problème? Ça veut juste dire que c'est pas vrai pour toute X et qu'entre 0 et 1, ça a l'air faux de dire que F est au-dessus de G. Mais en fait nous on s'en fiche de ça ici. Nous ce qui nous intéresse c'est la suite. Donc laissez-moi vous afficher différents points. Je vais vous afficher les points de la suite définie de F à partir de G. Donc c'est assez simple, comme ça. Donc là le problème avec F c'est qu'elle est tellement intense en termes de montée, pour voir juste le troisième il faut que je décale très très fort. Mais vous avez compris l'idée. Et j'applique aussi pour la fonction affine. Donc voilà mes points. Je vais diminuer un petit peu la valeur de A pour avoir des fonctions un peu plus visibles sur l'écran. Et voilà ce que j'obtiens. J'obtiens qu'en fait, bon, assez vite, disons dès le point 2 en fait, la fonction bleue, la suite bleue, parce que maintenant les points représentent uniquement la suite. La suite bleue est au dessus de la suite verte. On avait un problème pour les réels entre 0 et 1 et on remarque en fait que, vu qu'on parle de suite, on s'en fiche de tous les réels entre 0 et 1. On peut se focus uniquement sur les entiers. Et il semble que pour ces deux entiers là, 0 et 1, les deux fonctions soient égales. Ce n'est pas très compliqué à vérifier, il suffit de revenir à l'équation qui est ici. Pour remplacer n égale 0 ça fait 1, plus grand égal à 1. Pour remplacer n plus grand égal à 1, ça fait 1. Pour remplacer n égale 0 ça fait 1, plus grand égal à 1. Pour remplacer par n égale 1, ça fait 1 plus a plus grand égal à 1. Ah, 1 plus na. Donc ça fait 1 plus a plus grand égal à 1 plus a. Donc ça c'est plutôt pratique, on comprend ce que ça veut dire. Ce n'est pas encore une démonstration, ça sera la vidéo suivante. Je voulais introduire ça histoire que ça ait un peu plus de punch pour vous, que ça ait plus de vie. En gros, ça se voit, c'est une inégalité qui est pratique, qui peut aider à faire des démonstrations, et surtout, ça se base sur une réalité de fonction que vous connaissez avec votre point d'œuvre. J'espère que ça vous a aidé à comprendre un peu mieux d'où vient cette inégalité, et n'hésitez pas toujours à poser des questions. Allez voir dans la FAQ si quelqu'un a déjà pensé des questions avant vous, et a déjà répondu. Vous pouvez aussi utiliser cette petite simulation, le lien sera partagé, vous pouvez juste cliquer, aller jouer avec, et voir si ça vous aide un peu à comprendre. Je vous dis à la prochaine!

Dans ce cours, on parle de limites de fonctions. Comparé aux limites de suites, qui portent uniquement sur les entiers, les fonctions se portent sur l'ensemble des réels, ce qui rend la tâche plus complexe. On peut parler de limites en l'infini (lorsque X tend vers l'infini), en un réel (lorsque X tend vers un réel spécifique), ou même de limite inexistante (lorsqu'il y a une oscillation infinie). On peut approcher les limites en analysant des graphes, comme celui d'une fonction qui se colle à une valeur réelle, qui tend vers l'infini, ou qui oscille très haut avant/derrière une valeur réelle. Les méthodes d'analyse comprennent une analyse graphique, le calcul de limites et la détermination d'asymptotes horizontales ou obliques. Il est important de comprendre les définitions et de savoir reconnaître les différents types de limites de fonctions.

La bonne nouvelle quand on étudie les limites de fonction c'est qu'on peut déjà s'inspirer de ce qu'on a fait sur les suites. Alors sur les suites c'était assez simple, on disait en gros quand on voit les termes d'une suite qui ont l'air de s'approcher d'une valeur et que ça se colle, ça converge. C'est une bonne intuition. L'idée c'est que pour les fonctions on aura beaucoup plus de cas. Les fonctions sont des objets plus complexes que les suites. Les suites en fait sont des fonctions mais uniquement, qui portent uniquement sur les entiers. C'est à dire qu'on a tout l'axe des réels possible au X si vous voulez et on prend uniquement 0, 1, 2 et on associe à ces chiffres là, ces nombres là, excusez moi, on associe à ces nombres là, donc les entiers, une valeur. Donc on dit on a 0, on associe du 0. On a 1, on associe du 1, etc. Les fonctions c'est beaucoup plus générique. En fait une suite c'est donc une fonction sur l'ensemble des entiers, une fonction en général se porte sur l'ensemble des réels. C'est à dire qu'il n'y a pas que 0, 1, 2 qui ont le droit à une image, il y a aussi, je sais pas, moins 3, 0,74, racine de 2, etc. C'est pour ça que ça va être beaucoup plus complexe, il y aura beaucoup plus de choses à étudier. Ça sera aussi beaucoup plus intéressant. Donc il y aura différents types de cas. On va pouvoir parler dans le cas des fonctions, il y aura un vocabulaire plus élargi quand on parle de limites. On pourra parler de limites en l'infini, ça c'est ce qu'on voyait quand n tendait vers plus l'infini par exemple. Donc là ça sera quand X tend vers l'infini, donc on aura plusieurs cas comme ça. Et aussi en un réel. Donc ces cas là correspondent aux cas où on dira par exemple limite de f de X quand X tend vers moins 3. Limite de f de X quand X tend vers, je sais pas, 7. Et ensuite on aura, plus classiquement, vers quoi est-ce qu'on a une limite. Donc soit, il y a un cas que je n'ai pas détaillé ici, mais soit il n'y a rien du tout, c'est-à-dire que ça peut osciller à l'infini, par exemple si nous disons que ça va osciller, bon, il n'y aura pas de limite. Soit on va tendre vers un réel, donc là ici il y a le cas super classique où on se rend compte que la courbe va se coller à quelque chose. Là c'est un cas un peu plus fin, qu'on verra surtout dans le chapitre de continuité où on va tendre vers quelque chose, on va juste être sur la courbe. Et ensuite on peut aussi tendre vers plus l'infini, c'est-à-dire diverger, comme les suites. Alors soit, comme d'habitude, comme ça, soit des fois se coller à une valeur et aller vers plus l'infini très très haut, mais en s'approchant d'un réel. Donc pour illustrer tout ça, j'ai des graphes un peu plus zoomées que les petits ici. Premier exemple, le plus classique, en gros on a une fonction qui va tendre vers une valeur réelle, ici 3. Donc il y a l'exemple comme ça, il y a aussi des exemples qui sont possibles en décroissant, on voit que la courbe va se coller, un peu plus oscillant comme on a vu pour les suites, qui vont ressembler plus à ça. Sur des zooms on voit que ça va aussi se coller à 3, quand x tend vers plus l'infini. Ça c'est le cas le plus classique. Quatre est classique également, quand une fonction tend vers plus l'infini, alors que x tend vers plus l'infini, c'est-à-dire le plus on va le long de l'axe ici, le plus on monte. Voilà c'est un genre d'exponential que je vous montre, très classique. Enfin, dernière petite illustration introductive, celle-là on passera un peu plus de temps dessus dans les vidéos qui viennent. Une fonction qui a l'air de tendre vers plus l'infini, genre très très très haut comme ça, ou moins l'infini derrière de l'autre côté, quand on s'approche d'une valeur réelle, c'est-à-dire une limite quand x tend vers 5. Voilà, c'est quelques exemples pour illustrer rapidement, vous avez une idée de ce qui va venir en gros. Donc dans ce chapitre on verra un peu tous ces exemples, on va détailler un petit peu, on aura des définitions formelles, sachez que ça va vous plaire, des grands A, des epsilon etc. Pas tant que ça, et on va surtout introduire la notion d'asymptote. L'asymptote c'est un peu, c'est droite, cette idée de ça se colle, on va un peu revenir dessus. Et on va essayer d'introduire tout ça avec beaucoup d'exemples graphiques bien sûr, et on verra comment les étudier, les analyser en exercice etc. En bilan final, je vous mets ici comme d'habitude le résumé de ce sous-chapitre, donc il faudra connaître sur les points de cours les définitions, tout ce qui se passe en termes de limites en plus infini, moins infini, il y aura des exemples à connaître, ce que c'est une limite réelle, ce que c'est que ces asymptotes horizontales, voire même obliques, ça sera un petit bonus. On verra ce qui se passe pour les limites qui vont genre en un réel, c'est à dire que la limite x transverse 5 par exemple, donc on aura des définitions à exemple usuel. Et ensuite quelques méthodes, donc dans les méthodes, on aura tout ce qui est analyse graphique, ça y a pas mal d'exos, notamment de QCM et tout, où il y a des analyses graphiques à faire, il faut comprendre un peu quelle va être la limite, quelle va être l'asymptote etc. On va faire des calculs de limites à propos de la fact... en utilisant par exemple la factorisation, on verra comment déterminer une asymptote, et ensuite on verra comment utiliser les définitions, un peu comme on a fait pour les suites, pour trouver une limite. On trouve un grand A par exemple pour une limite en plus infinie, ou une limite finie avec un epsilon. Voilà, c'était ma petite vidéo d'intro, n'hésitez pas à me poser des questions, à aller discuter avec les autres membres dans la FAQ, et je vous retrouve pour le début de la session.

Le cours traite de la notion de limite d'une fonction lorsque la variable x tend vers plus l'infini. Il y a deux définitions à connaître : lorsque la fonction tend vers plus l'infini et lorsque la fonction tend vers un réel L. Pour une fonction qui tend vers plus l'infini, cela signifie que pour tout plateau Y égal à un grand A choisi arbitrairement, la fonction finit toujours par dépasser complètement ce plateau. Pour une fonction qui tend vers un réel L, cela signifie que toutes les valeurs de la fonction finissent toujours par être dans un couloir, quelle que soit la largeur du couloir autour de la limite. Les définitions formelles sont ensuite données, avec des exemples graphiques pour illustrer la notion de couloir. Les définitions peuvent être utilisées pour résoudre des exercices, et il est important de les comprendre pour obtenir de bons résultats dans ce domaine.

Pour les définitions des limites pour x qui tend vers plus l'infini, on va vraiment avoir des choses très similaires aussi. Donc il y en aura deux à connaître. Soit on tend vers plus l'infini lorsque x devient plus l'infini, soit on tend vers un réel L. En fait on pourrait aussi tendre vers moins l'infini, ce sera une définition parfaitement symétrique à celle-ci, c'est pour ça que je ne vais pas m'étendre dessus. Rappelez-vous, on dit qu'une fonction tend vers plus l'infini si, quel que soit le plateau Y égal grand A que je choisis, la fonction finit toujours par dépasser complètement ce plateau. Alors ici j'ai tracé une fonction qui tend vers plus l'infini en plus l'infini, vous la reconnaissez c'est la parabole x². Ce que j'ai fait c'est que j'ai mis un petit plateau ici pour bien illustrer ce que j'explique. Donc on a un plateau, ici au niveau 4,5 genre à peu près. Si je le déplace, je me rends compte que quoi que je fasse, ou que j'aille aussi haut que j'aille avec mon plateau, pour un plateau donné, j'aurai toujours une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs de ma fonction f finissent par être au-dessus de ce plateau. Et en effet, si je regarde par exemple pour un plateau à 10 disons, je peux dire qu'il existe une valeur de x centrée ici au niveau de l'intersection, à partir de laquelle toutes les valeurs qu'on associe aux x de cet axe là, toutes les valeurs sur l'axe de x, les valeurs qu'on leur associe, c'est à dire les f2x, vont être au-dessus de ce plateau. Et en fait ça, quand c'est vrai pour tout plateau quelconque, c'est la définition de diverger vers plus infini. Si vous vous rappelez c'est vraiment la même chose qu'on avait pour les suites. Retournons un peu à la formule et voyons ce que ça donne. Comme vous voyez c'est ce que je disais, on dit que f2x tend vers plus infini quand x tend vers plus infini, et on note limite de f2x égale plus infini quand x tend vers plus infini. Donc c'était moins nécessaire de le mettre pour les suites parce que n tendait uniquement vers plus infini. Ici il faudra toujours préciser ça, le petit truc x tend vers plus infini, il faut toujours le mettre, parce que des fois x va tendre vers 3 etc. Donc il faut savoir de quoi on parle. Lorsque tout intervalle de la forme a plus infini contient un f2x pour x assez grand. Ce que ça veut dire c'est en gros ce que je vous ai montré, il faut qu'à un moment on puisse toujours trouver un réel tel que dès qu'on parle des x qui sont à presse réel, alors la fonction est au-dessus du plateau qu'on a défini de manière arbitraire. Si on peut faire ça pour tout plateau, ça veut dire qu'on peut toujours monter sans jamais se faire bloquer par aucun plateau. La définition vers un réel L, on va se rapprocher de la notion de couloir qu'on a eu pour les suites également, on va dire qu'en gros L sera une limite quand toutes les valeurs de la fonction finiront toujours par être dans un couloir, quelle que soit la largeur du couloir autour de la limite. J'illustre parce que c'est vrai que c'est toujours un peu confus comme truc, donc je vais vous le montrer avec un petit exemple graphique. Si je prends cette fonction, une fonction qui oscille et qui a l'air de converger vers ce que j'ai tracé en rouge, la limite y égale 3. Donc la définition de limite, ce qu'on va dire c'est que 3 va être une limite si, quand je trace un intervalle de taille quelconque autour de 3, il y a toujours un moment où quand j'aurai ce couloir autour de 3, il y a toujours un moment, si c'est bien la limite, il y a toujours un moment où toutes les valeurs de la fonction vont être comprises dans ce couloir. Peut-être que c'est dans longtemps, mais on va finir par y arriver. Alors si je vous trace un petit couloir comme ça, un couloir autour de la valeur 3, je prends une taille quelconque, ici j'ai pris une taille à peu près 1, un peu moins, 0.8. Donc je suis à 3.8 et à 2.2. Alors vous allez me dire, ok d'accord il est bien ton couloir, mais il y a plein de choses qui ne convergent pas vers 3 qui vont être dans ce couloir. C'est vrai. Et la définition de la limite c'est de dire que ça, ce que je viens de faire, c'est vrai, quelle que soit la taille du couloir. Ça veut dire que si c'est la limite, je peux me permettre de réduire la taille du couloir drastiquement, ma propriété va toujours être vraie. Donc là je l'ai réduit et j'ai pris un couloir de taille 0.2 à peu près. 0.2 je vois qu'à partir, peut-être, alors je vais le faire un peu plus petit encore, hop. À partir non pas de ce réel là, mais à partir du réel, je ne sais pas, si on regarde un petit peu sur l'axe des abscisses, on est à peu près entre 0 et 10 ici. À partir du réel, genre je ne sais pas, 4, il y a un moment, ici à ce croisement là, à peu près, il y a un moment où ma fonction est toujours comprise dans le couloir. Ok, très bien. Si je continue à resserrer encore, je vais dire que maintenant que c'est au, je ne sais pas, un truc du genre, j'étais à 0.18, on va prendre un truc tout petit maintenant, genre hop, 0.06 par exemple, autour de 3, donc la valeur verte du haut c'est 3.06, la valeur verte du dessous c'est 2.94, est-ce que toutes les valeurs de ma fonction bleue finissent par être dans ce couloir? Oui, il existe bien un moment, un réel, alors je pense que c'est celui-ci en l'occurrence, ce sera à peu près, si on regarde là, je ne sais pas, entre 15 et 20, il y a un moment où en effet toutes les valeurs de ma fonction sont dans le couloir. Et c'est ça l'idée de limite. Si je prends un couloir aussi petit que je veux, je peux trouver toujours un moment où toute ma fonction finit par être comprise dans ce couloir. C'est-à-dire que je peux m'approcher aussi infiniment près que je veux de 3, c'est ça une limite. Et c'est ce qui est défini dans la définition formelle. Quand vous voyez la définition formelle ici, on dit que f de x tend vers l quand x tend vers plus infini, encore une fois on parle du cas où x tend vers plus l'infini ici, et on note limite quand x tend vers plus l'infini de f de x égale l, lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient f de x pour x assez grand. C'est-à-dire qu'à un moment, autour de l, on met un intervalle, un genre de couloir, f de x va toujours être dedans. Voilà. Vous avez déjà vu ça pour les suites, je voulais bien réinsister et vous montrer un exemple avec des fonctions. Ce n'est pas trop différent, ce n'est pas trop compliqué. Il faut juste bien voir au travers de ces définitions un peu moches, avec ces couloirs, ces couleurs de taille données, ces espèces de plateaux qu'on prend, etc. Ça reste très visuel et il va falloir essayer d'utiliser ces... bien utiliser quand même ces définitions dans certains exos. C'est des points faciles à perdre et qui ne sont pas si durs à gagner. Je pense qu'il y a un bon investissement à faire ici. Alors posez des questions dans la FAQ comme d'habitude si vous avez des problèmes, des doutes, et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

Découvrez dans cette vidéo les limites de fonction lorsque x converge vers l'infini et ce qu'est une asymptote. Il y aura plusieurs types d'asymptote, mais ici nous allons nous concentrer principalement sur une asymptote horizontale, qui est en fait une droite vers laquelle la courbe de f va venir se coller.Lorsque la limite de f, lorsque x tend vers l'infini, converge vers un réel, que l'on appelle L, la courbe se colle à une droite. Il est important de noter qu'il ne s'agit pas de l'asymptote de la fonction f, mais de celle de sa courbe.Il est possible de se coller à une droite de différentes manières, à la fois croissante et décroissante. Il est également possible d'avoir une asymptote horizontale avec une fonction sinus.En résumé, une asymptote horizontale est une droite vers laquelle la courbe de F se rapproche infiniment proche. C'est une notion liée à la vision assez intuitive qu'on peut avoir de la limite.

Dans cette vidéo on va voir pour les limites de fonction lorsque x converge plus l'infini ce qu'est une asymptote. Il y aura plusieurs types d'asymptote mais ici on va se concentrer principalement sur une asymptote horizontale. Alors qu'est ce qui se passe pour une asymptote horizontale? C'est en fait une droite. Quand on dit asymptote tout de suite il faut penser à une droite. Une asymptote c'est une droite vers laquelle la courbe de f va venir se coller. Et ça, ça arrive en fait lorsque la limite de f, quand x devient très très grand, quand on parcourt tout l'axe aux x jusqu'à l'infini, lorsqu'f va converger vers un réel. On l'appelle souvent L comme limite. Et ça reprend un peu cette idée de se coller à. Alors après on peut se coller de différentes manières, je vais vous l'illustrer tout de suite mais c'est ça. Une petite erreur à éviter en tout cas, un truc qui moi m'est arrivé et je ne vous cache pas, c'est la deuxième fois que je tourne cette vidéo parce que j'ai fait l'erreur avant. Alors je vais le partager avec vous. Il faut bien dire qu'on est asymptote non pas à la fonction f mais qu'on a une asymptote à la courbe de f. Et ça c'est un coup à perdre 0.5. Sur votre copie, moins 0.5 direct. En fait il faut faire vraiment attention, vous allez me dire que c'est un chichi et tout mais bon c'est important. Vu qu'on parle d'une droite, on ne parle pas de la fonction, ce ne sont pas les mêmes objets. Donc il faut qu'on dise que la droite se colle à la courbe de la fonction. On peut dire que si on appelle la droite g2x égale 2, si vous voulez, on peut dire que les fonctions g et f s'approchent. On peut dire que l'une approche les valeurs de l'autre, à la limite. Mais là vraiment vous parlez d'une droite, il faut dire que ça approche d'une courbe. C'est une petite erreur assez simple à éviter mais qui peut vraiment vous coûter des petits points. Vu que je l'ai faite, j'en profite pour vous transmettre ce conseil. Un exemple, c'est une fonction comme ça. Je vais vous montrer d'autres exemples, là juste histoire d'illustrer un peu plus. Mais c'est l'idée, c'est vraiment le concept de limite le plus intuitif. Celui qu'on voit le plus en tout cas. Voilà donc là c'est un peu le même exemple, j'ai pris un genre de fonction 1 sur x, un genre d'hyperbole ici. Pour être précis c'est 3 moins 1 sur x ici. 3 c'est la limite qui est ici, et moins 1 sur x parce que je voulais la faire converger de ce côté là. Si vous voulez, là on a bien une asymptote, y a le 3, donc la droite y a le 3 est asymptote à la courbe de f. En effet f vient s'y coller. On peut s'y coller de manière croissante, on peut aussi s'y coller de manière décroissante. Si vous regardez, on pourrait dire qu'elle est aussi asymptote à f mais côté x tend vers moins l'infini cette fois-ci. Donc quand on va vers la bas, on voit qu'elle s'y colle. Cette fois-ci en venant s'y coller par dessus alors que là elle vient s'y coller par dessous. Un autre cas d'asymptote intéressant que je mets juste histoire de tuer dans l'oeuf toute idée préconçue qui pourrait vous amener à faire des erreurs. On peut aussi parler d'asymptote dans ce cas là. Ici j'ai un sinus, donc si je cache un peu celle-ci, hop, j'ai mon sinus écrasé comme d'hab. Si je change un peu l'échelle, le sinus va s'approcher de cette droite asymptote. On n'est pas obligé de s'y coller encore une fois de manière croissante ou décroissante, voilà un exemple de ce qui peut se passer. L'important c'est que la définition d'asymptote c'est la droite vers laquelle la courbe CF, donc la courbe de F, va se coller, celle dont elle s'approche infiniment proche si vous voulez. Voilà, c'est tout ce qu'il y avait à dire sur la notion d'asymptote horizontale. I comme vous l'avez vu est lié à cette vision assez intuitive qu'on peut avoir de la limite. N'hésitez pas à me poser des questions dans la FAQ si besoin et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, on parle de l'asymptote oblique, qui est une droite inclinée qui se rapproche de la courbe d'une fonction dans la direction de plus infini ou moins infini. Lorsque la différence entre la valeur de la fonction et la droite tend vers 0, on dit que la droite est une asymptote oblique à la courbe. Ce concept est important en mathématiques et est souvent utilisé dans les exercices. Une illustration simple est donnée pour montrer comment une courbe tend vers une droite affine en plus infini ou moins infini. L'asymptote horizontale est également une autre question importante qui sera traitée dans une autre vidéo.

Donc ça c'est le cas le plus classique, mais il va rester un cas un peu particulier qui est un cas d'exercice, mais j'ai voulu vous le mettre dans cette vidéo de cours parce qu'il arrive assez souvent et je pense que c'est important de maîtriser. On va parler d'un asymptote oblique cette fois-ci, quand l'asymptote n'est plus horizontal, mais qu'elle part avec une certaine pente. Donc pour une fonction f quelconque qu'on définit sur un ensemble de définitions, donc df en général on l'appelle, la courbe cf est représentative de la fonction et d'o non. On va dire qu'à la droite ax plus b, y à la droite d va être asymptote oblique à cf, donc on parle encore une fois de la courbe, au voisinage de plus infini, donc quand on part de ce côté là, de ce côté là de l'axe d o x, ou moins infini de ce côté là, lorsque la différence entre f2x, la valeur du réel f2x et la différence avec ax plus b, tend vers 0, à une limite qui tend vers 0. Ça, ça veut dire qu'on va se coller à la droite ax plus b. Cette fois-ci, ce n'est pas un cas où f2x va tendre vers un réel l. On comprend bien ici que f2x va plutôt tendre vers plus infini, mais il va suivre une droite qui est une droite affine. Ça, ça arrive souvent en exo, il faut être capable de le détecter, de le comprendre. Je vais vous montrer un exemple d'illustration tout bête, mais quand vous avez une fonction comme ça en vert, vous voyez bien qu'en plus infini, donc quand on part plutôt comme ça, en plus infini, elle va se coller de plus en plus à une droite rouge. Je vais l'illustrer un peu plus proche. En l'occurrence, voilà ma fonction. Je peux regarder quand je dézoome, je vois qu'apparemment quand même, dès que je m'écarte un peu, si je dézoome vraiment, quand j'oublie ce qui se passe entre genre moins 5 et 5, c'est une droite cette courbe, c'est vraiment une droite. Elle s'y colle complètement, on ne voit même plus la différence dès qu'on dézoome un petit peu. Alors si je trace la droite, hop, appropriée, en effet, j'ai bien l'impression que quand je vais vers plus infini, et en l'occurrence pour celle-ci aussi quand je vais de l'autre côté, mais ce n'est pas spécialement le cas à chaque fois, on va regarder que d'un côté donc pour cette définition, la valeur entre f2x, c'est-à-dire la valeur que je peux lire sur l'axe de y pour la courbe verte, et la valeur équivalente pour la courbe rouge se rapprochent. La différence tend vers 0, ça se rapproche de plus en plus. Voilà, donc c'était une petite vidéo pour illustrer ce concept d'asymptote oblique. La verticale, elle vient dans une vidéo qui suit. Je voulais vous montrer ce qui est intermédiaire notamment de l'asymptote oblique qui tombe très souvent en exo. N'hésitez pas à me poser des questions, voir si vous pouvez apporter une nuance, quelque chose que vous voulez partager dans la FAQ comme d'habitude, et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

Le cours aborde les limites de fonction avec x tendant vers un réel a. On distingue deux cas principaux : lorsque f tend vers plus ou moins l'infini et lorsque f converge vers une valeur finie. Les limites sont définies selon la capacité de la fonction à dépasser un plateau donné. La notion de limite à gauche et limite à droite est abordée. La définition de l'asymptote verticale est présentée pour les cas où la limite infinie est atteinte en un point fini.

Quand on parle de limite de fonction avec x qui tend vers un réel a, on va avoir deux cas. Les deux cas principaux c'est f qui finit par partir vers plus ou moins l'infini, et l'autre cas c'est f qui va converger vers une valeur finie. Je vais commencer par ce cas là, il est plus simple et aussi un peu bizarre. Donc là vous allez me dire, ouais ok, x s'approche de a, f s'approche de l, c'est juste en fait la courbe qui suit son cours normal, et on suit la courbe comme ça et voilà on arrive sur des points. Alors ça oui, c'est une notion qu'on verra qui s'appelle la continuité. Donc c'est un chapitre ultérieur. C'est vrai qu'il y a des cas très simples, par exemple, si je vous donne un exemple un peu bêbête, la limite de x plus 3 quand x tend vers 2, vous allez me dire, bah oui ok t'es gentil ça fait donc 2 plus 3 ça fait 5. Très simple, et c'est vrai que c'est très simple mais il faut faire la définition. Ça va aussi s'appliquer à des cas un peu plus vicieux ou bizarre, du genre si je prends un truc comme ça. Sin x sur x en 0, ça fait la limite de sin x en 0, sin 0, 0 sur 0, ça fait du 0 sur 0. 0 sur 0 c'est pas évident et donc déjà sin x sur x, la fonction, si je la définis comme un objet fonction, je dois dire que son ensemble de définition c'est R étoile. Je ne peux pas inclure 0, sinon je suis obligé d'écrire sin 0 sur 0 et j'écris une division par 0, crise cardiaque de tous les problématiques, c'est pas possible. Donc là j'ai un cas bizarre, et en fait il est faisable, il est possible de démontrer que cette limite vaut 1. Donc on a une limite quand même qui est finie pour un x qui s'approche d'un réel. Je vais vous montrer à quoi ça ressemble en gros sur le graphe. Comme vous savez j'adore cette fonction sin x sur x, je l'utilise pour tous mes exemples. Sur ce graphe si j'ai un petit point qui se balade par exemple, là vous voyez un peu sur la courbe, l'ogiciel n'est pas capable de me tracer ce point quand j'ai mis un point en haut qu'il y a pour abscisse x, pour ordonner f2x, f2x étant sin x sur x, le point n'est pas capable d'afficher la valeur 0 parce qu'il sait que ce point, cet abscisse 0, est interdit pour la fonction sin x sur x. Encore une fois on ne peut pas diviser par 0. Et pourtant quand je zoom, alors là on ne le verra pas sur le graphe mais c'est un peu l'idée, quand je zoom, en fait l'idée c'est que les deux parties, il y a deux parties pour cette fonction, deux branches si vous voulez, une qui part d'un côté et une qui part de l'autre de la même manière, symétrique, viennent se rapprocher de plus en plus du point 1 mais c'est comme si à chaque fois je devais exclure juste le petit point d'abscisse 0 et d'ordonner 1. Donc j'ai un peu deux branches qui viennent encadrer ce point là. Donc là c'est aussi une limite, enfin c'est un cas de limite intéressant où on a bien le x qui tend vers 0, un réel, et la fonction qui tend vers un nombre réel 1. Avant de détailler un peu plus la définition de la limite infinie, qui en gros utilise la notion de plateau, comme on a déjà vu pour les suites ou pour la limite des fonctions quand les fonctions partent en plus infini, quand x tend lui-même vers plus infini. Donc il y a cette notion de, en gros on tend vers plus infini lorsqu'on est toujours capable de dépasser n'importe quel plateau qui essaye de nous bloquer. J'ai envie de définir la petite définition suivante qui est un peu la définition de la notion de s'approcher d'un point, en gros limite à gauche, limite à droite. Donc si je veux m'approcher d'un point A, en fait j'ai deux manières de le faire, soit je viens par valeur supérieure, donc je m'approche par ici, hop hop hop hop, comme ça, et j'arrive par des valeurs au-dessus de A et je diminue, par exemple si A ça vaut 5, je vais vers 7, 6, 5, 5,5, etc. Ou par valeur inférieure, tiens je viens d'ici, je fais hop hop hop, 2, 3, 4, 4,5, et j'approche de A égale 5. Donc je peux m'approcher d'un nombre de deux côtés, par au-dessus, par en-dessous. Donc les deux phénomènes, on va appeler ça 1, la limite quand on vient de la gauche, par valeur inférieure, et 2, la limite quand on vient par la droite, par valeur supérieure. Et on va noter ces différents cas de comment atteindre la limite, donc ces différents cas de limite, comme ceci. X tend vers A avec x plus petit que A ou x plus grand que A. Donc si je reviens sur la définition en plus infini maintenant, c'est là-dessus, c'est surtout en plus infini qu'on va utiliser ces petites nuances. En fait, qu'est-ce que c'est tend vers plus infini? C'est comme d'habitude donc, on va dire F tend vers plus infini si F est indépassable, si F n'arrive pas à se faire bloquer par un plateau donné. Donc je vais vous montrer un petit peu cette notion. Voilà donc un exemple, j'ai une hyperbole ici, j'ai pris une hyperbole et je me rends compte que, bon, si j'ai un plateau en rouge sur mon plateau A, si je prends un plateau de taille quelconque, hop, laissez-moi changer un peu l'échelle ici, hop, voilà, si je prends un plateau de taille quelconque, disons A égal, je sais pas, 5 ou 7. Pour un plateau de données, est-ce que c'est vrai qu'à un moment, quand je m'approche de plus en plus de la valeur 5, donc ici je prends la valeur 5, j'ai l'impression que c'est là que ça va commencer à partir un peu en vrille, est-ce qu'en m'approchant de plus en plus de la valeur 5, donc mon x tend vers 5 en l'occurrence ici par la droite, par la gauche, excusez-moi, est-ce que ma fonction va toujours finir par dépasser ce plateau? Oui. Apparemment, quand j'arrive à 4,85, je dépasse le plateau. Vous pourriez me dire, ok, très bien, mais est-ce que ça marche pour tous les plateaux? En effet, si je prends un plateau de plus en plus grand, et là j'arrive à 40, 50, je pars très loin, est-ce que ma fonction va toujours finir par dépasser ce plateau? Si je superzoome dessus comme ça, je vois que oui. C'est ça la définition de tendre vers plus infini. Donc on avait cette même notion de être indépassable quel que soit le plateau, quand x tendait vers plus infini, partait complètement dans l'infini, dans cette direction. Là c'est la même chose, x ne fait que s'approcher, s'approcher, s'approcher, et pourtant on monte super vite et on est imbloquable. Là ça permet de définir notamment cette droite au milieu là. Comme ça on a l'impression qu'on se colle quand même à une droite verticale. Ça permet, sur le même modèle de l'asymptote horizontal, de définir la notion de droite dans laquelle on se colle, c'est-à-dire asymptote vertical. On va expliquer dans ces cas là, lorsqu'on a une limite en un point fini qui est égale à plus ou moins l'infini, on va appeler cette droite x égale 5, en l'occurrence, cette droite verticale, une asymptote. C'est la dernière définition d'asymptote du programme, donc on avait l'asymptote horizontal, quand il y a une limite finie en plus ou moins l'infini, asymptote oblique, c'est un petit bonus que je vous ai donné, et ensuite asymptote verticale, quand il y a une limite plus l'infini en un point fini. On peut écrire ça comme ça, donc petit bilan, si la limite à gauche ou et à droite de f2x quand x tend vers a est infinie, on appellera la droite x égale a une asymptote verticale. Voilà, ça c'était le petit bilan sur tout ce qu'il y avait à savoir sur les limites de fonction lorsque x tend vers un réel a. N'hésitez pas à me poser des questions, demander plus de détails si besoin, discuter avec les autres dans la FAQ. Je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Dans ce nouveau sous-chapitre sur les limites de fonctions, on va aborder des concepts pratiques. Il sera important de connaître par cœur certains tableaux de fonctions de référence, notamment la limite de 1 sur x en plus infini. On étudiera également comment combiner des limites, par exemple, si la fonction f tend vers 1 et la fonction g tend vers 2, quelle est la limite de f plus g ? Il y aura des règles générales à connaître ainsi que des cas particuliers appelés les formes indéterminées, pour lesquels il n'y aura pas de règles préétablies.

On étudiera aussi des théorèmes de convergence, similaires à ceux déjà vus pour les suites. Le théorème des gendarmes, par exemple, où deux fonctions encadrent une troisième fonction et la conduisent vers la même limite. Il y aura également le théorème de comparaison pour les limites infinies, qui permet de déterminer si une fonction est plus grande qu'une autre en se basant sur leurs limites respectives.

On abordera également la croissance comparée, en se concentrant principalement sur l'exponentiel et sa comparaison avec des polynômes. On verra aussi comment gérer les limites des fonctions composées, en décomposant les fonctions complexes en sous-blocs.

En résumé, il sera nécessaire de connaître les tableaux de référence pour les fonctions, les opérations sur les limites, les formes indéterminées, les théorèmes de comparaison, de convergence et de croissance comparée, ainsi que la méthode pour gérer les formes indéterminées. Si on maîtrise ces points, on sera prêt à aborder les problèmes de limites de fonctions.

Pour ce nouveau sous-chapitre sur les limites de fonctions, on va utiliser des choses beaucoup plus pratiques que ce qu'on a vu comme définition moche entre guillemets. Donc ici, on aura pas mal de choses à connaître, c'est-à-dire des tableaux de fonctions de référence à connaître par cœur, du genre, qu'est-ce que c'est la limite de 1 sur x en plus infini ? Il faudra savoir un peu tout ça. On va aussi avoir des tableaux genre... Vous savez, comment combiner des limites ? C'est-à-dire si j'ai une fonction f qui tend vers quelque chose, une fonction g qui tend vers quelque chose, vers quoi tend ? Quelle est la limite de f plus g par exemple ? Si f tend vers 1 et g tend vers 2, bon, f plus g, ça va tendre vers 3. Mais il y aura des cas plus compliqués par exemple. Quand f va tendre vers plus infini, g va tendre vers moins infini. On va étudier leur rapport f sur g, leur produit f pois g, et voir un peu, il y aura des règles qui pourront être appliquées à chaque fois. Parmi ces règles, il y aura des choses importantes, c'est-à-dire, il y aura des règles vraiment à connaître tout le temps, mais il y aura certains cas particuliers, il y en aura 4 en l'occurrence, qui s'appelleront les formes indéterminées, pour lesquelles il n'y aura pas de règles préconçues. Et ça sera un point assez important parce que ça va être une source de beaucoup d'exercices, beaucoup de pièges, et il faudra bien faire attention. Alors, il y aura ensuite des théorèmes de convergence, donc certains qui seront exactement comme les suites, les mêmes qu'on a déjà vus. Théorème des gens d'armes, où il y a deux fonctions qui vont venir encadrer une troisième fonction et l'emmener vers la même limite qu'elle, fini en l'occurrence. Le théorème de comparaison pour les limites infinies, quand vous avez une fonction f plus petite qu'une fonction g, si f tend vers plus infini quelque part, g également, elle l'emporte sur son passage avec elle. Ensuite, on aura des nouveautés du genre croissance comparée, donc à ce niveau-là du programme, on ne parlera que de l'exponentiel, mais ça pourrait aussi s'appliquer au logarithme, qui est la fonction inverse de l'exponentiel, qu'on verra dans un chapitre spécifique. Ce sera en gros comparer la limite de l'exponentiel par rapport à des polynômes quelconques, des x puissance n, on vous verra. La limite de composé, en fait ça c'est comment gérer de manière directe des fonctions très moches. Les fonctions très moches, je vous ai mis un petit exemple ici. Des trucs comme ça, très laids, en fait on peut les décomposer en sous-blocs, et en comprenant qu'il y a une composition de blocs, on pourra analyser la limite d'un truc comme ça. Bon là j'ai vraiment tapé un exemple extrême pour vous montrer le genre de mocheté qui fait peur quand on le voit, mais qui en fait sera gérable. En théorie en tout cas. Alors, ensuite dans le bilan, si je peux faire un petit résumé, il faut reconnaître les tableaux de référence, des fonctions de référence, du genre quelles sont les limites de racine de x, de 1 sur x, etc. Les opérations sur les limites, donc comment gérer f plus g, f plus g, f sur g, et surtout retenir dans ces tableaux quelles sont les quatre formes indéterminées pour lesquelles il n'y a pas de réponse préconçue. Encore une fois, ça sera la source d'exos et de pièges dans vos contrôles, vos bouquins, tout ce que vous voulez. Donc à bien maîtriser. Théorème, donc comparaison, gendarme, croissance comparée, limites des fonctions composées. En fait, les points de cours là, ça rappelle un peu ma slide d'avant. Donc en termes de méthode, il y aura à savoir principalement comment gérer des formes indéterminées. On va vous présenter deux grosses méthodes très pratiques pour faire ça. Donc utilisation du terme du plus haut degré, méthode de quantité conjuguée, vous verrez vous-même. Et on fera une petite application sur la croissance comparée. Voilà, en conclusion, si vous maîtrisez un peu tous ces points de cours, si vous avez bien ça clairement en tête, plus les petites méthodes qu'il y a là, vous serez prêts pour attaquer un peu toutes les limites, je pense, qu'on vous présentera. N'hésitez pas, si vous avez des questions, encore une fois, à les poser dans la FAQ, voir si quelqu'un a déjà lancé une discussion sur le même sujet que celui qui vous intéresse. Et je vous dis à la prochaine.

Dans cette vidéo, le cours aborde les notions de limites et de règles de combinaison des fonctions de référence. Il commence par évoquer la fonction 1/x, dont la limite est plus l'infini lorsque x tend vers 0 du côté positif, et moins l'infini lorsque x tend vers 0 du côté négatif. Ensuite, les limites des fonctions x^n, où n est un nombre entier positif, sont abordées. On observe que ces fonctions tendent toutes vers plus l'infini lorsque x devient très grand. Cependant, si n est impair, la fonction tend vers moins l'infini lorsque x devient très petit. Ensuite, l'exponentielle et la racine sont étudiées. L'exponentielle de x tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini, et vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini. La racine de x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, et 1/racine de x tend vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. Ces notions sont illustrées à l'aide de graphiques, facilitant leur compréhension. Il est important de retenir ces différentes limites lors de résolutions d'exercices, afin de ne pas se tromper dans les calculs. Le cours se termine en invitant les spectateurs à poser leurs questions dans la FAQ.

Dans cette vidéo, j'ai envie de faire un petit bilan de tout ce qu'il y a à connaître comme fonction de référence et leurs limites, ainsi que toutes les règles, avec les diverses formes problématiques qu'on va voir, toutes les règles de combinaison des différentes limites. Genre quand j'ai une somme de deux fonctions, est-ce que j'ai des règles sur la limite de leur somme ? Pareil pour le produit, le quotient, etc. Donc tout d'abord, on va regarder 1 sur x. Qu'est-ce qui se passe en 1 sur x ? Pour 1 sur x, la limite est en plus et moins l'infini, et ensuite en 0 plus 0 moins. Donc j'appelle 0 plus et moins le fait d'approcher 0 par valeur supérieure et inférieure. On va regarder ensuite les limites de x puissance n, et puis un petit bilan sur E2x et la racine de x. Je vais vous montrer ça avec un graphe, comme d'hab, ce sera beaucoup plus simple que de juste apprendre les formules bêtement. L'intuition de 1 sur x, c'est assez simple. 1 sur quelque chose de très gros, ça fait 0, voilà, simple. 1 sur un truc très très très petit, ça fait quelque chose de très gros. Donc c'est un peu l'idée, on va le voir en graphique. Voilà la fonction 1 sur x. Si vous regardez, qu'est-ce qui se passe quand on approche de 0 par valeur supérieure, c'est-à-dire par ici, 4, 2, jusqu'à 0,1, etc. La fonction tend vers plus infini. Donc voilà, limite de 1 sur x quand x tend vers 0, x positif. On arrive donc de ce côté, non pas du tout, de ce côté comme ça. Quand on arrive de ce côté, c'est plus infini. Quand on arrive de l'autre côté, alors on a 1 divisé par quelque chose de très très petit, genre divisé par "-0,0001", par exemple, ça fait un truc très très négatif, ça tend vers moins l'infini. En plus, c'est moins l'infini, on a bien du 0. Alors ensuite, le cas d'après, on vous dit, étudions f de x égale x puissance n, et on va vous dire, x puissance n en plus infini tend vers plus l'infini. C'est vrai, donc si je cache un peu ce qui se passe du côté moins l'infini, voici x puissance n avec n égale 1. Bon, pas de surprise, ça c'est f de x égale x. Si je prends n égale 2, vous allez reconnaître la parabole. n égale 3, une fonction cube, 4, 5, 6, 7, 8, etc. Toutes ces fonctions x puissance n tendent super vite, de plus en plus vite en l'occurrence, vers plus l'infini. Donc si x devient de plus en plus grand, la fonction monte de plus en plus. Là on dirait qu'elle est bloquée comme s'il y avait une asymptote verticale, mais non. Elle va tendre vers plus l'infini de plus en plus, sauf que c'est extrêmement rapide. J'avais caché le côté négatif, enfin le côté moins l'infini, le côté des noms négatifs, parce que justement on vous dit dans le cours, ça va dépendre du signe de n. Comprenez bien, si n vaut 2 par exemple, x au carré, c'est toujours positif. Donc en fait vous pouvez retenir, quand c'est de pair, c'est toujours positif, ça part aussi vers plus l'infini. Si n vaut 4 aussi, si n vaut 6 aussi, 8 aussi. Vous avez déjà vu ce qui se passe pour les nombres impairs, ça saute de chaque côté. Oui, parce que quand on fait un nombre impair 2 fois la multiplication de x, donc ça c'est x3 par exemple, quand je fais x fois x fois x, si c'est négatif, ça fait du négatif fois du négatif plus, fois du négatif moins. Toute multiplication d'un nombre impair au terme négatif va être négative. Et donc ça va partir vers moins l'infini, c'est l'explication. Alors la suite c'était quoi ? Oui, on a fait 1 sur x, x puissance n, il y avait ensuite quelques trucs sur l'exponentiel et la racine, donc on va regarder ça. Voilà, exponentiel de x en orange, exponentiel de moins x en vert. Exponentiel de x, vous connaissez, ça monte vers plus l'infini en plus l'infini, ça s'écrase en 0 en 0. Exponentiel moins x, c'est le contraire, elle est complètement symétrique. Exponentiel moins x, c'est en vert, 0 en plus l'infini, exponentiel moins x c'est en vert. Euh, alors excusez-moi, exponentiel moins x c'est en vert, plus l'infini en moins l'infini, parce que ça fait exponentiel de moins, moins l'infini, ça fait plus l'infini si vous voulez. Ça il faut bien le retenir par coeur dans les exos, ils vont essayer de vous avoir en mettant des trucs, des fois ça sera un signe moins, il ne faudra pas oublier, enfin, il ne faut pas essayer de vous emmêler les pinceaux, bien vous rappeler est-ce que je suis en train de faire, quel est le signe de ce qui est dans l'exponentiel, et quelle est la limite qu'on me demande. Combinez bien les deux et ne vous embrouillez pas, ça devrait aller. La deuxième chose que je devais vous montrer c'est la racine, donc racine de x, c'est comme ça. Bon ben racine de x, vous pouvez regarder, qu'est-ce qui se passe quand ça tend vers 0 ? Ben ça fait racine de 0, ça fait 0, pas de limite spécialement, bizarre. En plus l'infini, ça tend vers plus l'infini. 1 sur racine de x, ensuite, ça c'est un petit peu différent, c'est comme ça, donc c'est différent de racine de x. 1 sur racine de x, c'est comme 1 sur x, c'est-à-dire que quand x devient très très grand, ça finit quand même, même si c'est lent, par faire 1 sur quelque chose de très gros. Donc 1 sur énorme truc, ça fait quand même 0, c'est pour ça qu'en plus l'infini, ça tend vers 0. Et en 0, c'est aussi un peu comme 1 sur x. Ben ouais, c'est 1 sur un truc très très très petit, ça fait quelque chose de très grand. Voilà pourquoi ça a cette tête-là. C'est pas trop dur, rappelez-vous, je pense, faites-vous des fiches avec les dessins, c'est pas trop compliqué de retenir le tableau quand vous avez le dessin en tête. Voilà, c'était un petit bilan graphique pour ces différentes fonctions, j'imagine que vous avez peut-être déjà une idée, une intuition dessus, là au moins, je pense que c'est bien illustré. Retenez bien les différents cas, retenez bien surtout ceux-là, parce qu'il y a des trucs un peu vicieux qui peuvent arriver en exo. Si vous avez des questions en plus, n'hésitez pas dans la FAQ, et je vous dis à la prochaine.

Ce cours aborde les limites de Fonctions. Lorsque deux fonctions, f et g, tendent vers les limites L et L', le produit de ces limites est L*L'. Si L est fini alors que la limite de g est soit +infini ou -infini, la limite de la multiplication est soit +infini ou -infini selon le signe de L. Pour les formes indéterminées, il n'y a pas de règle qui s'applique tout le temps. Les deux formes indéterminées à retenir sont 0 fois l'infini et plus l'infini plus moins l'infini. Les fonctions peuvent être combinées en quotient, f/g, et si les deux fonctions tendent vers des limites L et L', la limite du quotient est L/L'. Lorsque le quotient est 0 sur 0, toutes les réponses sont possibles. Lorsque le quotient est plus l'infini sur plus l'infini, toutes les réponses sont possibles également.

Prochaine étape, voir les tableaux de limite. Limite d'une somme et d'un produit. Bon, plein de cas très simples. En gros là j'ai pas trop envie de passer des heures non plus. Quand vous avez f et g qui tendent chacun vers une limite L et L', c'est très simple, ça fait L'L'. Ensuite quand vous avez L d'un côté, une limite finie avec plus ou moins l'infini, c'est toujours l'infini qui va l'emporter. Et ensuite pour le produit ça va être l'infini selon ensuite le signe de L. Si L est positive, ça va s'inverser, si L est négative, ça va inverser. Là il faut être un peu logique, quand vous avez plus et plus ça fait plus, plus et moins ça fait moins, moins et moins ça fait plus. Ce qui est vachement important de retenir, c'est que vous avez tous ces exemples qui font du sens. Donc plus l'infini, plus l'infini, ça fait plus l'infini. Plus l'infini, moins l'infini, ça fait moins l'infini. Il y a des règles de signes qui s'expriment. Mais il y a deux cas, où il y a écrit F i ici et F i ici, ce sont les deux cas formes indéterminées. C'est les cas où on peut pas vraiment savoir ce qui se passe. C'est le cas de la multiplication 0 fois l'infini et le cas pour l'addition de plus l'infini plus moins l'infini. Qu'est-ce que ça veut dire forme indéterminée? On l'a déjà vu dans les suites, je vais vous le remontrer un peu. Forme indéterminée ça veut dire qu'il n'y a pas de règles qui s'appliquent tout le temps. Il peut y avoir un peu plein de choses. Prenons le cas plus l'infini auquel on additionne moins l'infini. Je peux vous faire trois cas où je prends une fonction qui tend vers plus l'infini, x, x2, x ici. Puis une fonction qui tend vers moins l'infini, 1 moins x, moins x, moins x à la puissance 5. Selon les trois cas on va avoir trois trucs différents, trois résultats qui n'ont rien à voir entre eux. C'est ça une forme indéterminée, c'est-à-dire que ce n'est pas déterminé par défaut, tout peut arriver. Donc x plus 1 moins x, ça fait 1, c'est évident. Petit exemple bébête, je ne me suis pas pris la tête pour faire des exemples compliqués. Il vaut faire toujours très simple quand vous voulez chercher un exemple pour illustrer. D'ailleurs entraînez-vous, c'est le meilleur conseil que je puisse vous donner ça. Entraînez-vous à créer des petits exemples simples tout le temps. Vous avez un contrôle, vous faites un ds, vous voyez qu'il y a un truc un peu pas clair, c'est pas facile, il y a une propriété de n ou je ne sais pas quoi, écrivez pour n égale 2, écrivez pour n égale 3, rendez-vous la tâche facile en écrivant de manière simple avec les choses les plus claires possible. Rendez-vous le truc, vous savez, facile à digérer quoi. Donc c'est un petit réflexe à avoir, voilà x2 moins x, en gros le x2 va dominer, on va montrer comment ça marche mais on sait que c'est un terme plus gros donc c'est lui qui va l'emporter, pareil pour x, x moins x5. Ensuite pour l'autre forme indéterminée dont on a parlé, c'est 0 fois l'infini. Voilà pareil je prends des exemples très très bêtes mais si je prends 1 sur x fois 2x, c'est bien un truc qui tend vers 0 en plus l'infini et un truc qui tend vers plus l'infini en plus l'infini. Là j'ai pris à chaque fois plus l'infini, plus l'infini, plus l'infini, ça peut marcher pour n'importe quelle limite. Ça aurait pu être, je pourrais prendre des exemples, il aurait fallu que je prenne d'autres exemples où x tendait vers 3 par exemple. J'ai pris plus l'infini parce que c'est plus simple. Mais voilà, le tableau d'avant si vous voulez, le tableau d'avant fonctionne pour des limites en n'importe quel point. On a mis alpha, alpha ici peut être réel ou égal à l'infini. Bon, si je continue ici, voilà j'ai pris des exemples très simples, 2x sur x ça fait 2, ça tend vers 2. 2x si je mets du x2 en dessous, je vais avoir un truc qui tend vers 0 parce que c'est plus gros en dessous. Et si je mets un truc plus grand au dessus, ça va tendre vers plus l'infini. C'est ça la forme indéterminée, c'est que si je peux trouver des exemples qui tendent vers tout et n'importe quoi, ça veut dire qu'il n'y a pas de règle. Dernier petit point rapide, le quotient. Ça je ne l'avais pas encore fait, donc le quotient pour des fonctions, on prend un rapport. Donc f sur g, f sur g tend vers l sur l', si les deux tendent vers l et l'. On a ensuite des règles assez évidentes, l sur l'infini, ça fait un truc très gros, donc quand on divise par un truc très gros ça fait 0. L sur 0 on divise par un truc très petit, ça fait plus ou moins l'infini, on l'a déjà vu avec 1 sur x. La dernière ça va dépendre des signes, il y a 2 formes indéterminées, c'est ça qui compte encore une fois le plus à retenir pour vous. C'est la forme indéterminée 0 sur 0, on a vu 6 signes x sur x qui tendaient vers 1 par exemple dans une vidéo précédente. Et la forme indéterminée, plus infini sur plus infini. Donc là sur mon garde j'ai mis quelques exemples plus ou moins astucieux. 0 sur 0 ça va être par exemple x-3 sur x-3 quand x tend vers 3, vous remarquez ici c'est plus x qui tend vers plus infini, j'ai mis x qui tend vers 3. Pour vous montrer qu'il n'y a pas de raison, alpha peut être autant réel qu'infini. x-3 sur x-3 ça tend vers 1, racine de x-3 sur x-3 ça se divise en racine, ça tend vers 0 quand x tend vers 3 donc ça fait plus infini. La même chose dans l'autre sens, là ça tend vers 0 donc ça fait 0. Donc 3 cas différents, 1, plus l'infini, 0, tout est possible. Si je continue avec la dernière forme indéterminée et puis on finira là dessus, ça fait plus infini sur l'infini. J'en ai mis plusieurs, j'ai voulu mettre en 6 pour être un peu original, donc j'ai 1 sur x-6 divisé par 1 sur x-6, chacune tend vers plus l'infini. 1 sur x-6 quand x tend vers 6 ça tend vers 0 donc 1 sur x-6 tend vers plus l'infini. Donc ça fait bien plus l'infini sur plus l'infini qui tend vers 1. La même chose en jouant avec différents 1 sur x-6, je trouve une réponse ici qui tend vers plus l'infini et une réponse ici qui tend vers 0. C'est donc une forme indéterminée encore une fois, parce que tout est possible, donc il n'y a pas de règle absolue. Voilà, c'était une longue vidéo cette fois-ci, j'ai parcouru tout ce qu'il fallait savoir, c'est plus pour vous illustrer et tout, après vous avez pu apprendre vos tables. Ce que je voulais apporter c'était vous rendre facile la compréhension des différentes choses à fond par cœur en ayant le graphe en tête. Ce sur quoi j'ai le plus insisté au final c'est les formes indéterminées, c'est là-dessus qu'il faut bosser. Il faut bien retenir lesquelles c'est. En finale il y en a 4, c'est pas très compliqué. Mais retenez bien, pour l'addition c'est plus l'infini et moins l'infini, pour la multiplication c'est 0 et l'infini, et pour les quotients, malheureusement il y en a 2, c'est 0 sur 0 et plus l'infini sur plus l'infini. Si vous avez des questions ou des commentaires, c'est la FAQ comme d'hab, je vous dis à la prochaine et bon courage!

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