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Géométrie

Représentations paramétrique et cartésienne

Dans ce cours, nous apprenons comment déterminer si trois points ABC définissent un plan dans l'espace. La seule condition pour que les points ne définissent pas un plan est qu'ils soient alignés. Pour éviter cela, nous pouvons vérifier si deux vecteurs formés par les points ABC sont collinéaires ou non. Nous proposons de calculer le vecteur AB et de voir s'il est égal à -AC. Si cela est le cas, alors les points sont alignés et ne définissent pas un plan. Par conséquent, il est important de vérifier les collinéarités lors de ce type d'exercices de géométrie pour éviter les fausses pistes.

Ensuite, nous abordons la détermination d'une équation cartésienne du plan défini par les trois points ABC. Pour cela, nous cherchons d'abord un vecteur normal au plan. Ensuite, nous utilisons les produits scalaires entre le vecteur normal et les vecteurs AB et AC pour obtenir deux équations. Ces équations nous permettent de trouver une famille de vecteurs normaux possibles pour le plan. Ensuite, nous pouvons choisir un vecteur normal spécifique pour obtenir l'équation cartésienne du plan.

En résumé, pour déterminer si trois points définissent un plan, nous vérifions les collinéarités des vecteurs formés par ces points. Pour trouver l'équation cartésienne du plan, nous cherchons d'abord un vecteur normal en utilisant les produits scalaires, puis nous obtenons une famille de vecteurs normaux possibles avant de choisir un vecteur spécifique. Il est important d'aborder ces exercices avec une approche méthodique pour éviter les fausses pistes et trouver rapidement les résultats attendus.

J'en ai mis un petit deuxième dans l'enchaînement. Normalement, trois points non alignés font un plan. Première question, on justifie que les points ABC définissent bien un plan de l'espace. La seule condition pour que les points ABC ne définissent pas un plan, c'est qu'ils soient alignés. Donc, pour ne pas qu'ils soient alignés, on peut juste vérifier est-ce que deux vecteurs formés par des points ABC sont collinaires ou pas. Je propose de calculer AB. De l'autre côté, on pourrait dire qu'on a A. Et ensuite, (-1, 1), on dessine opposé, donc c'est pas possible que AC soit... Enfin, AC pourrait être égal à (-AB), par exemple. On voit que c'est pas possible. Il y a une coordonnée commune, donc le facteur de proportionnalité, s'il existait entre les deux vecteurs, devrait être 1, vu qu'il y en a une qui est la même. Ça veut dire qu'on devrait trouver la même chose pour celle-ci et celle-là. Ce n'est pas le cas. Le problème, la difficulté, je trouve, dans ces exos de géométrie, c'est qu'il y a moyen de partir dans pas mal de fausses pistes. Alors que des fois, la réponse qu'on voulait envoyer, elle va être simple, assez directe, mais il est très possible de partir dans une fausse piste. Les réponses peuvent être courtes, mais c'est bien de connaître pas mal d'exos par cœur pour être sûr de reconnaître les bonnes pistes quand vous tombez dessus. Déterminer une équation cartésienne du plan ABC. Là, vous avez 3 points qui ont défini un triangle et non plus, généralement, un plan, si vous voulez. On a un plan. Nous, pour trouver une équation cartésienne, ce qu'on aimerait bien, c'est avoir un vecteur normal. Donc, on va chercher d'abord le vecteur normal. Et en deuxième étape, une équation cartésienne, qui sera très facile quand on aura trouvé n. Comment trouver n ? Je veux que les produits scalaires de n avec A, B et A, C, en plus que j'ai découvert, calculé au-dessus, donc parfait, je réutilise, je veux que les produits scalaires s'annulent. Ça, ça va donner lieu à 2 équations. J'aurai 2 équations pour 3 inconnues. Pourquoi ? En fait, l'idée, quand vous avez un plan comme ça, avec un vecteur normal, c'est qu'il n'y a pas qu'un vecteur normal. Si je prends le vecteur qui est 2 fois plus grand, il y a aussi un vecteur normal. Si je prends le vecteur qui est 2 fois plus grand de l'autre côté, c'est aussi un vecteur normal. Donc, une fois que vous avez un vecteur normal n, en fait, vous en avez une infinité qui sont le long de la même direction. C'est pour ça que n, je n'ai pas besoin de... Je ne vais pas trouver un n unique. Trouver 2 équations, 2 conditions sur A, B et C va me suffire pour trouver une famille de n qui pourrait fonctionner. A moins ensuite d'en choisir un parmi ceux que j'ai montrés à l'instant. Donc là, ça va donner quoi ? Le produit scalaire de n avec A, B, le premier. Je vais l'écrire ici en première équation. La deuxième, je fais la même chose. n moins A, donc moins A. Si et seulement si. Très vite, je vois en faisant la différence des deux lignes, par exemple. Ou mieux que ça d'ailleurs, la somme des deux lignes. Si je fais la somme des deux lignes, je vois que moins 4B est égal à 0. Quand je fais la somme des deux lignes, j'ai A moins A, 0. C moins C plus C, 0. Il reste moins 4B. Donc je trouve tout de suite qu'avec la somme des deux lignes, B est égal à 0. Si je fais la différence des deux lignes... Non, mais je n'ai pas besoin de faire ça, d'ailleurs. Si je fais la différence des deux lignes, soit je me dis si B est égal à 0, j'ai compris que A est égal à C. Très bien, donc j'ai un vecteur n. En gros, je trouve un n à 0, A. Et ça correspond à ce que je vous disais tout à l'heure. C'est que je peux prendre soit 1, 0, 1. Soit 2 fois 1, 0, 1, c'est-à-dire 2, 0, 2. C'est toujours des vecteurs normaux. C'est juste qu'en fait, ils partent du plan, ils sont plus grands, ils ont une norme qui est plus grande. Mais la direction est la même, donc l'orthogonalité est conservée. Autant prendre le plus simple. 1, 0, 1. L'équation cartésienne maintenant, ce n'est pas très compliqué. Je vais pouvoir dire 1, m. Donc là, je réutilise la petite technique de l'exercice précédent. A m, n égal à 0. Si et seulement si. Voilà comment vous pouvez trouver en deux étapes. C'est un petit peu long en fait. Si vous ne l'avez jamais fait, c'est dur peut-être de sortir comme ça. Mais donc, comment on le fait en deux étapes. On cherche un vecteur normal parce qu'on sait gérer ça. On sait qu'en un vecteur normal, que l'étape numéro 2 de trouver l'équation va être super rapide. On cherche le vecteur. Les conditions c'est que le vecteur soit perpendiculaire à deux vecteurs indépendants du plan. Ça c'est top. Ensuite on trouve l'équation cartésienne, ça va super vite.

Dans ce cours, nous apprenons deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un vecteur normal donné.

La première méthode consiste à utiliser une équation générale du type "ax + by + cz + d = 0", où les coordonnées x, y et z sont déterminées par le vecteur normal abc. Cette méthode est utilisée de manière instinctive et ne requiert pas une démonstration formelle.

La deuxième méthode, que je préfère, implique de comprendre la définition profonde d'un vecteur normal. Un plan est défini par un point donné et un vecteur normal qui est orthogonal au plan. Ainsi, tout point situé dans le plan a un vecteur gm, reliant le point m au point donné, qui est orthogonal au vecteur normal. En utilisant la propriété que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, nous pouvons écrire une équation du type "x-1 * 0 + y-1 * (-3) + z-1 * 5 = 0" pour trouver l'équation cartésienne du plan.

En résumé, il existe deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan. La première méthode est basée sur une équation générale, tandis que la deuxième méthode s'appuie sur la compréhension de la définition d'un vecteur normal.

Pour commencer, une première méthode vraiment à savoir faire mais par cœur, sans problème et une rédaction à connaître et à maîtriser, trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un certain rétorn normal. Il y a deux méthodes pour faire ça, une est de dire une fois qu'on a un rétorn normal, qu'on appelle dans le cours théoriquement abc en général, on appelle ces coordonnées x, y, z abc, on sait que le plan sera du type, si c'est un truc comme ça, ça sera un plan du type ax plus by plus cz plus d égal 0. Ça c'est la méthode 1 qui est un peu une espèce de, on utilise le fait qu'on sait que c'est ce type là d'équation quand c'est ce type de rétorn normal, c'est un peu utilisé quand même, c'est pas vraiment une démonstration, c'est utilisé un résultat de manière complètement par cœur. La vraie démonstration qui est sous jacente à ça, c'est celle que je préfère moi. Pourquoi ça ? Quand vous avez un plan, imaginez un plan comme ça, on vous dit qu'il y a un petit vecteur normal, un vecteur orthogonal au plan qui en sort comme ça, le petit vecteur n, on vous dit il y a un point, ici le point g111, donc n'importe quel point du plan, un point m quelconque dans l'espace va appartenir au plan uniquement quand le vecteur gm est orthogonal au vecteur n. Le vecteur n est orthogonal à tous les plans, à tous les vecteurs du plan par définition, c'est un vecteur normal, c'est à dire qu'un point m qui est ici par exemple, on aura un vecteur gm si le vecteur est en dessous du plan, qui ne sera pas du tout orthogonal à n. Et tous les vecteurs, tous les points m pour lesquels les vecteurs gm sont orthogonaux sont en fait des points du plan. Donc c'est pour ça qu'on dit ça, on peut écrire si et seulement si, si m a pour coordonnées x, y, z, dans ce cas gm a pour coordonnées, deux vecteurs sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul. Donc on fait ça, ça nous donne tout de suite, je fais le calcul, x-1 x 0, 0, plus y-1 x-3, y-3, 3, plus z-1 x 5, donc c'est la bonne donnée. On peut balancer la réponse directe mais j'aime bien me rappeler que c'est parce que c'est ça la définition profonde d'un vecteur normal, c'est vraiment un vecteur qui va être orthogonal à n'importe quel vecteur du plan.

Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal

Trouver un plan avec 3 points