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Dans ce cours, nous apprenons deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un vecteur normal donné.

La première méthode consiste à utiliser une équation générale du type "ax + by + cz + d = 0", où les coordonnées x, y et z sont déterminées par le vecteur normal abc. Cette méthode est utilisée de manière instinctive et ne requiert pas une démonstration formelle.

La deuxième méthode, que je préfère, implique de comprendre la définition profonde d'un vecteur normal. Un plan est défini par un point donné et un vecteur normal qui est orthogonal au plan. Ainsi, tout point situé dans le plan a un vecteur gm, reliant le point m au point donné, qui est orthogonal au vecteur normal. En utilisant la propriété que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, nous pouvons écrire une équation du type "x-1 * 0 + y-1 * (-3) + z-1 * 5 = 0" pour trouver l'équation cartésienne du plan.

En résumé, il existe deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan. La première méthode est basée sur une équation générale, tandis que la deuxième méthode s'appuie sur la compréhension de la définition d'un vecteur normal.

Pour commencer, une première méthode vraiment à savoir faire mais par cœur, sans problème et une rédaction à connaître et à maîtriser, trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un certain rétorn normal. Il y a deux méthodes pour faire ça, une est de dire une fois qu'on a un rétorn normal, qu'on appelle dans le cours théoriquement abc en général, on appelle ces coordonnées x, y, z abc, on sait que le plan sera du type, si c'est un truc comme ça, ça sera un plan du type ax plus by plus cz plus d égal 0. Ça c'est la méthode 1 qui est un peu une espèce de, on utilise le fait qu'on sait que c'est ce type là d'équation quand c'est ce type de rétorn normal, c'est un peu utilisé quand même, c'est pas vraiment une démonstration, c'est utilisé un résultat de manière complètement par cœur. La vraie démonstration qui est sous jacente à ça, c'est celle que je préfère moi. Pourquoi ça ? Quand vous avez un plan, imaginez un plan comme ça, on vous dit qu'il y a un petit vecteur normal, un vecteur orthogonal au plan qui en sort comme ça, le petit vecteur n, on vous dit il y a un point, ici le point g111, donc n'importe quel point du plan, un point m quelconque dans l'espace va appartenir au plan uniquement quand le vecteur gm est orthogonal au vecteur n. Le vecteur n est orthogonal à tous les plans, à tous les vecteurs du plan par définition, c'est un vecteur normal, c'est à dire qu'un point m qui est ici par exemple, on aura un vecteur gm si le vecteur est en dessous du plan, qui ne sera pas du tout orthogonal à n. Et tous les vecteurs, tous les points m pour lesquels les vecteurs gm sont orthogonaux sont en fait des points du plan. Donc c'est pour ça qu'on dit ça, on peut écrire si et seulement si, si m a pour coordonnées x, y, z, dans ce cas gm a pour coordonnées, deux vecteurs sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul. Donc on fait ça, ça nous donne tout de suite, je fais le calcul, x-1 x 0, 0, plus y-1 x-3, y-3, 3, plus z-1 x 5, donc c'est la bonne donnée. On peut balancer la réponse directe mais j'aime bien me rappeler que c'est parce que c'est ça la définition profonde d'un vecteur normal, c'est vraiment un vecteur qui va être orthogonal à n'importe quel vecteur du plan.

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