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Algèbre

Somme d'espaces vectoriels

Dans ce cours, nous abordons une question d'algèbre linéaire concernant deux droites vectorielles dans R3. La question est de savoir si ces deux droites sont supplémentaires. En d'autres termes, peut-on trouver deux ensembles, f et g, tels que tout vecteur de R3 puisse être décomposé de manière unique en un élément de f plus un élément de g. La dimension joue un rôle crucial dans la définition de supplémentaire. Dans le cas de deux droites vectorielles distinctes dans R3, qui ont chacune une dimension de 1, la somme des deux dimensions est égale à 2, ce qui est inférieur à la dimension de R3 qui est 3. Par conséquent, il n'est pas possible d'avoir des droites supplémentaires dans R3. En revanche, deux plans vectoriels distincts dans R3 ont chacun une dimension de 2, ce qui donne une somme des dimensions égale à 4, ce qui est supérieur à 3. Par conséquent, ces deux plans ne peuvent pas être supplémentaires l'un de l'autre. Pour qu'un plan vectoriel et une droite vectorielle dans R3 soient supplémentaires, la droite ne doit pas appartenir au plan. Dans le cas contraire, la dimension de l'espace reste à 2 au lieu de 3. En résumé, ces exemples illustrent différentes manières de découper l'espace et l'importance de la dimension dans la notion de supplémentarité.

Une question d'algebra linéaire où on essaie de répondre à des questions un peu générales sur ce qui se passe dans R3 grâce à des considérations géométriques. Deux droites vectorielles de R3, première question, sont-elles supplémentaires ? Il faut penser à ce que c'est être supplémentaire. Être supplémentaire, ça veut dire que je peux trouver deux ensembles, f et g, tels que la décomposition de R3 puisse se faire entre un élément de f et un élément de g de manière unique. Je peux écrire tout vecteur de R3 comme élément de f plus élément de g avec unicité de chacun des éléments. Dans la définition de supplémentaire, il y a un argument très très basique de dimension. Il faut que la somme, si deux espaces f et g sont supplémentaires, et si on a f plus g égale e, je dois avoir que la somme de cette dimension plus celle-ci doit être égale à celle-là. Deux droites vectorielles, c'est dimension 1 chacune, ça définit un plan. Deux droites vectorielles définissent un plan, c'est de la dimension 2. Pour peu qu'elles ne soient pas la même. Deux droites vectorielles distinctes forment un plan. La dimension, la somme des deux, ça fait 2. C'est plus petit que 3 strictement, c'est pas possible d'avoir un supplémentaire. Dans R3, deux supplémentaires seraient un plan et une droite. Ça oui, parce qu'on a une dimension 2 et une dimension 1. Une droite qui n'appartient pas au plan bien sûr. Deux plans vectoriels de R3 sont-ils supplémentaires ? C'est compliqué comme j'explique ici. Supplémentaire c'est ça. E égale f plus g avec un petit rond. Et on a la dimension de E qui doit être égale à la dimension de f et la dimension de g. Pour deux plans. Si on a deux plans qui sont donc non confondus, sinon c'est pas très intéressant. Deux plans non confondus, on a la dimension des deux qui vaut 4. Deux plans non confondus, si la dimension des deux vaut 4, c'est-à-dire que si on fait comme s'il n'y avait pas d'éléments communs à l'intersection, si on prend la somme des deux, ça vaut 4, c'est plus grand que 3 strict. C'est donc complètement impossible que les deux nous donnent R3 quand on les met en supplémentaires. Ils ne sont pas supplémentaires l'un de l'autre. J'essaie d'illustrer géométriquement. L'argument géométrique pour la première, c'était deux droits vectoriels, ça définit un plan, ça ne peut pas définir l'espace. L'argument géométrique ici, ça serait... Si j'ai F plus G égale E, ça c'est sûrement vrai. Je ne peux pas avoir d'espace supplémentaire dans ce cas-là, parce que j'ai quatre vecteurs de base. J'aurais deux vecteurs indépendants dans celui-là, deux vecteurs ici. J'aurais quatre vecteurs indépendants. Potentiellement, ça voudrait dire que j'aurais quatre vecteurs indépendants pour définir une dimension 3. Ça fait une dimension de 3. À quelles conditions un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 sont-ils supplémentaires ? J'ai un peu vendu la peau de l'ours avant de l'avoir tué. Enfin, j'ai un peu... Pardon. Ce n'est pas ça l'expression, mais j'ai un peu dit le résultat en avance. Vous avez bien compris qu'en gros, il me faut un élément de plan. L'idée pour ça, c'est de bien comprendre, par exemple, quand vous avez l'espace. Vous pouvez prendre un vecteur comme ceci. Vous pouvez dire que c'est la somme d'un vecteur du plan, du plan ici, plus un vecteur qui est parallèle à l'axe au Z. Donc j'ai bien une somme entre un élément de R2 plus un élément vectoriel, d'une droite vectorielle. Et donc la droite ne doit pas appartenir au plan. C'est tout. C'est la seule condition. Si la droite appartient au plan, j'ai mon plan comme ça, j'ai la droite dedans. La droite appartient au plan, je n'arrive pas à sortir de ce plan, donc je n'arrive pas à accéder à tout l'espace. Donc l'idée, c'est ça. La droite ne doit pas appartenir au plan. C'est possible. Si la droite appartient au plan, je suis toujours dans un espace de dimension 2, tout simplement. C'est-à-dire que je n'arrive pas à atteindre un espace de dimension 3. C'est beaucoup d'arguments géométriques, mais qui se basent quand même sur la dimension. Voilà, j'espère que c'était clair. C'était vraiment une question pour illustrer un petit peu les différents concepts et les différentes manières de découper l'espace, en gros. Voilà, j'espère que ça a aidé à développer votre intuition. Posez-moi des questions s'il faut. Si ce n'était pas clair, je pourrais expliquer. Je passe à la vidéo d'après et je vous retrouve tout de suite. Bye bye.

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