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Somme d'espaces vectoriels

Dans cet exercice, nous examinons quelques familles de vecteurs pour déterminer si elles sont supplémentaires dans R4. Nous avons 5 vecteurs : V1, V2, V3, V4 et V5. Pour former une base de R4, nous devons avoir au maximum 4 vecteurs. Nous commençons par vérifier si les vecteurs V1 et V2 sont supplémentaires. Pour cela, nous utilisons l'argument de dimension et constatons que la dimension de ces deux vecteurs combinés est de 3, ce qui ne correspond pas à une dimension de 4. Donc, ils ne sont pas supplémentaires. Ensuite, nous examinons les vecteurs V1 et V3. Si la famille V1, V2, V3, V4, V5 est libre, alors nous aurons des vecteurs supplémentaires. Nous résolvons un système pour vérifier si ces vecteurs sont linéairement indépendants et constatons qu'ils le sont, ce qui signifie qu'ils forment une base de R4. Donc, ils sont supplémentaires. Nous poursuivons ensuite avec les vecteurs V1, V3, V4 et V2, V5. Mais puisque V5 est égal à V3 + V4, l'intersection de ces deux ensembles n'est pas réduite à zéro, ce qui signifie qu'ils ne sont pas supplémentaires. Finalement, nous concluons que les vecteurs V1, V2, V4, V5 et V3, V4 ne sont pas supplémentaires.

Un exercice avec quelques familles de vecteurs et on va essayer de voir lesquelles sont supplémentaires dans R4. On considère 4 vecteurs, en l'occurrence V1, V2, V3, V4, qui sont très simples, beaucoup de 0. On a 1, 1 ici avec des 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, donc ça c'est un peu des vecteurs de la base canonique. On a V2, V3, V4 qui sont des vecteurs de la base canonique, c'est-à-dire avec que des 0 et 1, 1 sur un des axes. Et on a en plus V1 et V5. Donc on a 5 vecteurs, on sait déjà que 5 vecteurs ça ne forme pas une base de R4, parce qu'il y a un vecteur de 3, une base c'est 4 éléments dans R4, ou n éléments dans un espace E de dimension n. Donc avec de V1, V2 et avec de V3, sont-ils supplémentaires ? Par argument de dimension, celui-ci a une dimension 2, O+, peut-être que V1 et V2 sont parallèles, mais en l'occurrence non, mais voilà, donc c'est O+, ici, dimension 1. Donc O+, ces deux-là, si on les met en somme directe, ils auront une dimension 3. Donc ce n'est pas possible qu'ils soient supplémentaires et que leur dimension soit égale à 4. Donc non, c'est mort. A plus dim B plus petit strict que 4, c'est fini. Est-ce que ces deux-là sont supplémentaires dans R4 ? Il est possible qu'ils soient supplémentaires. Pourquoi ? Parce que j'ai d'un côté un espace de dimension 2, de l'autre un espace de dimension 2 également. Donc voilà, ce n'est pas interdit. Donc j'ai A, j'ai appelé B celui-ci, celui-là je l'appelle C. Ce qu'il faut vérifier, c'est est-ce que la famille V1, V2, V4, V5 est libre ? Si la famille V1, V2, V4, V5 est libre, alors toute séparation en blocs de 2 de chaque côté, ou un bloc qu'on pourrait même faire V1 d'un côté, V2, V4, V5 de l'autre, comme c'est une base de R4, ici c'est une base de R4, alors j'aurai toujours une intersection qui est nulle entre les différents vects que je peux créer. Vérifions que tout ça, les 4 ensemble, est libre, ou pas. Si elle n'est pas libre, ce sera fini. En gros, ce qu'on va checker, c'est ça. L'argument sur le supplémentaire, c'est qu'on va checker que l'intersection est bien vide. Parce que la dimension a l'air d'être bonne, si l'intersection est vide, c'est ok. Alors on va regarder, est-ce que cette famille est libre ? Est-ce que c'est une base, en gros ? On pose le système. Vous savez ce que c'est ? On regarde. Ce n'est pas trop compliqué, vu le nombre de zéros, honnêtement. On a directement λ1, λ4, λ2 égale 0, donc ils sont tous nulles. Et donc oui, on a une famille libre. Si c'est une famille libre de taille 4, c'est une base. Et donc, on a bien des supplémentaires. Voilà. De la même manière, V1, V3, V4, V2, V5 sont-ils supplémentaires dans R4 ? Voyez-vous, je vais en venir. Là, il y a 5 éléments, ça ne sent pas très bon. Donc, comme V5 égale V3 plus V4, l'intersection de ces 2 éléments est non réduite à 0. Et donc, c'est fini. Là, j'ai fait une erreur que je corrige tout de suite. Ce n'est pas l'ensemble vide, ce n'est jamais l'ensemble vide. C'est toujours l'élément 0 pris comme ensemble. Un ensemble contenant uniquement l'élément 0. En fait, je réponds à la question 3 et 4, grâce au travail fait précédemment. Je me rends compte, en fait, que des combinaisons V5 égale V3 plus V4, qui est assez facile à remarquer. V3 et V4, quand vous sommez les deux, ça fait V5. Remarquer ça m'aide à comprendre que ces 2 éléments-là, donc ça interça et ça interça, ne sont pas réduits à 0. Leur intersection n'est pas réduite à 0, je veux dire. Et donc, ça ne peut pas être des paires d'ensemble supplémentaires. Voilà. Ça peut être fait très facilement. J'espère que vous comprenez bien et que je vous transmets bien l'intuition. Posez des questions si ce n'est pas le cas. Et sinon, je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

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