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Théorèmes de Convergence

Dans ce cours, nous démontrons le théorème qui nous permet de simplifier nos démonstrations en utilisant une notation plus simple. Nous commençons par rappeler la définition de "tendre vers plus infini" pour une suite. Ensuite, nous traduisons l'énoncé du théorème en langage mathématique. Si la limite de la suite Un lorsque n tend vers plus infini est égale à plus infini, alors quelque chose se produit. Plus précisément, pour tout nombre positif A, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite Un sont supérieurs à A. Nous utilisons cette propriété pour conclure que pour tout N plus grand ou égal à un certain grand N, les termes de la suite Vn sont également supérieurs ou égaux à A. En résumé, pour tout nombre positif A, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite Vn sont supérieurs ou égaux à A. Cette conclusion correspond à la définition de la divergence vers plus infini. En utilisant cette démonstration, nous n'avons plus besoin d'utiliser les démonstrations avec les démonstrations en epsilon, en grand A, etc. Vous pouvez poser des questions dans la FAQ si vous avez des doutes.

Pour la démonstration, je vous ai dit tout à l'heure que l'avantage de ce théorème c'est qu'on n'aura plus à utiliser des démonstrations en epsilon, en grand A, etc. Malheureusement, pour le démontrer, il faut faire ça, c'est-à-dire qu'il faut revenir un peu à la définition. J'ai mis un petit rappel ici de qu'est-ce que c'est tendre vers plus infini pour une suite. Et on va démontrer ça, c'est assez simple en fait. On traduit, première étape, donc on nous dit si limite de U n égale plus infini, alors quelque chose. Traduisons le limite de U n tendre vers plus infini. Si je vous dis limite de U n en plus infini égale plus infini, je peux en déduire que pour un A positif quelconque, je sais qu'il existe un certain rang, un certain grand N appartient à N, tel que pour tous les éléments de la suite au-dessus de ce grand N, ma suite finit par être plus grande que le grand A. Très bien. Or, quel que soit N, on sait que V n est plus grand que U n, donc je sais qu'il existe... Je peux utiliser ce grand N, donc je peux conclure que quel que soit N plus grand ou égal à grand N, si vous voulez, je vais chercher cette égalité et je la combine. Quel que soit N plus grand ou égal à grand N, je la combine avec celle-ci. Je peux conclure que V n est plus grand ou égal à U n, plus grand ou égal à A. Donc je me retrouve avec un A quelconque positif, tout bêtement à dire quel que soit N plus grand ou égal à N, V n plus grand ou égal à A. C'est la définition de la divergence en plus de l'infini. Tout bêtement, si vous voulez, si je réécris un peu de manière globale, pour ce A positif, on a un grand N tel que quel que soit N plus grand ou égal à ce grand N, V n plus grand ou égal à A. Je suis passé par le fait que V n est plus grand que U n, mais c'est ça ma conclusion, et si vous réfléchissez bien à ça, c'est exactement la définition de la divergence vers plus infini qui est au-dessus. Parfait, c'est torché. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ, bien sûr, si vous avez des doutes, mais c'est l'idée de cette démonstration un peu courte, très efficace, et la faire une fois ici vous permet de ne plus jamais utiliser ces grands A, ces petits epsilon ou ces grands A dans tous les exercices où vous pourrez utiliser le terrain de comparaison.

Théorème de comparaison - démonstration

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