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Analyse Terminale

Continuité

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème capital en mathématiques, notamment pour les études de fonctions et la résolution d'équations. Il stipule que pour une fonction continue sur un intervalle donné, toute valeur comprise entre les images de deux points de l'intervalle aura au moins une solution correspondante dans cet intervalle. Ce théorème est illustré à l'aide d'un graphe montrant une courbe continue qui relie les points d'images correspondants des points de l'intervalle. En traçant une droite horizontale représentant une valeur k quelconque entre les images des points a et b, on constate qu'elle croise forcément la courbe, prouvant ainsi l'existence de solutions à l'équation f(x) = k. Ce résultat est valable même si la fonction ne fait que monter ou descendre de manière continue sans variation. Dans ce cas, il n'y aura qu'une seule solution à l'équation. Ce théorème permet de justifier l'existence de solutions dans différents cas et de les localiser. Il est important de l'appliquer en citant le théorème et en précisant si la fonction est continue ou strictement croissante/décroissante.

Un théorème capital en continuité, c'est le théorème des valeurs intermédiaires. Il va être très utile pour tout ce qui est études de fonctions et résolution d'équations, notamment quand on n'est pas capable de trouver une solution exacte et une équation pourra toujours trouver son existence. Alors, ils nous disent soit f' une fonction continue sur un intervalle a, b, très bien, pour tout réel cas compris entre f2a et f2b, l'équation f2x égale k admet au moins une solution c dans l'intervalle a, b. On va illustrer ça tout de suite, j'ai un magnifique GIF là, mais avec un graphe beaucoup plus complet. Alors, voici une courbe, donc c'est une x3, je peux pas faire de mystère. On va considérer l'intervalle a, b qui est défini entre ce point là et ce point là, donc a, b c'est tout ce qui est en vert là, et on va regarder f2a et f2b si vous voulez. f2a c'est ici, f2b c'est ici, très bien. Maintenant, comprenons ce qui se passe. Entre f2a et f2b, moi quand je vais tracer la fonction, vu qu'elle est continue, je vais rejoindre ces deux points d'une manière ou d'une autre. Donc là il y a quelques zigouigouis, je monte, je descends, je remonte, je vais rejoindre ces deux points de manière continue. Et ce que je viens de dire là, c'est vraiment la source de ce théorème, c'est-à-dire que maintenant, si je trace une droite quelconque pour une valeur k, donc la valeur k est représentée en pointillé noir ici, si je trace une valeur k quelconque entre f2a et f2b, vu que j'ai dû rejoindre les deux points de manière continue sans lever le stylo, il n'y a pas moyen d'échapper à un croisement avec cette droite k. Donc k, par exemple si je la mets ici par exemple, on est bien entre f2a et f2b toujours, on est bien entre ces deux points. Là j'ai mis une valeur de k qui n'est pas très loin de f2b, mais voilà, on est toujours entre les deux. Et bien je croise la fonction, il y a au moins une solution à f2x égale k, je la croise exactement ici, à ce point d'intersection. Et donc vu que je ne lève pas le stylo pendant tout le tracé entre les deux points a, f2a et b, f2b, c'est assez intuitif en fait. C'est ce non lever de stylo dans cette continuité qui fait que forcément, quelle que soit la valeur d'une droite horizontale comme ça, f2x égale k, j'aurai toujours une solution. Quelle que soit la valeur de k, j'aurai toujours une solution à l'équation de f2x égale k. Et ici j'en ai même trois si vous voulez, j'en ai une ici, une ici, une ici. On va se croiser trois fois, tout simplement parce que je fais trois zigouigouis comme ça, et donc je ne peux pas éviter le croisement avec cette droite. C'est ça le terrain de valeur intermédiaire, c'est assez intuitif, mais il faut ne pas le prendre pour acquis et absolument justifier son utilisation. Des fois vous allez avoir envie de dire ben oui mais forcément la fonction est là, si je dis est-ce que je croise l'axe y égale 0, oui c'est sûr parce que la fonction y passe. C'est sûr mais c'est basé sur la supposition que la fonction est continue. Il faudra bien citer le théorème, dire comme f est continue, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, je peux affirmer qu'il y a une solution à ce endroit. Dernière petite précision, dans le cas où la fonction ne fait plus de zigouigouis, mais est typiquement croissante strictement ou strictement décroissante, on ne pourra toujours pas échapper au croisement de la valeur k et de la courbe orange, mais cette fois-ci il n'y en aura qu'un seul. Il n'y en aura qu'un seul parce que tout simplement je ne fais que monter ou descendre, il n'y a pas de zigouigouis, donc tout le long, quelque soit la valeur de k que je considère, je vais croiser la fonction f une seule fois. D'ailleurs ça, ça sera intéressant de l'appliquer notamment quand il y a des zigouigouis, quand il y a des différentes variations de monter, descendre, remonter. Je pourrais dire par exemple que sur l'intervalle entre ce point et ce point où la fonction est croissante, je n'ai qu'une seule solution. Vu qu'elle est bijective, j'ai bien une fonction qui est strictement croissante sur ce petit intervalle, je pourrais découper en gros en différentes phases. Je n'aurai qu'une seule solution, celle-ci. Je pourrais ensuite dire qu'entre ce point ici et ce point ici, je n'aurai également qu'une seule solution ici. Et finalement, pour finir cette précision que je voulais faire en appliquant le théorème de la bijection, qui est le deuxième nom du théorème de valeur intermédiaire uniquement pour les cas de stricte croissance ou décroissance, ici je pourrais aussi dire qu'il n'y en a plus qu'une seule. Ça me permettra de dire où sont chacune des solutions. Voilà, c'est ça l'application du théorème de la bijection. Vous pouvez me poser des questions dans le forum, bien sûr, et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

TVI : LE théorème

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