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TVI et Fonction Auxiliaire
Le cours aborde le théorème des valeurs intermédiaires, en utilisant une fonction compliquée comme exemple. La fonction étudiée est f(x) = (10x)/(e^x + 1). L'ensemble de définition est [0,+∞) car le dénominateur est toujours strictement positif. La fonction est définie et dérivable sur cet ensemble.
La dérivée de f(x) est obtenue en utilisant la formule du quotient de dérivées. On factorise ensuite cette expression pour obtenir une fonction g(x) = (1-x)e^x. On étudie les signes de g(x) pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. On trouve que g(x) est strictement décroissante sur [0, +∞), passant de 2 à -∞. Donc, il existe un unique réel α tel que g(α) = 0.
Pour déterminer α de manière plus précise, on utilise une calculatrice pour encadrer sa valeur entre 1,28 et 1,29. Ensuite, on utilise les signes de g(x) pour déterminer les variations de f(x). On trouve que f(x) est croissante sur [0, α] et décroissante sur [α, +∞).
Les limites de f(x) sont calculées : f(0) = 0 et lim(x→+∞) f(x) = 0. Donc, la fonction f(x) est strictement croissante jusqu'à α où elle atteint un maximum, puis décroît progressivement vers une asymptote horizontale y = 0.
La stricte monotonie de la fonction est essentielle pour l'application du théorème des valeurs intermédiaires et l'unicité de l'antécédent. Un contre-exemple est donné pour illustrer ce point. La méthode complète est résumée avec les clés pour réussir ce type d'exercice. Si des questions subsistent, il est recommandé de consulter la FAQ.
