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Convexité

Dans cette vidéo, nous allons étudier la relation entre une courbe et ses sécant. Nous avons déjà vu qu'une fonction convexe est située en dessous de ses sécant. Pour illustrer cela, nous pouvons observer le graphe suivant : une courbe rouge située sous des sécant bleues. Pour traduire cette relation, nous allons comparer la différence d'ordonnée entre un point sur le segment bleu et un point sur le segment rouge, pour une même abscisse située entre les abscisses A et B. Nous allons comparer ces deux points : celui sur le segment et celui sur la courbe rouge. L'idée est de démontrer que lorsque nous avons une fonction convexe, le point situé sur le segment a une ordonnée plus élevée que le point de même abscisse situé sur la courbe rouge. Cette inégalité sera un élément important de notre étude.

Avec ces informations en tête, nous pouvons introduire un point d'abscisse intermédiaire entre A et B. Nous allons nommer ce point T, situé entre 0 et 1. En pondérant les abscisses de A et de B, nous pouvons calculer une moyenne. Ensuite, nous comparons l'image de ce point intermédiaire par la fonction F (la courbe rouge) avec l'image de cette abscisse par l'équation du segment bleu (la sécant). La difficulté dans cette démonstration est de montrer que cette expression, TF2X + (1-T)F2Y, correspond bien à l'image du point d'abscisse intermédiaire sur le segment. La démonstration complète est un peu complexe, mais si vous êtes intéressé, je peux la présenter dans une autre vidéo.

En résumé, nous avons montré que pour une fonction convexe, le point intermédiaire entre deux points sur la sécant a une ordonnée plus élevée que le point correspondant sur la courbe. Cette inégalité est une traduction directe de la différence de position entre la courbe et la sécant. De plus, il existe un lien logique entre convexité et concavité : si une fonction est convexe, sa fonction inverse est concave et vice versa.

N'hésitez pas à poser vos questions dans le forum et je vous retrouve dans la prochaine vidéo bonus pour la démonstration complète.

Une autre vidéo importante, traduction de la convexité par une inégalité. En fait, tout ce qu'on va faire ici c'est traduire exactement la relation entre la courbe et la séquente. Donc on a déjà vu qu'une fonction convex est en dessous de ses séquentes. Je peux vous montrer le petit graphe si vous voulez. C'était celui-ci, donc on a une courbe qui est, alors si je joue un peu, hop, ici, une courbe en rouge qui est en dessous des séquentes bleues, c'est une fonction convex. On va traduire le fait d'être en dessous en étudiant, si vous voulez, la différence d'ordonnée d'un point sur le segment bleu et d'un point sur le segment rouge pour une même abscisse comprise entre l'abscisse de A et B. On va prendre cette abscisse-là et on va comparer ces deux points. Ce point-là et ce point-là. Alors là, ils ont des valeurs particulières, mais on va essayer de démontrer que quand on a une fonction convex, le point ici sur ce segment est plus haut d'ordonnée que le point de même abscisse, sur la ligne droite ici, mais qui lui est sur la courbe rouge. C'est ça l'inégalité qu'on va avoir dans cette partie du programme. Avec ce dessin en tête, on va pouvoir dire qu'on a un point d'abscisse intermédiaire entre A et B. C'est pour ça qu'on va nommer ce petit T ici entre 0 et 1, on va faire une pondération des abscisses de A et de B. Donc si A est d'abscisse X et B est d'abscisse Y, on va pondérer tout ça, on va prendre une moyenne en fait, et on regarde que l'image de ce point d'abscisse intermédiaire par la fonction, c'est-à-dire sur la courbe rouge, F ici, est bien inférieure à l'image de cette abscisse par l'équation du segment de la séquente, si vous voulez. Alors la difficulté ça va être de dire, là en fait je vais vous faire une vidéo en deux temps, ça pourrait être du bonus pour ceux qui sont intéressés, ça peut être un peu compliqué peut-être, mais souvent les démonstrations sont un peu hâtives je trouve, et acceptent très vite que cette chose-là, donc ce TF2X plus 1-TF2Y, ils acceptent très vite que cette chose-là, alors je ne sais pas si vous le voyez bien, mon laser ne marche plus, voilà, que cette chose soit en effet l'image du point d'abscisse intermédiaire TX plus 1-TY sur le segment comme je vous montrais tout à l'heure. Je vous ferai une démonstration pour ceux qui s'intéressent. Je vais vous mettre quand même la démonstration rapide qui elle est au programme. Donc version courte de la démo, on prend exactement la traduction du dessin, enfin de la courbe que je vous ai montré, soit deux réels X et Y, soit un T réel de 0,1, on a AXF2X, BYF2Y, donc je vais revenir quand même pour le principe à mon graph qui est ici, donc on prend ce point A qui est d'abscisse, on va appeler ça X et F2X, ce point B d'abscisse YF2Y, et on va prendre un point M qui est d'une abscisse intermédiaire, c'est-à-dire TX plus 1-TY, un truc par ici. Donc la démonstration dit, comme on comprend que F de ce point intermédiaire qui est d'abscisse TX plus 1-TY, c'est ici, et que par définition c'est en dessous d'être sur le segment, donc la démonstration est bonne, c'est juste une traduction directe, cette inégalité c'est une traduction directe de la différence de position. F étant convexe, là c'est quand tu es au-dessus de CF, donc M est situé au-dessus du point d'abscisse TX plus 1-TY, F de TX plus 1-TY qui est celui d'en dessous, qui est sur la courbe, d'où l'inégalité. Puis l'idée c'est que bon, ça vous pouvez l'apprendre par cœur. Voilà, la vidéo classique est finie, maintenant je vais passer à une démonstration. Avant ça j'ai peut-être un dernier commentaire quand même, qui est celui-ci. Il y a un lien logique, il y a un lien logique entre convexité et concavité. Donc si F est convexe, moins F est concave, et respectivement si F est concave, moins F est convexe. Je vais vous montrer un petit exemple ici. Je prends E2X, elle est convexe, moins E2X, elle est concave. Rappelez-vous, E2X a l'air de sourire, moins E2F a l'air de faire un peu la tranche. Voilà pour la fin de cette vidéo, posez-moi des questions dans le forum si vous en avez, et je vous retrouve dans l'autre vidéo, la prochaine qui sera bonus, pour ceux que ça intéresse d'avoir la démonstration complète.

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