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Fonction et suite récurrente associée
Dans ce cours, nous étudions une fonction définie de manière rationnelle, c'est-à-dire avec un degré 1 au-dessus et un degré 1 en dessous de la fraction. La fonction est définie sur l'intervalle de 0 à l'infini. Nous déterminons la limite de cette fonction lorsque x tend vers l'infini en utilisant la composition de fonctions. La limite est égale au logarithme de 3. En utilisant la continuité du logarithme, nous concluons que la fonction est bien définie. Ensuite, nous démontrons que la dérivée de la fonction est égale à 3x+3 pour tout nombre réel positif ou nul. Nous concluons que la fonction est strictement croissante et positive. Ensuite, nous passons à l'étude d'une suite définie par récurrence à l'aide de cette fonction. Nous démontrons par récurrence que la suite est décroissante et minorée par un demi. En utilisant le théorème de convergence des suites décroissantes et minorées, nous concluons que la suite converge vers une limite strictement positive. En résumé, ce cours traite de la définition d'une fonction rationnelle, de la détermination de sa limite, de la démonstration de la dérivée de la fonction, de l'étude d'une suite définie par récurrence à l'aide de cette fonction et de la convergence de cette suite.
