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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Fonctions Cos et Sin

Dans ce cours, nous abordons les fonctions trigonométriques et leur dérivabilité. Les fonctions sin(x) et cos(x) sont dérivables et leurs dérivées sont simples à calculer. Il est essentiel de se rappeler que sin'(x) = cos(x) et cos'(x) = -sin(x), afin d'éviter de faire des erreurs lors de la résolution de problèmes. Une astuce pour se souvenir de ces formules est de visualiser la courbe de la fonction et de se rappeler que la dérivée est négative lorsque la courbe décroît et positive lorsqu'elle croît. En se basant sur cette logique, on peut déduire que la dérivée de 1/x est -1/x^2 et que la dérivée de sin(x) est cos(x), et inversement pour cos(x) et 1/x. En regardant les graphiques des fonctions sin(x) et cos(x), on peut également se souvenir que sin(x) traverse l'axe des abscisses en 0 et cos(x) est décroissante. En utilisant ces repères visuels, on peut déterminer les dérivées et éviter les erreurs. Pour récapituler, si on a une fonction f(t) = cos(u(t)), la dérivée sera f'(t) = u'(t) * (-sin(u(t))). De même, si f(t) = sin(u(t)), la dérivée sera f'(t) = u'(t) * cos(u(t)). N'hésitez pas à poser des questions pour plus de clarté.

Sur les fonctions trigonométriques, le premier point c'est la dérivabilité. Grand scoop, les fonctions trigo sinx, cosx sont dérivables. Leurs dérivés sont assez simples, leur formule est simple en tout cas, sin' de x égale cosx pour toute x, mais cos' de x égale moins sinx. Donc ça, c'est pas dur à retenir, mais ça va quand même être une source d'erreur. Vu qu'il y a un moins d'un côté et pas de l'autre, je vous assure que vous allez sûrement perdre des points si vous ne faites pas gaffe, à vous tromper, à mettre sin' égale moins, cos' égale plus, etc. C'est un peu le même délire que la confusion que j'ai vu arriver pas mal de fois entre la dérivée de racine de x et la dérivée de 1 sur x. L'une des deux a un sin moins, pas l'autre. En l'occurrence, racine de x se dérive en 1 sur 2 racine de x, positif, et 1 sur x se dérive en moins 1 sur x, 2 négatif. La manière que j'aide à retenir, et moi le conseil que je donne, c'est de se souvenir de la courbe, en fait. On sait qu'une dérivée est négative quand une courbe décroît, et on sait qu'une dérivée est positive quand une courbe croît. Comme vous savez que 1 sur x, ça fait un truc comme ça. Si je pars du bon côté, ça décroît. Vous voulez que pour 1 sur x, sa dérivée soit négative. C'est donc elle qui s'écrit qu'un sin moins. C'est un peu la même chose pour sinus, cosinus. Donc je vais vous montrer le dessin, et vous allez comprendre. Alors voilà le schéma tracé pour sinus x et cosinus x. Alors, laquelle est sinus, laquelle est cosinus ? C'est pas une question de piège. Si vous savez pas, sinus x, ça vaut 0 en 0. Boom, c'est la rouge. Si je vous dis qu'il y en a une qui a le sin, l'autre qui a le cos, c'est sûr que la rouge est le sinus, parce que sinus de 0 vaut 0. Très bien, donc je vais zoomer un peu, parce que je veux juste me concentrer sur la première partie, c'est-à-dire la partie qui s'arrête au niveau de la bosse principale, ici, de la courbe sinus. C'est-à-dire en gros la valeur pi sur 2. En pi sur 2 d'ailleurs, ça vaut 1, voilà. Je vais m'arrêter ici, et je veux vous donner un peu cette petite astuce, qui est la même que tout à l'heure, quand je vous disais 1 sur x, ça descend, donc on retient que la dérivée est négative, c'est un peu pareil. Retenez que sur 0, pi sur 2 en tout cas, au début, sinus est croissante, cosinus est décroissante. Mais les deux sont positifs. Donc si on réfléchit, et si vous êtes en état de doute, vous êtes à votre contrôle, etc., ou je sais pas, à un test quelconque, et vous vous dites, zut, c'est quoi déjà sinus prime ? Eh bien rappelez-vous peut-être le fait que la courbe monte. Ça va peut-être vous aider si vous vous dites, non mais sinus prime, moi je sais que la courbe est croissante, je veux que sinus prime soit positif. Donc c'est soit cos, soit moins cos. Or je sais que cos est positif. Les deux sont positives au début, elles sont toutes au-dessus de 0. Comme vous voyez, elles sont au-dessus de l'axe aux x. Donc si je veux une dérivée positive, forcément c'est plus cos. De la même manière, si on regarde, le cos est décroissant, j'aimerais qu'il y ait une dérivée négative. C'est pour ça que si vous dites cos prime, je veux que ce soit négatif, vous dites, attendez, cos prime c'est donc égal à sinus ? Et vous vous posez la question, est-ce que c'est égal à plus sinus ? Si cos prime est égal à plus sinus, comme sinus est positif, ça marchera pas. On veut cosinus négatif. Donc comme ça vous pouvez retrouver l'idée qu'en fait non, cosinus prime ça sera moins sinus. Voilà. Vous allez me dire que c'était chiant juste de retenir les courbes, c'était plus d'effort. À vous de voir. Soit vous apprenez à partir bêtement, soit vous vous aidez les courbes. Moi ça m'aidait pas mal d'avoir les courbes en tête et comme moyen de mnémotechnique, vous savez, pour retenir. Voilà, je vous l'ai transmis. Faites en ce que vous voulez encore une fois, après vous avez votre manière d'apprendre. Mais moi je sais que c'est un truc qui a pu m'aider. Alors point de conclusion, je vous ai mis un graphe ici pour illustrer également. Point de conclusion, la composition. Si vous connaissez votre composition générale, c'est en fait celle-là qui s'applique. La formule de dérivé de g de f, vous savez, s'appliquera parfaitement. Mais ici on vous le met en gros pour être sûr que vous sachiez bien comment l'appliquer dans ces cas-là. Si on a une fonction u et on a une fonction f telle que f de t égale cos de u de t, la dérivé ça fera u prime fois dérivé de cos appliqué à u. Donc u prime fois moins sinus u. De la même manière, si on a une fonction g sinus u de t, ça fera u prime fois dérivé de sin appliqué à u, soit u prime fois cos u. Voilà, n'hésitez pas à poser des questions, à écrire dans la FAQ ce qu'il y a besoin. Et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Dérivabilité de sin et cos

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